2014高考数学题库精选核心考点大冲关专题演练33 离散型随机变量的均值与方差（理） 43页

考点33离散型随机变量的均值与方差（理）‎ ‎【考点分类】‎ 热点一 抽样方法 ‎1.【2013年全国高考新课标（I）理科】为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中 抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，‎ 而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )‎ A、简单随机抽样 B、按性别分层抽样 C、按学段分层抽样 D、系统抽样 ‎2.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）理】某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（ ）‎ A．抽签法 B．随机数法 C．系统抽样法 D．分层抽样法 ‎ ‎3.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）】某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为 （ ）‎ ‎ (A) 11 (B) 12 (C) 13 (D) 14‎ ‎4.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理】总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为 （ ）‎ ‎7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198‎ ‎3204 9234 4934 8200 3623 4869 6938 7481‎ A.08 B.07 C.02 D.01‎ ‎[答案]D ‎[解析]从第一行的第5列和第6列起由左向右读数划去大于20的数分别为：08,02,14,07,01，所以第5个个体是01，选D.‎ ‎【方法总结】‎ 类别 共同点 各自特点 相互联系 适用范围 简单 随机 抽样 抽样过程中每个个体被抽取的机会均等[来源:Z,xx,k.Com][来源:学科网]‎ 从总体中逐个抽取[来源:学.科.网Z.X.X.K]‎ ‎ ‎ 总体中的个体数较少[来源:Z#xx#k.Com][来源:Z_xx_k.Com]‎ 系统 抽样 将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分抽取 在起始部分抽样时采用简单随机抽样 总体中的个体数较多 分层 抽样 将总体分成几层，分层进行抽取 各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样 总体由差异明显的几部分组成 ‎(1)当总体中的个体数较多，并且没有明显的层次差异时，可用系统抽样的方法，把总体分成均衡的几部分，按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到需要的样本．‎ ‎(2)在利用系统抽样时，经常遇到总体容量不能被样本容量整除的情况，这时可以先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除．‎ 热点二 频率分布直方图的绘制与应用 ‎5.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科】某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，‎ 数据的分组一次为 若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎6.【2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷理科】从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，‎ 发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示. ‎ ‎ （Ⅰ）直方图中的值为_________；‎ ‎ （Ⅱ）在这些用户中，用电量落在区间内的户数为_________. ‎ ‎7.【2013年普通高等学校招生全国统一考试福建卷理】某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100]加以统计，‎ 得到如图所示的频率分布直方图.已知高一年级共有学生600名，‎ 据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ）‎ A.588 B.480 C.450 D.120 ‎ ‎8.（2012年高考（辽宁理））电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图;‎ 将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.‎ ‎(Ⅰ)根据已知条件完成下面的列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别 有关?‎ ‎(Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽 样方法每次抽取1名观众,抽取3次,记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的,求X的分布列,期望和方差.‎ 附:‎ ‎,从而X的分布列为: ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎9.