2020高中数学 课时分层作业13 变化率问题 导数的概念 新人教A版选修1-1 5页

课时分层作业(十三) 变化率问题 导数的概念 ‎(建议用时：45分钟)‎ ‎[基础达标练]‎ 一、选择题 ‎1.如图311，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是(　　)‎ 图311‎ A．1　　　　　 B．－1‎ C．2 D．－2‎ B　[＝＝＝－1.]‎ ‎2．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在函数y＝f(x)的图象上，若函数f(x)从x1到x2的平均变化率为，则下面叙述正确的是 (　　)‎ A．曲线y＝f(x)的割线AB的倾斜角为 B．曲线y＝f(x)的割线AB的倾斜角为 C．曲线y＝f(x)的割线AB的斜率为－ D．曲线y＝f(x)的割线AB的斜率为－ B　[函数f(x)从x1到x2的平均变化率就是割线AB的斜率，所以kAB＝，割线AB的倾斜角为，选B.]‎ ‎3．若质点A按照规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为(　　)‎ A．6　　　B．‎18　‎　　　C．54　　　D．81‎ B　[因为＝＝＝18＋3Δt，所以 ＝18.]‎ ‎4．已知物体作自由落体运动的位移方程为s(t)＝gt2，g＝‎9.8 m/s2，若v＝，当Δt趋于0时，v趋近于‎9.8 m/s，则‎9.8 m/s是 (　　) ‎ ‎【导学号：97792124】‎ A．物体从0 s到1 s这段时间的平均速度 B．物体从1 s到(1＋Δt)s这段时间的平均速度 5‎ C．物体在t＝1 s这一时刻的瞬时速度 D．物体在t＝Δt s这一时刻的瞬时速度 C　[由瞬时速度的定义可知选C.]‎ ‎5．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则(　　)‎ A．f′(x)＝a B．f′(x)＝b C．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b C　[因为＝＝a＋bΔx，所以f′(x0)＝ ＝ (a＋bΔx)＝a.]‎ 二、填空题 ‎6．函数y＝f(x)的图象如图312所示，则函数f(x)在[－2，1]上的平均变化率为__________；函数f(x)在[－2,3]上的平均变化率为__________．‎ 图312‎ 　　[从题图中可以看出f(－2)＝－1，f(1)＝1，f(3)＝3，所以函数f(x)在[－2,1]上的平均变化率为＝＝，函数f(x)在[－2,3]上平均变化率为＝＝.]‎ ‎7．国家环保局在规定的排污达标的日期前对甲、乙两家企业进行检查，其连续检测结果如图313所示．治污效果更好的企业是(其中W表示排污量)__________．‎ 图313‎ 甲企业　[＝，在相同的时间内，由图可知甲企业的排污量减少的多，∴甲企业的治污效果更好．]‎ ‎8．已知函数f(x)＝，则f′(2)＝________.‎ 5‎ ‎－　[ ＝ ‎＝ ＝－.]‎ 三、解答题 ‎9．求y＝x2＋＋5在x＝2处的导数. ‎ ‎【导学号：97792125】‎ ‎[解]　∵Δy＝(2＋Δx)2＋＋5－ ‎＝4Δx＋(Δx)2＋，‎ ‎∴＝4＋Δx－，‎ ‎∴y′|x＝2＝ ‎＝ ‎＝4＋0－＝.‎ ‎10．假设在生产8到30台机器的情况下，生产x台机器的成本是c(x)＝x3－6x2＋15x(元)，而售出x台的收入是r(x)＝x3－3x2＋12x(元)，则生产并售出10台至20台的过程中平均利润是多少元？‎ ‎[解]　由题意，生产并售出x台机器所获得的利润是：L(x)＝r(x)－c(x)＝(x3－3x2＋12x)－(x3－6x2＋15x)＝3x2－3x，故所求的平均利润为：＝＝＝87(元)．‎ ‎[能力提升练]‎ ‎1．一个物体做直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为s(t)＝5t2＋mt，且这一物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为‎26 m/s，则实数m的值为 (　　)‎ A．2　　　B．‎1　‎　　　C．－1　　　D．6‎ B　[由已知，得＝26，∴(5×32＋‎3m)－(5×22＋‎2m)＝26，解得m＝1，选B.]‎ ‎2．在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(m)与起跳后的时间t(s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，则瞬时速度为‎0 m/s的时刻是(　　)‎ A. s B. s C. s D. s 5‎ A　[设t＝t0时刻的瞬时速度为‎0 m/s，则Δh＝h(t0＋Δt)－h(t0)＝－9.8t0·Δt＋6.5Δt－4.9(Δt)2，∴＝－9.8t0＋6.5－4.9Δt，则h′(t0)＝ ＝－9.8t0＋6.5，∴－9.8t0＋6.5＝0，解得t0＝ s．]‎ ‎3．设函数f(x)在x＝2处的导数存在，则 ＝(　　)‎ A．－‎2f′(2) B．‎2f′(2)‎ C．－f′(2) D.f′(2)‎ C　[因为函数f(x)在x＝2处的导数存在，所以 ＝－ ＝－f′(2)．]‎ ‎4．如图314所示，水波的半径以‎1 m/s的速度向外扩张，当半径为‎5 m时，这水波面的圆面积的膨胀率是__________m2/s.‎ 图314‎ ‎10π　[圆的半径r与时间t的关系为r＝t m，则圆的面积y＝πr2＝πt2，当r＝‎5 m时，t＝5 s，‎ Δy＝π(5＋Δt)2－π×52＝π(Δt)2＋10πΔt ＝πΔt＋10π，所以y′|t＝5＝ (πΔt＋10π)＝10π.]‎ ‎5．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，已知关系式为T(t)＝＋15，其中T(t)(单位：℃)为蜥蜴的体温，t(单位：min)为太阳落山后的时间．‎ ‎(1)从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温下降了多少？‎ ‎(2)从t＝0到t＝10，蜥蜴体温的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？‎ ‎(3)求T′(5)，并解释它的实际意义.‎ ‎ 【导学号：97792126】‎ ‎[解]　(1)T(10)－T(0)＝＋15－＝－16，‎ 即从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温下降了‎16 ℃‎.‎ ‎(2)从t＝0到t＝10, ‎ 蜥蜴的体温的平均变化率是＝＝－‎1.6 ℃‎/min，‎ 5‎ 它表示从t＝0到t＝10这段时间内，蜥蜴的体温平均每分钟下降‎1.6 ℃‎.‎ ‎(3)因为＝＝－，‎ 所以当Δt趋近于0时，－趋近于－1.2，‎ 即T′(5)＝－1.2，‎ 它表示当t＝5时，蜥蜴体温的下降速度为‎1.2 ℃‎/min.‎ 5‎