高考数学一轮复习第十章平面解析几何10-2直线的交点坐标与距离公式练习理北师大版 8页

‎10.2 直线的交点坐标与距离公式 核心考点·精准研析 考点一　两直线的位置关系 ‎ ‎1.直线l1:mx-2y+1=0,l2:x-(m-1)y-1=0,则“m=2”是“l1∥l2”的 (　　)‎ A.充分不必要条件　 B.必要不充分条件 C.充要条件　 D.既不充分也不必要条件 ‎2.(2020·济南模拟)“m=3”是“直线l1:2(m+1)x+(m-3)y+7-5m=0与直线l2:(m-3)x+2y-5=0垂直”的 (　　)‎ A.充分不必要条件　 B.必要不充分条件 C.充要条件　 D.既不充分也不必要条件 ‎3. 已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0,则当l1∥l2时,a的值为________. ‎ ‎4.已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+ay+a2-1=0,则当l1⊥l2时, a的值为________. ‎ ‎【解析】1.选C.由l1∥l2得-m(m-1)=1×(-2),得m=2或m=-1,经验证,当m=-1时,直线l1与l2重合,舍去,所以“m=2”是“l1∥l2”的充要条件.‎ ‎2.选A.由l1⊥l2得 ‎2(m+1)(m-3)+2(m-3)=0,解得m=3或m=-2.‎ ‎3.方法一:当a=1时,l1:x+2y+6=0,‎ l2:x=0,l1不平行于l2;当a=0时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不平行于l2;‎ 当a≠1且a≠0时,两直线方程可化为l1:y=-x-3,l2:y=x-(a+1),由l1∥l2可得 解得a=-1.‎ 综上可知,a=-1.‎ 方法二:由l1∥l2知 ‎ 即⇒⇒a=-1.‎ - 8 -‎ 答案:-1‎ ‎4.方法一:当a=0时,l1:2y+6=0,l2:x=1,l1与l2垂直,故a=0符合;‎ 当a≠0时,l1:y=-x-3,‎ l2:y=-x-,‎ 由l1⊥l2,得·=≠-1,‎ 所以此时不成立.‎ 方法二:因为l1⊥l2,所以A1A2+B1B2=0,‎ 即a+2a=0,得a=0.‎ 答案:0‎ ‎1.解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想”‎ ‎2.在判断两直线的平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.‎ 考点二　两条直线的相交、距离问题 ‎ ‎【典例】1.(2020·北京模拟)已知点M(0,-1),点N在直线x-y+1=0上,若直线MN垂直于直线x+2y-3=0, 则点N的坐标是 (　　)‎ A.(-2,-1)　 　B.(2,3)　 C.(2,1)　 D.(-2,1)‎ ‎2.已知点P(4,a)到直线4x-3y-1=0的距离不大于3,则a的取值范围是________. ‎ ‎3.若两平行直线3x-2y-1=0,6x+ay+c=0之间的距离为,则c的值是________. ‎ - 8 -‎ ‎【解题导思】‎ 序号 联想解题 ‎1‎ 由N为直线MN和直线x-y+1=0的交点,想到联立两直线方程求交点.‎ ‎2‎ 由点P到直线4x-3y-1=0的距离想到点到直线的距离公式解题.‎ ‎3‎ 由题意联想到两平行线间距离公式.‎ ‎【解析】1.选B.因为点N在直线x-y+1=0上,‎ 所以可设点N坐标为(x0,x0+1).‎ 根据经过两点的直线的斜率公式,得kMN==.‎ 因为直线MN垂直于直线x+2y-3=0,直线x+2y-3=0的斜率k=-,‎ 所以kMN×=-1,即=2,解得x0=2.因此点N的坐标是(2,3).‎ ‎2.由题意得,点P到直线4x-3y-1=0的距离为=.‎ 又≤3,即|15-3a|≤15,解之得0≤a≤10,所以a的取值范围是[0,10].‎ 答案:[0,10]‎ ‎3.依题意知,=≠,解得a=-4,c≠-2,即直线6x+ay+c=0可化为3x-2y+=0,又两平行线之间的距离为,所以=,解得c=2或-6.