（2012年高考（广东理））(概率统计)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示,其中成绩分组区间是:、、、、、.‎ ‎(Ⅰ)求图中的值;‎ ‎(Ⅱ)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为,求的数学期望.‎ ‎10.【2013年普通高等学校统一考试试题新课标Ⅱ数学（理）卷】‎ ‎100‎ ‎110‎ ‎120‎ ‎130‎ ‎140‎ ‎150‎ ‎0.010‎ ‎0.015‎ ‎0.020‎ ‎0.025‎ ‎0.030‎ 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如右图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品.以x（单位：t，100≤x≤150）表示下一个销售季度内经销该农产品的数量，T表示利润.‎ ‎（Ⅰ）将T表示为x的函数 ‎（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率;‎ ‎（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若x,则取x=105，且x=105的概率等于需求量落入[100，110，求T的数学期望.‎ ‎11.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）理】‎ 下图是某市‎3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择‎3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天 ‎（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率 ‎（Ⅱ）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望.‎ ‎（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）‎ ‎【方法总结】‎ ‎1.频率分布直方图中相邻两横坐标之差表示组距，纵坐标表示，频率＝组距×.‎ ‎2．频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1，因此在频率分布直方图中组距是一个固定值，所以各小长方形高的比也就是频率比．‎ ‎3．频率分布表和频率分布直方图是一组数据频率分布的两种形式，前者准确，后者直观．‎ 热点二、茎叶图的应用 ‎12．（2012年高考（陕西理））从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机,对其销售额进行统计,统计数据用茎叶图表示(如图所示),设甲乙两组数据的平均数分别为,,中位数分别为,,则 ‎ ‎ （　　）‎ A． , ‎ B．, ‎ C．, ‎ D．,‎ ‎【解析】直接根据茎叶图判断,选B ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎13.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理】某车间共有名工人,随机抽取名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.‎ ‎(Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值；‎ ‎(Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.‎ 根据茎叶图推断该车间名工人中有几名优秀工人；‎ ‎(Ⅲ) 从该车间名工人中,任取人,求恰有名优秀 工人的概率.‎ ‎【方法总结】‎ 由于茎叶图完全反映了所有的原始数据，解决由茎叶图给出的统计图表试题时，就要充分使用这个图表提供的数据进行相关的计算或者是对某些问题作出判断，这类试题往往伴随着对数据组的平均值或者是方差的计算等．‎ 热点三 离散型随机变量的均值与方差 ‎14.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理】已知离散型随机变量的分布列为 ‎ 则的数学期望 ( )‎ A . B． C． D．‎ ‎15.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科】为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为 .‎ ‎16.【2013年普通高等学校统一考试江苏数学试题】抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结果如下：‎ 则成绩较稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 .‎ ‎17.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理】设非零常数d是等差数列的公差，随机变量等可能地取值，则方差.‎ ‎19.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国理科】‎ 甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结束相互独立，第1局甲当裁判.‎ ‎（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；‎ ‎（Ⅱ）表示前4局中乙当裁判的次数，求的数学期望.‎ ‎20.