高考数学专题复习教案： 变量间的相关关系、统计案例 3页

变量间的相关关系、统计案例 主标题：变量间的相关关系、统计案例 副标题：为学生详细的分析变量间的相关关系、统计案例的高考考点、命题方向以及规律总结。‎ 关键词：相关关系，线性回归方程，独立性检验 难度：2‎ 重要程度：4‎ 考点剖析：‎ ‎1．会作两个相关变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系．‎ ‎2．了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．‎ ‎3．了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用．‎ ‎4．了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用.‎ 命题方向：‎ ‎1．独立性检验是一种统计案例，是高考命题的一个热点，多以解答题的形式出现，试题难度不大，多为中档题．‎ ‎2．高考中对独立性检验的考查主要有以下几个命题角度：‎ ‎(1)已知分类变量数据，判断两类变量的相关性；‎ ‎(2)已知某些数据，求分类变量的部分数据；‎ ‎(3)已知χ2，判断几种命题的正确性．‎ 规律总结：‎ 1种求法——相关关系的判定和线性回归方程的求法 ‎　(1)函数关系一种理想的关系模型，而相关关系是一种更为一般的情况．‎ ‎ (2)如果两个变量不具有线性相关关系，即使求出回归直线方程也毫无意义，而且用其进行估计和预测也是不可信的．‎ ‎ (3)回归直线方程只适用于我们所研究的样本的总体．样本的取值范围一般不超过回归直线方程的适用范围，否则就没有实用价值．‎ 1个难点——独立性检验思想的理解 ‎　独立性检验的思想类似于反证法，即要确定“两个变量X和Y有关系”这一结论成立的可信度，首先假设结论不成立，即它们之间没关系，也就是它们是相互独立的，利用概率的乘法公式可推知，(ad－bc)接近于零，也就是随机变量χ2＝应该很小，如果计算出的χ2不是很小，通过查表P(χ2≥k)的概率很小．又根据小概率事件不可能发生，由此判断假设不成立，从而可以肯定地断言X与Y之间有关系．‎ 知 识 梳 理 ‎1．相关性 ‎(1)线性相关：‎ 若两个变量x和y的散点图中，所有点看上去都在一条直线附近波动，则称变量间是线性相关的，此时可用一条直线来近似．‎ ‎(2)非线性相关：‎ 若两个变量x和y的散点图中，所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线)附近波动，则称此相关为非线性相关，此时可用一条曲线来拟合．‎ ‎(3)不相关 如果所有的点在散点图中没有显示任何关系，则称变量间是不相关的．‎ ‎2．最小二乘法 ‎(1)最小二乘法：‎ 如果有n个点(x1，y1)，(x2，y2)，……，(xn，yn)，可以用下面的表达式来刻画这些点与直线y＝a＋bx的接近程度：[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋……＋[yn－(an＋bxn)]2使得上式达到最小值的直线y＝a＋bx即所求直线，这种方法称为最小二乘法．‎ ‎(2)线性 回归方程：‎ 线性回归方程为y＝bx＋a，其中b＝，‎ a＝－b.‎ ‎3．相关系数r ‎(1)r＝＝.‎ ‎(2)当r＞0时，称两个变量正相关．‎ 当r＜0时，称两个变量负相关．‎ 当r＝0，称两个变量线性不相关．‎ r的绝对值越接近于1，表明两个变量之间的线性相关程度越高；r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间的线性相关程度越低．‎ ‎4．独立性检验 ‎(1)2×2列联表：‎ 设A，B为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量A：A1，A2＝；变量B：B1，B2＝，通过观察得到下表所示的数据：‎ ‎ B A B1‎ B2‎ 总计 A1‎ a b a＋b A2‎ c d c＋d 总计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d 其中，a表示变量A取A1，且变量B取B1时的数据；b表示变量A取A1，且变量B取B2时的数据；c表示变量A取A2，且变量B取B1时的数据；d表示变量A取A2，且变量B取B2时的数据．‎ ‎(2)独立性判断方法：‎ 选取统计量χ2＝，用它的大小来检验变量之间是否独立．‎ ‎①χ2≤2.706时，没有充分的证据判定变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的；‎ ‎②χ2>2.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联；‎ ‎③当χ2>3.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联；‎ ‎④当χ2>6.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联．‎