‎ 答案:2或-6‎ ‎1.求过两直线交点的直线方程的方法 求过两直线交点的直线方程,先解方程组求出两直线的交点坐标,再结合其他条件写出直线方程.‎ ‎2.处理距离问题的两大策略 - 8 -‎ ‎(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求.‎ ‎(2)动点到两定点距离相等,一般不直接利用两点间距离公式处理,而是转化为动点在以两定点为端点的线段的垂直平分线上,从而简化计算.‎ ‎3.利用距离公式应注意:(1)点P(x0,y0)到直线x=a的距离d=|x0-a|,到直线y=b的距离d=|y0-b|;‎ ‎(2)两平行线间的距离公式要把两直线方程中x,y的系数分别化为相等.‎ ‎1.求经过两条直线l1:x+y-4=0和l2:x-y+2=0的交点,且与直线2x-y-1=0垂直的直线方程为________. ‎ ‎2.直线l过点P(-1,2)且到点A(2,3)和点B(-4,5)的距离相等,则直线l的方程为________. ‎ ‎【解析】1.由得 所以l1与l2的交点坐标为(1,3).‎ 设与直线2x-y-1=0垂直的直线方程为x+2y+c=0,则1+2×3+c=0,所以c=-7.‎ 所以所求直线方程为x+2y-7=0.‎ 答案:x+2y-7=0‎ ‎2.方法一:当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0.‎ 由题意知=,‎ 即|3k-1|=|-3k-3|,所以k=-,‎ 所以直线l的方程为y-2=-(x+1),‎ 即x+3y-5=0.‎ 当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,也符合题意.‎ 方法二:当AB∥l时,有k=kAB=-,‎ 直线l的方程为y-2=-(x+1),即x+3y-5=0.‎ 当l过AB中点时,AB的中点为(-1,4),‎ 所以直线l的方程为x=-1.‎ - 8 -‎ 故所求直线l的方程为x+3y-5=0或x=-1.‎ 答案:x+3y-5=0或x=-1‎ 考点三　对称问题 ‎ 命 题 精 解 读 ‎1.考什么:(1)两直线的垂直关系;‎ ‎(2)中点坐标公式.‎ ‎2.怎么考:1.直接求对称点或直线;2.求解折线最短问题;3.求三角形的角平分线的方程.‎ ‎3.新趋势:1.折线最短问题;2.以点的对称为载体与圆、不等式等结合.‎ 学 霸 好 方 法 两种对称问题的处理方法 ‎(1)点关于直线的对称:若两点P1 (x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0对称,则线段P1P2的中点在l上,而且连接P1P2的直线垂直于l,列出方程组,可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2,y2)(其中B≠0,x1≠x2).‎ ‎(2)直线关于直线的对称:此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决,有两种情况:一是已知直线与对称轴相交;二是已知直线与对称轴平行.‎ 点关于点的对称 ‎【典例】过点P(0,1)作直线l使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的线段被点P平分,则直线l的方程为________. ‎ ‎【解析】设l1与l的交点为A(a,8-2a),则由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)在l2上,代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4,即点A(4,0)在直线l上,所以直线l的方程为x+4y-4=0.‎ 答案:x+4y-4=0‎ 点P与直线l与直线l1,l2的交点有何关系?‎ 提示:点P是直线l与直线l1,l2的交点所连接线段的中点.‎ 点关于直线的对称 ‎【典例】(2020·淮安模拟)已知入射光线经过点M(-3,4),被直线l:x-y+3=0反射,反射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程为________.