【2013年普通高等学校招生全国统一考试福建卷】某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品.‎ （1） 若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为,求的概率；‎ （2） 若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？‎ ‎21.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科】‎ 现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答. ‎ ‎（I）求张同学至少取到1道乙类题的概率；‎ ‎（II）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立.用表示张同学答对题的个数，求的分布列和数学期望.‎ 所求的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎22.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理】‎ ‎ 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立.‎ ‎（Ⅰ）分别求甲队以胜利的概率；‎ ‎（Ⅱ）若比赛结果为求或，则胜利方得分，对方得分；若比赛结果为，则胜利方得分、对方得分.求乙队得分的分布列及数学期望.‎ ‎【解析】解法一 （Ⅰ）设甲胜局次分别为负局次分别为 ‎（Ⅱ）根据题意乙队得分分别为 所以乙队得分的分布列为 故的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 所以.‎ ‎23.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）】在一场娱乐晚会上, 有5位民间歌手(1至5号)登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选3名选手, 其中观众甲是1号歌手的歌迷, 他必选1号, 不选2号, 另在3至5号中随机选2名. 观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱, 因此在1至5号中随机选3名歌手. ‎ ‎ (Ⅰ) 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率; ‎ ‎ (Ⅱ) X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求X的分布列和数学期望. ‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎.‎ ‎24.【2013年普通高等学校招生全国统一考试数学浙江理】‎ 设袋子中装有个红球，个黄球，个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球2分，取出蓝球得3分.‎ ‎（Ⅰ）当时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量为取出此2球所得分数之和，.求分布列；‎ ‎（Ⅱ）从该袋子中任取（且每球取到的机会均等）1个球，记随机变量为取出此球所得分数.若，求 ‎25.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）】某人在如图4所示的直角边长为‎4米的三角形地块的每个格点（指纵、横的交叉点记忆三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ Y ‎51‎ ‎48‎ ‎45‎ ‎42‎ 这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.‎ ‎（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；‎ ‎（II）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望.‎ ‎26.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理】小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队，游戏规则为：以0为起点，再从，（如图）这8个点中任取两点分别分终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X=0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队.‎ （1） 求小波参加学校合唱团的概率；‎ （2） 求X的分布列和数学期望.‎ ‎27.【2013年普通高等学校统一考试天津卷理科】‎ 一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同). ‎ ‎(Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率. ‎ ‎(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X, 求随机变量X的分布列和数学期望. ‎ ‎【答案】(Ⅰ)设“取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片”为事件A，则 ‎.‎ ‎28.【2013年全国高考新课标（I）理科】一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验.