高考数学专题复习练习：考点规范练29 6页

考点规范练29　等差数列及其前n项和 ‎　考点规范练A册第20页　 ‎ 基础巩固 ‎1.已知Sn为等差数列{an}的前n项和,a2+a8=6,则S9等于(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.‎27‎‎2‎ B.27 C.54 D.108‎ 答案B 解析S9=‎9(a‎1‎+a‎9‎)‎‎2‎‎=‎‎9(a‎2‎+a‎8‎)‎‎2‎=27.‎ ‎2.已知{an}是公差为1的等差数列,Sn为{an}的前n项和.若S8=4S4,则a10=(　　)‎ A.‎17‎‎2‎ B.‎19‎‎2‎ C.10 D.12‎ 答案B 解析∵公差d=1,S8=4S4,‎ ‎∴‎8(a‎1‎+a‎8‎)‎‎2‎‎=‎‎4×4(a‎1‎+a‎4‎)‎‎2‎,‎ 即2a1+7d=4a1+6d,解得a1=‎1‎‎2‎.‎ ‎∴a10=a1+9d=‎1‎‎2‎+9=‎19‎‎2‎.‎ ‎3.已知在每项均大于零的数列{an}中,首项a1=1,且前n项和Sn满足SnSn-1‎-Sn-1Sn=2SnSn-1‎(n∈N*,且n≥2),则a81等于(　　)‎ A.638 B.639 C.640 D.641〚导学号74920262〛‎ 答案C 解析由已知SnSn-1‎-Sn-1Sn=2SnSn-1‎,可得Sn‎-‎Sn-1‎=2,‎ ‎∴{Sn}是以1为首项,2为公差的等差数列,‎ 故Sn=2n-1,Sn=(2n-1)2,‎ ‎∴a81=S81-S80=1612-1592=640,故选C.‎ ‎4.已知数列{an}是等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,{an}的前n项和为Sn,则使得Sn达到最大的n是(　　)‎ A.18 B.19 C.20 D.21〚导学号74920263〛‎ 答案C 解析a1+a3+a5=105⇒a3=35,a2+a4+a6=99⇒a4=33,则{an}的公差d=33-35=-2,a1=a3-2d=39,Sn=-n2+40n,‎ 因此当Sn取得最大值时,n=20.‎ ‎5.(2016河北衡水中学一模)在等差数列{an}中,ana‎2n是一个与n无关的常数,则该常数的可能值的集合为(　　)‎ A.{1} B.‎1,‎‎1‎‎2‎ C.‎1‎‎2‎ D.‎0,1,‎‎1‎‎2‎〚导学号74920264〛‎ 答案B 解析特殊值验证法.若ana‎2n=1,则数列{an}是一个常数列,满足题意;‎ 若ana‎2n‎=‎‎1‎‎2‎,设等差数列的公差为d,则an=‎1‎‎2‎a2n=‎1‎‎2‎(an+nd),‎ 化简得an=nd,即a1+(n-1)d=nd,‎ 化简得a1=d,也满足题意;‎ 若ana‎2n=0,则an=0,不符合题意.故选B.‎ ‎6.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S10=10,S20=30,则S30=　　　　　. ‎ 答案60‎ 解析∵Sn是等差数列{an}的前n项和,‎ ‎∴S10,S20-S10,S30-S20也成等差数列.‎ ‎∴2(S20-S10)=S10+(S30-S20).∴S30=60.‎ ‎7.已知在数列{an}中,a1=1,a2=2,当整数n≥2时,Sn+1+Sn-1=2(Sn+S1)都成立,则S15=　　　　　.〚导学号74920265〛 ‎ 答案211‎ 解析由Sn+1+Sn-1=2(Sn+S1)得(Sn+1-Sn)-(Sn-Sn-1)=2S1=2,即an+1-an=2(n≥2),∴数列{an}从第二项起构成以2为首项,2为公差的等差数列,则S15=1+2×14+‎14×13‎‎2‎×2=211.