‎ ‎【解析】设点M(-3,4)关于直线l:x-y+3=0的对称点为M′(a,b),则反射光线所在直线过点M′,‎ - 8 -‎ 所以 解得a=1,b=0.‎ 又反射光线经过点N(2,6).‎ 所求直线的方程为=,即6x-y-6=0.‎ 答案:6x-y-6=0‎ 点M和它的对称点M′的连线段MM′与直线l有什么关系?‎ 提示:垂直 直线关于直线对称 ‎【典例】(2019·郑州模拟)直线2x-y+3=0关于直线x-y+2=0对称的直线方程是 (　　)‎ A.x-2y+3=0　 B.x-2y-3=0‎ C.x+2y+1=0　 D.x+2y-1=0‎ ‎【解析】选A.设所求直线上任意一点P(x,y),则P关于x-y+2=0的对称点为P′(x0,y0),‎ 因为PP′的中点在直线x-y+2=0上,‎ 又因为kPP′×1=-1,‎ 所以由　得 由点P′(x0,y0)在直线2x-y+3=0上,‎ 所以2(y-2)-(x+2)+3=0,即x-2y+3=0.‎ 是否可以在直线2x-y+3=0上取一个特殊点求解?‎ 提示:可以取直线2x-y+3=0上两点并求出其关于直线x-y+2=0的对称点,根据两对称点求直线方程.‎ - 8 -‎ ‎1.(2020·岳阳模拟)直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是 (　　)‎ A.x+2y-1=0　 B.2x+y-1=0‎ C.2x+y-3=0　 D.x+2y-3=0‎ ‎【解析】选D.方法一:设所求直线上任一点为(x,y),则它关于x=1的对称点(2-x,y)在直线x-2y+1=0上,所以2-x-2y+1=0,化简得x+2y-3=0.‎ 方法二:根据直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线斜率是互为相反数得答案A或D,再根据两直线交点在直线x=1上知选D.‎ ‎2.从点(2,3)射出的光线沿与向量a=(8,4)平行的直线射到y轴上,则反射光线所在的直线方程为 (　　)‎ A.x+2y-4=0 B.2x+y-1=0‎ C.x+6y-16=0 D.6x+y-8=0‎ ‎【解析】选A.由直线与向量a=(8,4)平行知,过点(2,3)的直线的斜率k=,所以直线的方程为y-3=(x-2),其与y轴的交点坐标为(0,2),又点(2,3)关于y轴的对称点为(-2,3),所以反射光线过点(-2,3)与(0,2),由两点式知A正确.‎ ‎1.已知直线l:x-2y+8=0和两点A(2,0),B(-2,-4).在直线l上求一点P,使|PA|+|PB|最小.‎ ‎【解析】设A关于直线l的对称点为A′(m,n),‎ 则解得 故A′(-2,8).P为直线l上的一点,‎ 则|PA|+|PB|=|PA′|+|PB|≥|A′B|,‎ 当且仅当B,P,A′三点共线时,|PA|+|PB|取得最小值,为|A′B|,点P即是直线 A′B与直线l的交点,解方程组得 故所求的点P的坐标为(-2,3).‎ ‎2.已知直线l:3x-y+3=0,求:‎ ‎(1)点P(4,5)关于l的对称点.‎ - 8 -‎ ‎(2)直线x-y-2=0关于直线l对称的直线方程.‎ ‎(3)直线l关于(1,2)的对称直线.‎ ‎【解析】(1)设P(x,y)关于直线l:3x-y+3=0的对称点为P′(x′,y′),因为 kPP′·kl=-1,即×3=-1.①‎ 又PP′的中点在直线3x-y+3=0上,‎ 所以3×-+3=0.②由①②得 把x=4,y=5代入③④得x′=-2,y′=7,‎ 所以点P(4,5)关于直线l的对称点P′的坐标为(-2,7).‎ ‎(2)用(1)中的③④分别代换x-y-2=0中的x,y,‎ 得关于l对称的直线方程为--2=0,化简得7x+y+22=0.‎ ‎(3)在直线l:3x-y+3=0上取点M(0,3),‎ 关于(1,2)的对称点M′(x′,y′),‎ 所以=1,x′=2,=2,y′=1,‎ 所以M′(2,1).l关于(1,2)的对称直线平行于l,‎ 所以k=3,所以对称直线方程为y-1=3×(x-2),‎ 即3x-y-5=0.‎ - 8 -‎