‎ 假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立 ‎（1）求这批产品通过检验的概率；‎ ‎（2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望.‎ ‎30.（2012年高考（重庆理））(本小题满分13分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问8分.)‎ 甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为,乙每次投篮投中的概率为,且各次投篮互不影响.‎ ‎(Ⅰ) 求甲获胜的概率;‎ ‎(Ⅱ) 求投篮结束时甲的投篮次数的分布列与期望 综上知,有分布列 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 从而,(次)‎ ‎ 31．（2012年高考（湖南理））某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示.‎ 一次购物量 ‎1至4件 ‎5至8件 ‎9至12件 ‎13至16件 ‎17件及以上 顾客数(人)‎ ‎30‎ ‎25‎ ‎10‎ 结算时间(分钟/人)‎ ‎1‎ ‎1.5‎ ‎2‎ ‎2.5‎ ‎3‎ 已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%.‎ ‎(Ⅰ)确定x,y的值,并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望;‎ ‎(Ⅱ)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾客结算前的等候时间 不超过2 钟的概率.‎ ‎(注:将频率视为概率)‎ ‎. ‎ ‎32．（2012年高考（湖北理））根据以往的经验,某工程施工期间的降水量X(单位:mm)对工期的影响如下表:‎ 降水量X 工期延误天数 ‎0‎ ‎2‎ ‎6‎ ‎10‎ 历 年气象资料表明,该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9. 求:‎ ‎(Ⅰ)工期延误天数的均值与方差; ‎ ‎(Ⅱ)在降水量X至少是的条件下,工期延误不超过6天的概率. ‎ 又. ‎ ‎33．（2012年高考（安徽理））某单位招聘面试,每次从试题库随机调用一道试题,若调用的是类型试题,则使用后该试题回库,并增补一道类试题和一道类型试题入库,此次调题工作结束;若调用的是类型试题,则使用后该试题回库,此次调题工作结束.试题库中现共有道 试题,其中有道类型试题和道类型试题,以表示两次调题工作完成后,试题库中类试题的数量.‎ ‎(Ⅰ)求的概率;‎ ‎(Ⅱ)设,求的分布列和均值(数学期望).‎ ‎【方法总结】‎ ‎1.求离散型随机变量均值的方法步骤：‎ ‎(1)理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；(2)求ξ取每个值的概率；‎ ‎(3)写出ξ的分布列；(4)由均值的定义求E(ξ)．需要注意的是：E(ξ)是一个实数，即ξ作为随机变量是可变的，而E(ξ)是不变的．‎ ‎2.求离散型随机变量的分布列的突破口：首先，明确随机变量的所有可能取值，以及取每个值时所表示的意义；其次，利用概率的有关知识，求出随机变量取每个值时的概率，如本例中，利用古典概型的概率公式求出随机变量取各个值时的概率；最后，列表格写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确．1.离散型随机变量的分布列刻画了随机变量取值的概率规律，随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．‎ ‎3.离散型随机变量ξ的方差D(ξ)表示随机变量ξ对E(ξ)的平均偏离程度，D(ξ)越大表明平均偏离程度越大，说明ξ的取值越分散，反之，D(ξ)越小，ξ的取值越集中在E(ξ)附近，统计中常用标准差来描述ξ的分散程度．同时利用公式D(aξ＋b)＝a2D(ξ)可解决呈线性关系的两变量方差的计算问题．期望与方差的关系是D(ξ)＝E(ξ2)－(E(ξ))2.因此也可利用该关系求方差．‎ ‎4.求离散型随机变量的方差的方法步骤：(1)求E(ξ)(具体方法见考点一的3)；‎ ‎(2)代入方差公式求D(ξ)．‎ 正确求出分布列是求均值和方差的前提，有时善于使用公式，可简化计算。‎ ‎【考点剖析】‎ 一．明确要求 ‎1.了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点．‎ ‎2．理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差．‎ ‎3．能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并给出合理的解释．‎ ‎4．会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想．‎ ‎5．会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.‎ ‎6.理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念．‎ ‎7．能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题.‎ 二．命题方向 ‎1．考查样本的频率分布(分布表、直方图、茎叶图)中的有关计算，样本特征数(众数、中位数、平均数、标准差)的计算．主要以选择题、填空题为主．‎ ‎2．考查以样本的分布估计总体的分布(以样本的频率估计总体的频率、以样本的特征数估计总体的特征数)．‎ ‎3.