‎ ‎8.若数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+2SnSn-1=0(n≥2),a1=‎1‎‎2‎.‎ ‎(1)求证:‎1‎Sn成等差数列;‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式.‎ ‎(1)证明当n≥2时,由an+2SnSn-1=0,‎ 得Sn-Sn-1=-2SnSn-1,所以‎1‎Sn‎-‎‎1‎Sn-1‎=2.‎ 又‎1‎S‎1‎‎=‎‎1‎a‎1‎=2,故‎1‎Sn是首项为2,公差为2的等差数列.‎ ‎(2)解由(1)可得‎1‎Sn=2n,∴Sn=‎1‎‎2n.‎ 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=‎‎1‎‎2n‎-‎‎1‎‎2(n-1)‎ ‎=n-1-n‎2n(n-1)‎=-‎1‎‎2n(n-1)‎.‎ 当n=1时,a1=‎1‎‎2‎不适合上式.‎ 故an=‎‎1‎‎2‎‎,n=1,‎‎-‎1‎‎2n(n-1)‎,n≥2.‎ ‎9.(2016全国甲卷,文17)在等差数列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)设bn=[an],求数列{bn}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.‎ 解(1)设数列{an}的公差为d,‎ 由题意有2a1+5d=4,a1+5d=3,‎ 解得a1=1,d=‎2‎‎5‎.‎ 所以{an}的通项公式为an=‎2n+3‎‎5‎.‎ ‎(2)由(1)知,bn=‎2n+3‎‎5‎.‎ 当n=1,2,3时,1≤‎2n+3‎‎5‎<2,bn=1;‎ 当n=4,5时,2≤‎2n+3‎‎5‎<3,bn=2;‎ 当n=6,7,8时,3≤‎2n+3‎‎5‎<4,bn=3;‎ 当n=9,10时,4≤‎2n+3‎‎5‎<5,bn=4.‎ 所以数列{bn}的前10项和为1×3+2×2+3×3+4×2=24.〚导学号74920266〛‎ 能力提升 ‎10.若数列{an}满足:a1=19,an+1=an-3(n∈N*),则数列{an}的前n项和数值最大时,n的值为(　　)‎ A.6 B.7 C.8 D.9〚导学号74920267〛‎ 答案B 解析∵a1=19,an+1-an=-3,‎ ‎∴数列{an}是以19为首项,-3为公差的等差数列.‎ ‎∴an=19+(n-1)×(-3)=22-3n.‎ 设{an}的前k项和数值最大,则有ak‎≥0,‎ak+1‎‎≤0,‎k∈N*.‎ ‎∴‎22-3k≥0,‎‎22-3(k+1)≤0.‎‎∴‎‎19‎‎3‎≤k≤‎22‎‎3‎.‎ ‎∵k∈N*,∴k=7.‎ ‎∴满足条件的n的值为7.‎ ‎11.等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S10=0,S15=25,则nSn的最小值为　　　　　.〚导学号74920268〛 ‎ 答案-49‎ 解析设数列{an}的首项为a1,公差为d,则S10=10a1+‎10×9‎‎2‎d=10a1+45d=0,①‎ S15=15a1+‎15×14‎‎2‎d=15a1+105d=25.②‎ 联立①②,得a1=-3,d=‎2‎‎3‎,‎ ‎∴Sn=-3n+n(n-1)‎‎2‎‎×‎2‎‎3‎=‎‎1‎‎3‎n2-‎10‎‎3‎n.‎ 令f(n)=nSn,则f(n)=‎1‎‎3‎n3-‎10‎‎3‎n2,f'(n)=n2-‎20‎‎3‎n.‎ 令f'(n)=0,得n=0或n=‎20‎‎3‎.‎ 当n>‎20‎‎3‎时,f'(n)>0,当00,∴a3