高考数学专题复习练习第二章 第九节 函数与方程 课下练兵场 4页

第二章 第九节 函数与方程 课下作业 命 题 报 告 ‎ 难度及题号 知识点 容易题 ‎(题号)‎ 中等题 ‎(题号)‎ 稍难题 ‎(题号)‎ 函数零点的判定 ‎1、3‎ ‎8、9、10‎ 二 分 法 ‎2、4‎ ‎7‎ 函数零点的综合应用 ‎5、6‎ ‎11、12‎ 一、选择题 ‎1.(2009·衡阳检测)已知函数则函数零点个数为 (　　)‎ A.1　　　　　　　　　B‎.2 C.3 D.4‎ 解析：只要画出分段函数的图象，就可以知道图象与x轴有三个交点，即函数的零点有 ‎3个.‎ 答案：C ‎2.下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是 (　　)‎ 解析：能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a，b]上连续不断，并且有f(a)·f(b)＜‎ ‎0.A、B中不存在f(x)＜0，D中函数不连续.故选C.‎ 答案：C ‎3.设f(x)＝x3＋bx＋c是[－1,1]上的增函数，且f(－)·f()<0，则方程f(x)＝0在[－1,1]内(　　)‎ A.可能有3个实数根 B.可能有2个实数根 C.有唯一的实数根 D.没有实数根 解析：由f(x)在[－1,1]上是增函数，且f(－)·f()<0，知f(x)在[－，]上有唯一实数 根，所以方程f(x)＝0在[－1,1]上有唯一实数根.‎ 答案：C ‎4.若函数f(x)在(1,2)内有一个零点，要使零点的近似值满足精确度为0.01，则对区间(1,2)至少二等分 (　　)‎ A.5次 B.6次 C.7次 D.8次 解析：设对区间(1,2)至少二等分n次，此时区间长为1，第1次二等分后区间长为，第2次二等分后区间长为，第3次二等分后区间长为，…，第n次二等分后区间长为依题意得<0.01，∴n>log2100.由于60，g(3)>0，g(4)>0，易知函数 g(x)的零点所在区间为(1,2).‎ 答案：B 二、填空题 ‎7.用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈　　　　，第二次应计算　　　　，这时可判断x0∈　　　　.‎ 解析：由二分法知x0∈(0,0.5)，取x1＝0.25，‎ 这时f(0.25)＝0.253＋3×0.25－1＜0，‎ 故x0∈(0.25,0.5).‎ 答案：(0,0.5)　f(0.25)　(0.25,0.5)‎ ‎8.已知函数f(x)＝2mx＋4，若在[－2,1]上存在x0，使f(x0)＝0，则实数m的取值范围 是　　　　.‎ 解析：由题意知m≠0，∴f(x)是单调函数.‎ 又在[－2,1]上存在x0，使f(x0)＝0，‎ ‎∴f(－2)f(1)≤0，‎ 即(－‎4m＋4)(‎2m＋4)≤0，解得m≤－2，或m≥1.‎ 答案：m≤－2，或m≥1‎ ‎9.(2009·山东高考)若函数f(x)＝ax－x－a(a＞0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是　　　　.‎ 解析：令g(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，h(x)＝x＋a，分0＜a＜1，a＞1两种情况.在同一坐标 系中画出两个函数的图象，如图，若函数f(x)＝ax－x－a有两个不同的零点，则函数 g(x)，h(x)的图象有两个不同的交点.根据画出的图象只有当a＞1时符合题目要求.‎ 答案：(1，＋∞)‎ 三、解答题 ‎10.已知函数f(x)＝x3－x2＋＋.‎ 证明：存在x0∈(0，)，使f(x0)＝x0.‎ 证明：令g(x)＝f(x)－x.‎ ‎∵g(0)＝，g()＝f()－＝－，‎ ‎∴g(0)·g()<0.‎ 又函数g(x)在[0，]上连续，‎ 所以存在x0∈(0，)，使g(x0)＝0.‎ 即f(x0)＝x0.‎ ‎11.已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点.‎ 解：∵f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，‎ 即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0仅有一个实根.‎ 设2x＝t(t＞0)，则t2＋mt＋1＝0.‎ 当Δ＝0，即m2－4＝0，‎ ‎∴m＝－2时，t＝1；m＝2时，t＝－1不合题意，舍去，‎ ‎∴2x＝1，x＝0符合题意.‎ 当Δ＞0，即m＞2或m＜－2时，‎ t2＋mt＋1＝0有一正一负根，‎ 即t1t2＜0，这与t1t2＞0矛盾.‎ ‎∴这种情况不可能.‎ 综上可知：m＝－2时，f(x)有唯一零点，该零点为x＝0.‎ ‎12.若函数f(x)＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f(x)有极值－.‎ ‎(1)求函数的解析式；‎ ‎(2)若关于x的方程f(x)＝k有三个零点，求实数k的取值范围.‎ 解：由题意可知f′(x)＝3ax2－b，‎ ‎(1)于是 故所求的解析式为f(x)＝x3－4x＋4.‎ ‎(2)由(1)可知f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)，‎ 令f′(x)＝0，得x＝2，或x＝－2.‎ 当x变化时f′(x)、f(x)的变化情况如下表所示：‎ X ‎(－∞，－2)‎ ‎－2‎ ‎(－2,2)‎ ‎2‎ ‎(2，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎ 单调递增 单调递减 单调递增 因此，当x＝－2时，f(x)有极大值；‎ 当x＝2时，f(x)有极小值－.‎ 所以函数的大致图象如图.‎ 故实数k的取值范围是 ‎－＜k＜.‎