离散型随机变量的均值与方差是高考的热点题型，以解答题为主，也有选择、填空题，属中档题，常与排列组合概率等知识综合命题.‎ 三．规律总结 两个异同 ‎(1)众数、中位数与平均数的异同 ‎①众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量．‎ ‎②由于平均数与每一个样本数据有关，所以，任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是中位数、众数都不具有的性质. ‎ ‎③众数考查各数据出现的频率，其大小只与这组数据中的部分数据有关．当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往更能反映问题．‎ ‎④某些数据的变动对中位数可能没有影响．中位数可能出现在所给数据中，也可能不在所给数据中．当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其集中趋势．‎ ‎(2)标准差与方差的异同 标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度就越大；标准差、方差越小，数据的离散程度则越小，因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．‎ 三个特征 利用频率分布直方图估计样本的数字特征：‎ ‎(1)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数值．‎ ‎(2)平均数：平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘以矩形底边中点横坐标之和．‎ ‎(3)众数：最高的矩形的中点的横坐标．‎ 两个防范 在记忆D(aX＋b)＝a2D(X)时要注意：D(aX＋b)≠aD(X)＋b，D(aX＋b)≠aD(X)．‎ 三种分布 ‎(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)；‎ ‎(2)X～B(n，p)，则 E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)；‎ ‎(3)若X服从超几何分布，‎ 则E(X)＝n.‎ 六条性质 ‎(1)E(C)＝C(C为常数)‎ ‎(2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b(a、b为常数)‎ ‎(3)E(X1＋X2)＝EX1＋EX2‎ ‎(4)如果X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)E(X2)‎ ‎(5)D(X)＝E(X2)－(E(X))2‎ ‎(6)D(aX＋b)＝a2·D(X)‎ ‎【考点模拟】‎ 一．扎实基础 ‎1. 【安徽省江淮名校2013届高考最后一卷理科数学】随机变量，且，则等于（ ）‎ A. 0.3‎‎ B. ‎0.2 C. 0.1 D. 0.25‎ ‎2. 【山东省临沂市2013届高三5月高考模拟】某商品的销售量y（件）与销售价格x（元/件）存在线性相关关系，根据一组样本数据，用最小二乘法建立的回归方程为 则下列结论正确的是( )‎ ‎（A）y与x具有正的线性相关关系 ‎（B）若r表示变量y与x之间的线性相关系数，则 ‎（C）当销售价格为10元时，销售量为100件 ‎（D）当销售价格为10元时，销售量为100件左右 ‎.‎ ‎3. 【山东省济南市2013届高三高考第一次模拟考试】某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种 树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了10株树苗，用茎叶图表示上述两组数据，对两块地抽取树苗的高度的平均数和中位数进行比较，下面结论正确的是 ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎4.【山东省烟台市2013届高三第一次模拟诊断性测试】若回归直线方程的斜率的估计值是1．23，样 本点的中心为（4，5），则回归直线的方程是( )‎ ‎ A．=1．23x+4 B．=1．23x+‎5 ‎ C．=1．23x+0．08 D．=0．08x+1．23‎ ‎5. 【上海市2013届高考黄浦二模卷】 一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有1件次品. ‎ 用户先对产品进行随机抽检以决定是否接受. 抽检规则如下：至多抽检3次，每次抽检一件产品(抽 检后不放回)，只要检验到次品就停止继续抽检，并拒收这箱产品；若3次都没有检验到次品，则 接受这箱产品，按上述规则，该用户抽检次数的数学期望是 ．‎ ‎6.【内蒙古赤峰市2013届高三最后一次仿真统考】高三（2）班在一次数学考试中，对甲、乙两组各12名同学的成绩进行统计分析，两组成绩的茎叶图如图所示，成绩不少于90分为及格，现从两组成绩中按分层抽样抽取一个容量为6的样本，则不及格分数应抽 个. ‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】从茎叶图可知及格分数与不及格分数各占一半，所以不及格分数应抽3个.‎ ‎7.【湖北省黄冈市黄冈中学2013届高三五月第二次模拟考试】一个学校高三年级共有学生600人，其中男生有360人，女生有240人，为了调查高三学生的复习状况，用分层抽样的方法从全体高三学生中抽取一个容量为50的样本，应抽取女生 人．‎ ‎8.【河北省唐山市2013届高三第二次模拟考试】如图是甲、乙两名篮球运动员2012年赛季每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人比赛得分的中位数之和是______。‎ ‎9.