2020高中数学 第1章 点、直线、面的位置关系7 点到面的距离和线面角学案 苏教版必修2 7页

点到面的距离和线面角 一、考点突破 知识点 课标要求 题型 说明 点到面的距离和线面角 ‎1. 理解斜线在平面内的射影及与平面所成角的概念，会求简单的线面角；‎ ‎2. 理解点到平面的距离的概念，会求简单的点面距离 选择题 填空题 解答题 求点到面的距离和斜线与平面所成的角其实质是垂直关系的应用，其中寻找一个点在平面内的射影是解决问题的难点。‎ 二、重难点提示 重点：掌握点到面的距离和线面角的解法。‎ 难点：如何寻找点在平面内的射影。‎ 考点一：点到平面的距离 ‎1. 点到平面的距离 从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离。‎ ‎2. 直线和平面的距离 一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离。‎ ‎【要点诠释】‎ 直线到平面的距离常常转化为点到平面的距离求解。‎ ‎【规律总结】 求点面距离的常用方法 ‎① 直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个直角三角形。‎ ‎② 转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离求解。‎ ‎③ 体积法：利用三棱锥的特征转化位置来求解。（后面章节）‎ 考点二：直线和平面所成的角 ‎1. 斜线 一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线与平面的交点叫做斜足，斜线上一点与斜足间的线段叫做这个点到平面的斜线段。‎ ‎2. 正投影 过平面α外一点P向平面α引斜线和垂线，那么过斜足Q和垂足P1‎ 7‎ 的直线就是斜线在平面内的正投影（简称射影），线段P1Q就是斜线段PQ在平面α内的射影，如图所示。‎ ‎3. 直线和平面所成的角 ‎（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角。特别地：如果直线和平面垂直，那么就说这条直线与平面所成的角是直角；如果直线与平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角。‎ ‎（2）范围：设直线与平面所成的角为θ，则0°≤θ≤90°。‎ ‎（3）画法：如图所示，斜线AP与平面α所成的角是∠PAO。‎ ‎【核心归纳】求解斜线和平面所成的角的一般步骤是：‎ ‎① 确定斜线与平面的交点即斜足；‎ ‎② 经过斜足上除斜足外任一点作平面的垂线，确定垂足，进而确定斜线在平面内的射影；‎ ‎③ 求解由垂线、斜线及其射影构成的直角三角形。‎ ‎【核心突破】‎ 求线面角的关键是找直线在相应平面内的射影，其反映了空间问题平面化的思想。‎ ‎【难点剖析】确定点的射影位置有如下几种方法：‎ ‎① 斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；‎ ‎② 如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的角平分线上；‎ ‎③ 利用某些特殊棱锥的有关性质，确定顶点在地面上的射影。除此还有其他方法，需要用到后面所学内容。‎ ‎【随堂练习】如图，∠BOC在平面α内，OA是平面α的斜线，若∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝a，BC＝a。‎ 则OA与平面α所成的角为 。‎ 思路分析：‎ 答案：如图，作AH⊥BC于点H，连接OH，‎ ‎∵OA＝OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝60°，‎ ‎△AOB与△AOC均为等边三角形，∴AB＝AC＝a，‎ 又BC＝a，∴AB2＋AC2＝OB2＋OC2＝BC2，‎ 7‎ ‎∴△ABC与△OBC均为等腰直角三角形，‎ ‎∴H为BC的中点，且OH⊥BC，‎ 又AH2＋OH2＝（a）2＋（a）2＝a2＝OA2，‎ ‎∴AH⊥OH，‎ ‎∵BC∩OH＝H，∴AH⊥平面α，∴OH为OA在平面α内的射影，即∠AOH为OA与平面α所成的角，‎ Rt△OAH中，sin∠AOH＝＝，且∠AOH为锐角，‎ ‎∴∠AOH＝45°，即OA与平面α所成的角为45°。‎ 技巧点拨：‎ ‎1. 本题在判断AH与OH间的关系时，借助了勾股定理，通过数量关系证明AH⊥OH。‎ ‎2. 解决线面垂直问题的常用方法 ‎（1）利用勾股定理的逆定理。‎ ‎（2）利用等腰三角形底边的中线就是底边的高线。‎ ‎（3）利用线面垂直的定义。‎ ‎（4）利用平行转化，即a∥b，b⊥c，则a⊥c。‎ ‎3. 对于线面角的计算，通常借助垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形求解。‎ 例题1 （点面距离和线面距离）已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离。‎ 思路分析：B到平面EFG的距离转化为O到平面EFG的距离，在三角形中计算长度。‎ 答案：如图，连接EG、FG、EF、BD、AC，‎ 设EF、BD分别交AC于点H、O，‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，E、F分别是AB、AD的中点，‎ 故EF∥BD，H为AO的中点，‎ ‎∴BD∥平面EFG，‎ ‎∴点B到平面EFG的距离就等于BD到平面EFG之间的距离，‎ 过点O作OK⊥GH，垂足为K，‎ ‎∵EF∥BD，‎ ‎∴EF⊥AC，‎ 易证GF＝GE，又H为EF的中点，‎ ‎∴GH⊥EF，‎ ‎∵GH与AC交于点H，‎ ‎∴EF⊥平面GHC.