高考数学专题复习练习第5讲对数与对数函数 6页

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2021-06-19 发布

高考数学专题复习练习第5讲对数与对数函数

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第5讲对数与对数函数一、选择题 ‎1．已知实数a＝log45，b＝0，c＝log30.4，则a，b，c的大小关系为(　　)‎ A．b1，b＝0＝1，c＝log30.4<0，故c1，且>0，得10且a≠1)满足对任意的x1，x2，当x10，则实数a的取值范围为 (　　)．‎ A．(0,1)∪(1,3) B．(1,3)‎ C．(0,1)∪(1,2) D．(1,2)‎ 解析　“对任意的x1，x2，当x1‎0”‎实质上就是“函数单调递减”的“伪装”，同时还隐含了“f(x)有意义”．事实上由于g(x)＝x2－ax＋3在x≤时递减，从而由此得a的取值范围为(1,2)．故选D.‎ 答案　D ‎6．已知函数f(x)＝|lg x|，若03.故选C.‎ 答案　C 二、填空题 ‎7．对任意非零实数a，b，若a⊗b的运算原理如图所示，则(log8)⊗－2＝________.‎ 解析　框图的实质是分段函数，log8＝－3，－2＝9，由框图可以看出输出＝－3.‎ 答案　－3.‎ ‎8．设g(x)＝则g＝________.‎ 解析　g＝ln ＜0，‎ ‎∴g＝g＝eln＝.‎ 答案　 ‎9．已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A⊆B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝________.‎ 解析　∵log2x≤2，∴0＜x≤4.又∵A⊆B，∴a＞4，∴c＝4.‎ 答案　4‎ ‎10．对于任意实数x，符号[x]表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数．在实数轴R(箭头向右)上[x]是在点x左侧的第一个整数点，当x是整数时[x]就是x.这个函数[x]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用．那么[log31]＋[log32]＋[log33]＋[log34]＋…＋[log3243]＝________.‎ 解析　当1≤n≤2时，[log3n]＝0，当3≤n<32时，[log3n]＝1，…，当3k≤n<3k＋1时，[log3n]＝k.‎ 故[log31]＋[log32]＋[log33]＋[log34]＋…＋[log3243]＝0×2＋1×(32－3)＋2×(33－32)＋3×(34－33)＋4×(35－34)＋5＝857.‎ 答案　857‎ 三、解答题 ‎11．已知函数f(x)＝log(a2－‎3a＋3)x.‎ ‎(1)判断函数的奇偶性；‎ ‎(2)若y＝f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，求a的取值范围．‎ 解　(1)函数f(x)＝log(a2－‎3a＋3)x的定义域为R.‎ 又f(－x)＝log(a2－‎3a＋3)－x ‎＝－log(a2－‎3a＋3)x＝－f(x)，‎ 所以函数f(x)是奇函数．‎ ‎(2)函数f(x)＝log(a2－‎3a＋3)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则y＝(a2－‎3a＋3)x在(－∞，＋∞)上为增函数，‎ 由指数函数的单调性，知a2－‎3a＋3>1，解得a<1或a>2.‎ 所以a的取值范围是(－∞，1)∪(2，＋∞)．‎ ‎12．若函数y＝lg(3－4x＋x2)的定义域为M.当x∈M时，求f(x)＝2x＋2－3×4x的最值及相应的x的值．‎ 解　y＝lg(3－4x＋x2)，∴3－4x＋x2＞0，‎ 解得x＜1或x＞3，∴M＝{x|x＜1，或x＞3}，‎ f(x)＝2x＋2－3×4x＝4×2x－3×(2x)2.‎ 令2x＝t，∵x＜1或x＞3，∴t＞8或0＜t＜2.‎ ‎∴f(t)＝4t－3t2＝－32＋(t＞8或0＜t＜2)．‎ 由二次函数性质可知：‎ 当0＜t＜2时，f(t)∈，‎ 当t＞8时，f(t)∈(－∞，－160)，‎ 当2x＝t＝，即x＝log2 时，f(x)max＝.‎ 综上可知：当x＝log2 时，f(x)取到最大值为，无最小值．‎ ‎13．已知函数f(x)＝loga(a＞0，b＞0，a≠1)．‎ ‎(1)求f(x)的定义域；‎ ‎(2)讨论f(x)的奇偶性；‎ ‎(3)讨论f(x)的单调性；‎ 解　(1)令＞0，‎ 解得f(x)的定义域为(－∞，－b)∪(b，＋∞)．‎ ‎(2)因f(－x)＝loga＝loga－1‎ ‎＝－loga＝－f(x)，‎ 故f(x)是奇函数．‎ ‎(3)令u(x)＝，则函数u(x)＝1＋在(－∞，－b)和(b，＋∞)上是减函数，所以当0＜a＜1时，f(x)在(－∞，－b)和(b，＋∞)上是增函数；当a＞1时，f(x)在(－∞，－b)和(b，＋∞)上是减函数．‎ ‎14．已知函数f(x)＝loga，(a>0，且a≠1)．‎ ‎(1)求函数的定义域，并证明：f(x)＝loga在定义域上是奇函数；‎ ‎(2)对于x∈[2,4]，f(x)＝loga>loga恒成立，求m的取值范围．‎ 解　(1)由>0，解得x<－1或x>1，‎ ‎∴函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．‎ 当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f(－x)＝loga＝loga＝loga－1＝－loga＝－f(x)，‎ ‎∴f(x)＝loga在定义域上是奇函数．‎ ‎(2)由x∈[2,4]时，f(x)＝loga>loga恒成立，‎ ‎①当a>1时，‎ ‎∴>>0对x∈[2,4]恒成立．‎ ‎∴00.‎ ‎∴y＝g(x)在区间[2,4]上是增函数，g(x)min＝g(2)＝15.‎ ‎∴0loga恒成立，‎ ‎∴<对x∈[2,4]恒成立．‎ ‎∴m>(x＋1)(x－1)(7－x)在x∈[2,4]恒成立．‎ 设g(x)＝(x＋1)(x－1)(7－x)，x∈[2,4]，‎ 由①可知y＝g(x)在区间[2,4]上是增函数，‎ g(x)max＝g(4)＝45，∴m>45.‎ ‎∴m的取值范围是(0,15)∪(45，＋∞).‎

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