【湖南师大附中2013届高三第六次月考】采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，……，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为 .‎ ‎10.【山东省济南市2013届高三高考第一次模拟考试】为了均衡教育资源，加大对偏远地区的教育投入，‎ 调查了某地若干户家庭的年收入x（单位：万元）和年教育支出y（单位：万元），调查显示年收入x与 年教育支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：.由回归直 线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年教育支出平均增加____________万元． ‎ ‎【答案】0.15‎ ‎【解析】回归直线的斜率为，所以家庭年收入每增加1万元，年教育支出平均增加万元。‎ 频率/组距 元 ‎0.037‎ ‎0.023‎ ‎0.01‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ 二．能力拔高 ‎11. 【上海市2013届高考崇明二模卷】学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了个同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在[10,50)(单位：元)，其中支出在[30,50)(单位：元)的同学有67人，其频率分布直方图如右图所示，则的值为 ( )‎ ‎ A.100 B.120 C.130 D.390‎ ‎12. 【江西省南昌市2013届二模考试】下列四个判断：‎ ‎ ①某校高三（1）班的人和高三（2）班的人数分别是，某次测试数学平均分分别是，则这两个班的数学平均分为；②从总体中抽取的样本则回归直线③已知服从正态分布 其中正确的个数有（ ）‎ ‎ A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 ‎13. 【2013年山东省临沂市高三教学质量检测考试】某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持与不支持)的关系，运用22列联表进行独立性检验，经计算K2=7．069，则所得到的统计学结论为：有多大把握认为“学生性别与支持该活动有关系”．‎ 附：‎ P(K≥k0)‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k。‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎ (A)0．1％ (B)1％ (C)99％ (D)99．9％‎ ‎14.【广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟】一般来说，一个人脚掌越长，他的身高就越高，现对10名成年人的脚掌长与身高进行测量，得到数据（单位均为）如上表，‎ 脚长 ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ ‎23‎ ‎24‎ ‎25‎ ‎26‎ ‎27‎ ‎28‎ ‎29‎ 身高 ‎141‎ ‎146‎ ‎154‎ ‎160‎ ‎169‎ ‎176‎ ‎181‎ ‎188‎ ‎197‎ ‎203‎ 作出散点图后，发现散点在一条直线附近，经计算得到一些数据： ，；某刑侦人员在某案发现场发现一对裸脚印，量得每个脚印长为，则估计案发嫌疑人的身高为 ．‎ ‎15.【湖北黄冈市2013年高三年级4月份模拟考试】‎ PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日匀值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米—75微克/立方米之间空气质量为二级；75微克/立方米以上空气质量为超标.‎ 某试点城市环保局从该市市区2012年全年每天的PM2.5监测数据中顾及机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）.‎ ‎（1）从这15天时PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；‎ ‎（2）从这15天的数据中任取三天数据，记表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求的分布列及期望E.‎ ‎16.【黔东南州2013年5月高三年级第二次模拟考试】某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： ‎ 组距 频率 成绩（分）‎ ‎0.040‎ x ‎▓‎ ‎0.008‎ ‎▓‎ ‎50‎ ‎60‎ ‎80‎ ‎70‎ ‎90‎ ‎100‎ y 频率分布表 频率分布直方图 组别 分组 频数 频率 第1组 ‎[50，60）‎ ‎8‎ ‎0.16‎ 第2组 ‎[60，70）‎ a ‎▓‎ 第3组 ‎[70，80）‎ ‎20‎ ‎0.40‎ 第4组 ‎[80，90）‎ ‎▓‎ ‎0.08‎ 第5组 ‎[90，100]‎ ‎2‎ b 合计 ‎▓‎ ‎▓‎ 图4‎ ‎（Ⅰ）写出的值；‎ ‎（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动，设表示所抽取的2名同学中来自第5组的人数，求的分布列及其数学期望.‎ 解：（Ⅰ）由题意可知，‎ 样本总数为： ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）的可能取值为， ‎ 则 ， ‎ ‎， ‎ ‎． ‎ 所以，的分布列为 所以，． ‎ ‎17.