‎ ‎∴OK⊥EF，‎ 7‎ ‎∵OK⊥GH，且GH∩EF＝H，‎ ‎∴OK⊥平面GEF，‎ ‎∴OK的长度即为O（B）到平面GEF的距离，‎ ‎∵正方形ABCD的边长为4，‎ ‎∴GC＝2，AC＝4，HO＝，HC＝，‎ 在Rt△HCG中，HG＝，‎ 易证△HKO∽△HCG，‎ ‎∴OK＝‎ 即点B到平面EFG的距离为。‎ 技巧点拨：当直线与平面平行时，直线上每一点到平面的距离相等，因此线面距离可以转化为点面距离，而点面距离又可以根据线面平行灵活取点求解。‎ 例题2 （求直线与平面所成的角）‎ 在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，‎ ‎（1）求A1B与平面AA1D1D所成的角；‎ ‎（2）求A1B与平面BB1D1D所成的角。‎ 思路分析：找A1B分别在平面AA1D1D及平面BB1D1D内的射影，借助三角形的知识分别求解便可。‎ 答案：（1）∵AB⊥平面AA1D1D，‎ ‎∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角，在Rt△A1AB中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1，‎ ‎∴∠AA1B＝45°，‎ ‎∴A1B与平面AA1D1D所成的角是45°；‎ ‎（2）如图，连接A‎1C1交B1D1于点O，连接BO，‎ ‎∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，‎ ‎∴A1O⊥平面BB1D1D，‎ ‎∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角，‎ 设正方体的棱长为1，∴A1B＝，A1O＝，‎ 又∵∠A1OB＝90°，‎ 7‎ ‎∴sin∠A1BO＝，∴∠A1BO＝30°，‎ ‎∴A1B与平面BB1D1D所成的角是30°。‎ 技巧点拨：‎ ‎1. 求直线和平面所成角的步骤：（1）寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；（2）连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；（3）把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角。‎ ‎2. 在上述步骤中，作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，图形中的特殊点是突破口。‎ 例题3 （立体几何中的综合运用）（山东济宁模拟） 已知在棱长为1的正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP＝m。‎ ‎（1）试确定m的值，使得直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为。‎ ‎（2）在线段A‎1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，证明你的结论。‎ 思路分析：（1）证明AO⊥平面BDD1B1，找到线并求出线面角；‎ ‎（2）猜测Q为A‎1C1的中点，并证明。‎ 答案：（1）连接AC，设AC∩BD＝O，AP与平面BDD1B1交于点G，连接OG，‎ 因为PC∥B1B，B1B⊂平面BDD1B1，‎ 所以PC∥平面BDD1B1，平面BDD1B1∩平面APC＝OG，‎ 故OG∥PC，所以OG＝PC＝，‎ 又AO⊥DB，AO⊥BB1，DB∩BB1＝B，‎ 所以AO⊥平面BDD1B1，‎ 故∠AGO即为AP与平面BDD1B1所成的角，‎ 在Rt△AOG中，tan∠AGO＝＝＝，即m＝，‎ 故当m＝时，直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为；‎ ‎（2）存在理由：依题意，要在A‎1C1上找一点Q，使得D1Q⊥AP，可推测A‎1C1的中点O1即为所求的Q点，‎ 因为D1O1⊥A‎1C1，D1O1⊥AA1，AA1∩A‎1C1＝A1，‎ 所以D1O1⊥平面ACC‎1A1，又AP⊂平面ACC‎1A1，‎ 故D1O1⊥AP，从而D1O1在平面AD1P上的射影与AP垂直，所以存在定点Q满足题意。‎ 技巧点拨：要充分挖掘题目中的垂直关系，求线面角的关键是作出面的垂线。‎ 7‎ ‎ 　‎ 因思考不周全致误 例题 已知平面α外两点A、B到平面α的距离分别为1和2，A、B两点在平面α内的射影之间的距离为，求直线AB和平面α所成的角。‎ 错解：如图，由点A、B分别向平面α作垂线，垂足分别为A1、B1，则AA1＝1，BB1＝2，B‎1A1＝，‎ 由点A向BB1作垂线，垂足为H，则AB与平面α所成的角即为AB与AH所成的角，即∠BAH为AB与平面α所成的角，‎ 在Rt△BHA中，AH＝A1B1＝，‎ BH＝BB1－AA1＝1，‎ ‎∴tan∠BAH＝＝，∴∠BAH＝30°，‎ ‎∴AB与平面α所成的角为30°。‎ 错因分析：上述解法的错误在于仅考虑了A、B两点在平面α同侧的情形，而忽略了A、B两点位于平面α异侧的情形。‎ 防范措施：点、线、面的位置不同，所得出的结论往往不同，本题中AB射影位置的确定依赖于A，B两点的位置，而A，B可能在平面的同侧，也可能在平面的两侧，必须对两种情况分别加以讨论。‎ 正解：①当点A、B在平面α的同侧时，由以上知直线AB与平面α所成的角为30°；‎ 图（2）‎ ‎②当点A、B位于平面α的异侧时，如图（2），由点A、B分别向平面α作垂线，垂足分别为A1、B1，AB与平面α相交于点C，A1B1为AB在平面α上的射影，‎ ‎∴∠BCB1或∠ACA1为AB与平面α所成的角，‎ 在Rt△BCB1中，BB1＝2，‎ 在Rt△AA‎1C中，AA1＝1，‎ ‎∵△BCB1∽△ACA1，∴＝2，‎ 7‎ ‎∴B‎1C＝2CA1，而B‎1C＋CA1＝，∴B‎1C＝，‎ ‎∵tan∠BCB1＝＝，∴∠BCB1＝60°，‎ ‎∴AB与平面α所成的角为60°，‎ 综合①、②可知：AB与平面α所成的角为30°或60°。‎ 7‎