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- 2021-06-19 发布
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(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.点M的直角坐标是(-1, ),则点M的极坐标为( )
A. B.
C. D.,(k∈Z)
解析:选D ρ2=(-1)2+()2=4,∴ρ=2.
又∴
∴θ=+2kπ,k∈Z.
即点M的极坐标为,k∈Z.
2.化极坐标方程ρ2cos θ-ρ=0为直角坐标方程为( )
A.x2+y2=0或y=1 B.x=1
C.x2+y2=0或x=1 D.y=1
解析:选C ρ(ρcos θ-1)=0,ρ==0,或ρcos θ=x=1.
3.极坐标方程ρcos θ=2sin 2θ表示的曲线为( )
A.一条射线和一个圆 B.两条直线
C.一条直线和一个圆 D.一个圆
解析:选C ρcos θ=4sin θcos θ,cos θ=0,或ρ=4sin θ,(ρ2=4ρsin θ),则x=0,或x2+y2=4y.
4.在极坐标系中,圆ρ=2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )
A.θ=0(ρ∈R)和ρcos θ=2
B.θ=(ρ∈R)和ρcos θ=2
C.θ=(ρ∈R)和ρcos θ=1
D.θ=0(ρ∈R) 和ρcos θ=1
解析:选B 由ρ=2cos θ,可得圆的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,所以垂直于x轴的两条切线方程分别为x=0和x=2,即所求垂直于极轴的两条切线方程分别为θ=(ρ∈R)和ρcos θ=2,故选B.
5.在极坐标系中,圆ρ=-2sin θ的圆心的极坐标是( )
A.1,π2 B.1,-π2
C.(1,0) D.(1,π)
解析:由题意得,圆的直角坐标方程为x2+(y+1)2=1,圆心直角坐标为(0,-1),即圆心的极坐标为1,-π2.
答案:B
6.圆心在点(3,0)上,且过极点的圆的极坐标方程为( )
A.ρ=6cos θ B.ρ=6sin θ
C.ρ=3cos θ D.ρ=3sin θ
解析:圆的直角坐标方程为(x-3)2+y2=9,从而极坐标方程为ρ=6cos θ.
答案:A
7.在极坐标系中,直线ρcos θ=1与圆ρ=cos θ的位置关系是( )
A.相切
B.相交但直线不经过圆心
C.相离
D.相交且直线经过圆心
解析:直线方程化为直角坐标方程为x=1,圆的方程可化为x-122+y2=14,所以直线与圆相切.
答案:A
8.极坐标方程ρ=cosπ4-θ表示的曲线是( )
A.双曲线 B.椭圆
C.抛物线 D.圆
解析:由于ρ不恒等于0,方程两边同乘ρ,
得ρ2=ρcosπ4-θ=ρ22cosθ+22sinθ=22(ρcos θ+ρsin θ),
在以极点为原点,以极轴为x轴正半轴的直角坐标系中,ρcos θ=x,ρsin θ=y,ρ2=x2+y2,因此有x2+y2=22(x+y),即方程ρ=cosπ4-θ表示圆.
此题还有另一种思路:极坐标方程ρ=2acos θ表示圆,而π4-θ与极轴的旋转有关,它只影响圆心的位置,而不改变曲线的形状,故方程ρ=cosπ4-θ表示圆.
答案:D
9.极坐标方程4sin2θ=3表示的曲线是( )
A.两条射线 B.两条相交直线
C.圆 D.抛物线
解析:由已知得sin θ=±32,所以θ=kπ±π3,k∈Z,表示相交于原点的两条直线.
答案:B
10.点M1,7π6关于直线θ=π4(ρ∈R)的对称点的极坐标为( )
A.1,4π3 B.1,2π3
C.1,π3 D.1,-7π6
解析:点M1,7π6的直角坐标为cos7π6,sin7π6=-32,-12,直线θ=π4(ρ∈R),即直线y=x,点-32,-12关于直线y=x的对称点为-12,-32,再化为极坐标,即1,4π3.