【2013年福建省三明市普通高中毕业班5月质量检查】今年我国部分省市出现了人感染H7N9禽流感确诊病例，各地家禽市场受其影响生意冷清．A市虽未发现H7N9疑似病例，但经抽样有20%的市民表示还会购买本地家禽．现将频率视为概率，解决下列问题：‎ ‎（Ⅰ）从该市市民中随机抽取3位，求至少有一位市民还会购买本地家禽的概率；‎ ‎（Ⅱ）从该市市民中随机抽取位，若连续抽取到两位愿意购买本地家禽的市民，或 抽取的人数达到4位，则停止抽取，求的分布列及数学期望．‎ ‎18.【北京市丰台区2013年高三第二学期统一练习（二）】（本小题13分）国家对空气质量的分级规定如下表：‎ 污染指数 ‎0~50‎ ‎51~100‎ ‎101~150‎ ‎151~200‎ ‎201~300‎ ‎>300‎ 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 ‎ 某市去年6月份30天的空气污染指数的监测数据如下：‎ ‎34‎ ‎140‎ ‎18‎ ‎73‎ ‎121‎ ‎210‎ ‎40‎ ‎45‎ ‎78‎ ‎23‎ ‎65‎ ‎79‎ ‎207‎ ‎81‎ ‎60‎ ‎42‎ ‎101‎ ‎38‎ ‎163‎ ‎154‎ ‎22‎ ‎27‎ ‎36‎ ‎151‎ ‎49‎ ‎103‎ ‎135‎ ‎20‎ ‎16‎ ‎48‎ ‎ 根据以上信息，解决下列问题：‎ ‎（Ⅰ）写出下面频率分布表中a,b,x,y的值；‎ ‎（Ⅱ）某人计划今年6月份到此城市观光4天，若将（Ⅰ）中的频率作为概率，他遇到空气质量为优或良的天数用X表示，求X的分布列和均值EX.‎ 频率分布表 分组 频数 频率 ‎[0,50] ‎ ‎14‎ ‎(50,100] ‎ a x ‎(100,150]‎ ‎5‎ ‎(150,200]‎ b y ‎(200,250]‎ ‎2‎ 合计 ‎30‎ ‎1‎ 解：（Ⅰ）, ………………………….4分 ‎ （Ⅱ）由题意，该市4月份空气质量为优或良的概率为P=，………..5分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎. ………………………….10分 的分布列为: ‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎ ………………………….11分 X~B(4，), . ………………………….13分 ‎19.【2013年安徽省安庆市高三模拟考试（三模）】 选聘高校毕业生到村任职，是党中央作出的一项重大决策，这对培养社会主义新农村建设带头人、引导高校毕业生面向基层就业创业，具有重大意义。为了响应国家号召，某大学决定从符合条件的6名（其中男生4人，女生2人）报名大学生中选择3人，到某村参加村委会主任应聘考核。‎ ‎（Ⅰ）设所选3人中女生人数为，求的分布列及数学期望；‎ ‎（Ⅱ）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率。‎ ‎∴．‎ 故在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为. ……（12分）‎ ‎20.【北京市朝阳区高三年级第二次综合练习】为提高学生学习数学的兴趣，某地区举办了小学生“数独比赛”.比赛成绩共有90分，70分，60分，40分，30分五种，按本次比赛成绩共分五个等级．从参加比赛的学生中随机抽取了30名学生，并把他们的比赛成绩按这五个等级进行了统计，得到如下数据表：‎ 成绩等级 A B C D E 成绩（分）‎ ‎90‎ ‎70‎ ‎60‎ ‎40‎ ‎30‎ 人数（名）‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎10‎ ‎7‎ ‎3‎ ‎（Ⅰ）根据上面的统计数据，试估计从本地区参加“数独比赛”的小学生中任意抽取一人，其成绩等级为“ 或”的概率；‎ ‎（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论，若从该地区参加“数独比赛”的小学生（参赛人数很多）中任选3人，记表示抽到成绩等级为“或”的学生人数，求的分布列及其数学期望；‎ ‎（Ⅲ）从这30名学生中，随机选取2人，求“这两个人的成绩之差大于分”的概率．‎ 解：（Ⅰ）根据统计数据可知，从这30名学生中任选一人，分数等级为“或”的频率为．‎ ‎ 从本地区小学生中任意抽取一人，其“数独比赛”分数等级为“ 或”的概率约为．……………………………………………………………………………………3分 ‎（Ⅱ）由已知得，随机变量的可能取值为0，1，2，3．‎ ‎ 所以；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎．‎ 随机变量的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ 所以． ……………9分 三．提升自我 ‎21. 【江西师大附中、鹰潭一中2013届四月高三数学】小王参加一次比赛,比赛共设三关,第一、二关各有两个必答题,如果每关两个问题都答对,可进入下一关,第三关有三个问题,只要答对其中两个问题,则闯关成功.每过一关可一次性获得价值分别为1000元,3000元,6000元的奖品(不重复得奖),小王对三关中每个问题回答正确的概率依次为,且每个问题回答正确与否相互独立.‎ ‎(1)求小王过第一关但未过第二关的概率;‎ ‎(2)用X表示小王所获得奖品的价值,写出X的概率分布列,并求X的数学期望.‎ ‎∴X的概率分布列为 X ‎0‎ ‎1000‎ ‎3000‎ ‎6000‎ P ‎…………………（10分）‎ ‎∴X的数学期望EX＝0×＋1000×＋3000×＋6000×＝2160. ……（12分）‎ ‎22.【湖北省黄冈市黄冈中学2013届高三下学期6月适应性考试】（本题满分12分）‎ 节日期间,高速公路车辆较多.某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查,将他们在某段高速公路的车速(km/h)分成六段 后得到如下图的频率分布直方图.‎ ‎(1)此调查公司在采样中,用到的是什么抽样方法?‎ ‎(2)求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值.‎ ‎110‎ ‎80‎ ‎85‎ ‎90‎ ‎95‎ ‎100‎ ‎105‎ 车速 ‎0．010‎ ‎0．020‎ ‎0．040‎ ‎0．050‎ ‎0．060‎ 频率 组距 ‎(3)若从车速在的车辆中任抽取2辆,求抽出的2辆车中车速在的车辆数的分布列及数学期望.‎ 解(1)系统抽样 …………………………………2分 ‎ ‎(2)众数的估计值为最高的矩形的中点,即众数的估计值等于 ‎ ‎23.【河北省石家庄市2013届高中毕业班第一次模拟考试】为了调査某大学学生在某天上网的时间，随机对lOO名男生和100名女生进行了不记名的问卷调查.得到了如下的统计结果：‎ 表l:男生上网时间与频数分布表 表2:女生上网时间与频数分布表 ‎(I)从这100名男生中任意选出3人，其中恰有1人上网时间少于60分钟的概率；‎ ‎(II)完成下面的2X2列联表，并回答能否有90%的把握认为“大学生上网时间与性别有关”？‎ 表3:•‎ 附：‎ ‎24.【2013年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试长春三模】‎ ‎2012年第三季度，国家电网决定对城镇居民民用电计费标准做出调整，并根据用电情况将居民分为三类: 第一类的用电区间在，第二类在，第三类在（单位：千瓦时）. 某小区共有1000户居民，现对他们的用电情况进行调查，得到频率分布直方图如图所示. ‎ ‎⑴ 求该小区居民用电量的中位数与平均数；‎ ‎⑵‎ ‎ 利用分层抽样的方法从该小区内选出10位居民代表，若从该10户居民代表中任选两户居民，求这两户居民用电资费属于不同类型的概率；‎ ‎⑶ 若该小区长期保持着这一用电消耗水平，电力部门为鼓励其节约用电，连续10个月，每个月从该小区居民中随机抽取1户，若取到的是第一类居民，则发放礼品一份，设为获奖户数，求的数学期望与方差.‎ ‎·‎ ‎·‎ ‎·‎ ‎·‎ ‎·‎ ‎·‎ ‎·‎ ‎·‎ ‎·‎ ‎·‎ ‎·‎ 分数 ‎60‎ ‎100‎ ‎50‎ ‎0.012‎ ‎0.022‎ ‎0.04‎ ‎0.018‎ ‎0.008‎ 频率 组距 ‎70‎ ‎80‎ ‎90‎ O ‎25. 【吉林省实验中学2013年高三年级下学期第二次模拟考试题】‎ 某学校对高三学生一次模拟考试的数学成绩进行分析，随机抽取了部分学生的成绩，得到如图所示的成绩频率分布直方图．‎ ‎（Ⅰ）根据频率分布直方图估计这次考试全校学生数学成绩的众数、中位数和平均值；‎ ‎（Ⅱ）若成绩不低于80分为优秀成绩，视频率为概率，从全校学生中有放回的任选3名学生，用变量ξ表示3名学生中获得优秀成绩的人数，求变量ξ的分布列及数学期望E(ξ) ．‎ ‎(Ⅰ)依题意可知 中位数：75，中位数：75‎ 所以综合素质成绩的的平均值为74.6‎ ‎ (Ⅱ)由频率分布直方图知优秀率为，‎ 由题意知，‎ 故其分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎………………9分 ‎26.【江西省宜春市2013届高三四月模拟考试】（本小题满分12分）某学校为响应省政府号召，每学期派老师到各个民工子弟学校支教，以下是该学校名老师上学期在某一个民工子弟学校支教的次数统计结果：‎ 支教次数 人数 根据上表信息解答以下问题：‎ ‎（1）从该学校任选两名老师，用表示这两人支教次数之和，记“函数在区间上有且只有一个零点”为事件，求事件发生的概率；‎ ‎（2）从该学校任选两名老师，用表示这两人支教次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望．‎ ‎【考点预测】‎ ‎1. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，规定：“石头赢剪刀”、“剪刀赢布”、“布赢石头”．现有甲、乙两人玩这个游戏，共玩3局，每一局中每人等可能地独立选择一种手势．设甲赢乙的局数为ξ，则随机变量ξ的数学期望是（ ）‎ ‎（A） （B） 　（C） （D）1‎ ‎2. 以下有关线性回归分析的说法不正确的是（ ）‎ A．通过最小二乘法得到的线性回归直线过样本点中心 ‎ B用最小二乘法求回归直线方程，是寻求使最小的的值 ‎ C.相关系数越小，表示两个变量相关性越弱 D．越接近1，表示回归效果越好。‎ ‎3. 某工厂生产A，B两种元件，现从一批产品中随即抽取这两种元件各5件进行检测，检测结果记录如下：‎ A ‎7‎ ‎7‎ ‎7.5‎ ‎9‎ ‎9.5‎ B ‎6‎ x ‎8.5‎ ‎8.5‎ y 由于表格被污损，数据x，y看不清，统计员只记得A，B两种元件的检测数据的平均值相等，方差也相等，则xy= ‎ ‎4.某中学高三从甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分l00分)的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x+y的值为 ‎ (A)7 (B)8 (C)9 (D)10‎ ‎5. 某公司共冇职工8000名，从中随机抽取了100名，调杏上、下班乘车所用时间，得 下表：‎ 公司规定，按照乘车所用时间每月发给职工路途补贴，补贴金额Y (元）与乘市时 间t (分钟）的关系是，其中表示不超过的最大整数.以样本频率为概率：‎ ‎(I) 估算公司每月用于路途补贴的费用总额（元)；‎ ‎(II)以样本频率作为概率，求随机选取四名职工,至少冇两名路途补贴超过300 元的概率.‎