答案:A
11.直线l为y+kx+2=0,曲线C为ρ=2cos θ有交点,若直线l与曲线C有交点,则k的取值范围是( )
A.k≤-34 B.k≥-34
C.k∈R D.k∈R,且k≠0
解析:曲线C的方程可化为x2+y2=2x,把直线方程代入得x2+(-kx-2)2-2x=0.整理可得(1+k2)x2+(4k-2)x+4=0,由题意此方程有实根,即Δ=(4k-2)2-16(1+k2)≥0,解不等式得k≤-34.
答案:A
12.导学号73144018在极坐标系中有如下三个结论:①点P在曲线C上,则点P的极坐标满足曲线C的极坐标方程;②tan θ=1(ρ≥0)与θ=π4(ρ≥0)表示同一条曲线;③ρ=3与ρ=-3表示同一条曲线.其中正确的是( )
A.①③ B.①
C.②③ D.③
解析:在直角坐标系内,曲线上每一点的坐标一定适合它的方程,但在极坐标系内,曲线上一点的所有极坐标不一定都适合方程,故①是错误的;tan θ=1不仅表示θ=π4这条射线,还表示θ=5π4这条射线,故②亦不对;ρ=3与ρ=-3差别仅在于方向不同,但都表示一个半径为3的圆,故③正确.
答案:D
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.极坐标方程分别为ρ=2cos θ和ρ=sin θ的两个圆的圆心距为 .
解析:由ρ=2cos θ,得ρ2=2ρcos θ,化为直角坐标方程为(x-1)2+y2=1.
由ρ=sin θ,得ρ2=ρsin θ,化为直角坐标方程为x2+y-122=14.
所以两个圆的圆心分别为(1,0)和0,12,
故d=12+122=52.
答案:52
14.已知曲线C1,C2的极坐标方程分别为ρcos θ=3,ρ=4cos θρ≥0,0≤θ<π2,则曲线C1与C2交点的极坐标为 .
解析:由ρcosθ=3,ρ=4cosθ,得4cos2θ=3.
即2(1+cos 2θ)=3,cos 2θ=12.
又∵0≤2θ<π,∴θ=π6.
故ρ=23.
故曲线C1与C2的交点的极坐标为23,π6.
答案:23,π6
15.在极坐标系中,已知定点A1,π2,点B在直线ρcos θ+ρsin θ=0上运动,则当线段AB最短时,点B的极坐标是 .
解析:在直角坐标系中,点A坐标为(0,1),点B在直线x+y=0上,当AB最短时,点B为-12,12,化为极坐标为22,3π4.
答案:22,3π4
16.在极坐标系中,曲线C1为ρ=2cos θ,曲线C2为θ=π4,若曲线C1与C2交于A,B两点,则线段AB= .
解析:曲线C1与C2均经过极点,因此极点是它们的一个公共点.由ρ=2cosθ,θ=π4,得ρ=2,θ=π4,即曲线C1与C2的另一个交点与极点间的距离为2,故AB=2.
答案:2
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(本小题满分10分)如图,设极点O到直线l的距离为d,由点O向直线l作垂线,从极轴到垂线OA的角度为α.求直线l的极坐标方程.
解在直线l上任取一点M(ρ,θ).
在Rt△OMA中,ρcos(α-θ)=d,
即ρ=dcos(α-θ).
这就是直线l的极坐标方程.
18.(本小题满分12分)在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换x'=2x,y'=2y后,曲线C变为曲线(x'-5)2+(y'+6)2=1,求曲线C的方程,并判断其形状.
解将x'=2x,y'=2y代入(x'-5)2+(y'+6)2=1,
得(2x-5)2+(2y+6)2=1,
即x-522+(y+3)2=14,
故曲线C是以52,-3为圆心,半径为12的圆.
19.(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知某圆的极坐标方程为ρ2-4ρcos θ+2=0.
(1)将极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)若点P(x,y)在该圆上,求x+y的最大值和最小值.
解(1)ρ2-4ρcos θ+2=0,化为直角坐标方程为x2+y2-4x+2=0.
(2)由x2+y2-4x+2=0,
得(x-2)2+y2=2,
令x-2=2cos α,y=2sin α,α∈[0,2π).
则x+y=2cos α+2+2sin α=2sinα+π4+2,
∵sinα+π4∈[-1,1],
∴(x+y)∈[0,4],故x+y的最大值和最小值分别为4,0.
20.(本小题满分12分)以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知C1为ρ=2cos θ-4sin θ,C2为ρsin θ-2ρcos θ+1=0.
(1)将C1的方程化为直角坐标方程;
(2)求曲线C1和C2两交点之间的距离.
解(1)由ρ=2cos θ-4sin θ,
得ρ2=2ρcos θ-4ρsin θ,
即x2+y2=2x-4y.
故C1的普通方程为(x-1)2+(y+2)2=5.
(2)ρsin θ-2ρcos θ+1=0可化为y-2x+1=0,
∵圆心(1,-2)到直线的距离d=|-2-2+1|5=35.
∴|AB|=2(5)2-352=85=855.
21.导学号73144019(本小题满分12分)在极坐标系中,已知圆C的圆心C3,π6,半径为1,Q点在圆周上运动,点O为极点.
(1)求圆C的极坐标方程;
(2)若点P在射线OQ上运动,且满足|OQ||QP|=23,求动点P的轨迹方程.
解如图,(1)设点M(ρ,θ)为圆C上任意一点,在△OCM中,|OC|=3,|OM|=ρ,|CM|=1,∠COM=θ-π6,根据余弦定理,得1=ρ2+9-2·ρ·3·cosθ-π6,化简整理,得ρ2-6ρcosθ-π6+8=0为圆C的极坐标方程.
(2)设Q(ρ1,θ1),
则有ρ12-6ρ1·cosθ1-π6+8=0.①
设P(ρ2,θ2),
则|OQ|∶|QP|=ρ1∶(ρ2-ρ1)=2∶3⇒ρ1=25ρ2,
又θ1=θ2,即ρ1=25ρ2,θ1=θ2,
代入①得425ρ22-6·25ρ2·cosθ2-π6+8=0,
整理得ρ22-15ρ2cosθ2-π6+50=0,
故点P的轨迹方程为ρ2-15ρcosθ-π6+50=0.
22.导学号73144020(本小题满分12分)在极坐标系中,极点为O,已知曲线C1为ρ=2,曲线C2为ρsinθ-π4=2,曲线C1与C2交于不同的两点A,B.
(1)求|AB|的值;
(2)求过点C(1,0),且与直线AB平行的直线l的极坐标方程.
解(1)∵ρ=2,∴x2+y2=4.
又∵ρsinθ-π4=2,
∴y=x+2.
∴|AB|=2r2-d2=24-222=22.
(2)(方法一)∵直线AB的斜率为1,
∴过点(1,0)且与直线AB平行的直线l的直角坐标方程为y=x-1,
∴直线l的极坐标为ρsin θ=ρcos θ-1,
即ρcosθ+π4=22.
(方法二)设点P(ρ,θ)为直线l上任一点,因为直线AB与极轴成π4的角,
则∠PCO=3π4或∠PCO=π4.
当∠PCO=3π4时,
在△POC中,|OP|=ρ,|OC|=1,∠POC=θ,∠PCO=3π4,∠OPC=π4-θ,
由正弦定理可知1sinπ4-θ=ρsin3π4,
即ρsinπ4-θ=22,
即直线l的极坐标方程为ρsinπ4-θ=22.
同理,当∠PCO=π4时,极坐标方程也为ρsinπ4-θ=22.
当点P与点C重合时显然满足ρsinπ4-θ=22.
综上所述,所求直线l的极坐标方程为ρsinπ4-θ=22.
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