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- 2021-06-21 发布
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2019届高三数学10月月考试题 理
考试时间:120分钟 试卷总分:150分
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分
第I卷(选择题,共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求,每小题选出答案后,请把答案填写在答题卡相应位置上。
1. 已知全集, 集合, , 则集合可以表示为( )
A. B. C. D.
2. 若复数(为虚数单位)是纯虚数,则实数的值为( )
A. B. C. D.
3. 已知向量,若,则( )
A. B. C. D.
4.已知命题:,,命题:,,则下列说法中正确的是( )
A.命题是假命题 B.命题是真命题
C.命题是假命题 D.命题是真命题
5. 已知双曲线的离心率为,则的值为( )
A. B. C. D.
6. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
7.已知不等式组构成平面区域(其中,
- 11 -
是变量)。若目标函数的最小值为-4,则实数的值为( )
A. B. C.3 D. 8
8.执行如图所示的程序框图,则输出的结果是( )
A.14 B.15 C.16 D.17
9. 在中,若
的形状一定是( )
A.等边三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不含的等腰三角形
10. 已知函数,则函数的大致图像为( )
11. 定义在R上的奇函数满足,且不等式在上恒成立,则函数=的零点的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D.4
12. 已知函数,则关于的方程的实根个数不可能为( )
A. B. C. D.
第II卷(非选择题,必做部分,共80分)
二、填空题 :本大题共4小题,每小题5分,共20分,请把答案填在答题卡的横线上。
13. 二项式的展开式中的常数项是________.
14. 如图,半球内有一内接正四棱锥,该四棱锥的体积为
- 11 -
,则该半球的体积为 。
15. 一个三位自然数百位,十位,个位上的数字依次为,当且仅当有两个数
字的和等于第三个数字时称为“好数”(如213,134等),若,且互不相同,则这个三位数为“好数”的概率是_________。
16. 已知数列的前n项和,若不等式对恒成立,则整数的最大值为 。
三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
请在答题卡各自题目的答题区域内作答。
(17)(本小题满分12分)
在△ABC中,是其三个内角A,B,C的对边,且.
(Ⅰ)求角C的大小;
(Ⅱ)设,求△ABC的面积S的最大值。
(18)(本小题满分12分)
由中国科协、工信部共同主办的2016世界机器人大会将于今年10月21日至25日在北京举行,为了搞好接待工作,组委会在北京某大学分别招募8名男志愿者和12名女志愿者,现将这20名志愿者的身高组成如下茎叶图(单位:cm),若身高在175cm以上(包括175cm)定义为“高个子”,身高在175cm以下(不包括175cm)定义为“非高个子”。
(Ⅰ)计算男志愿者的平均身高和女志愿者身高的中位数(保留一位小数)。
(Ⅱ)若从所有“高个子”中选3名志愿者,用表示所选志愿者中为女志愿者的人数,试写出的分布列,并求的数学期望。
(19)(本小题满分12分)
- 11 -
如图,四棱锥,侧面是边长为的正三角形,且平面平面,底面是的菱形,为棱上的动点,且()。
(Ⅰ) 求证:;
(Ⅱ) 试确定的值,使得二面角的
平面角余弦值为。
(20)(本小题满分12分)
椭圆的离心率为,其左焦点到点的距离为.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)若直线与椭圆相交于、两点(、不是左右顶点),且以为直径的圆过椭圆的右顶点,求证:直线过定点,并求出该定点的坐标.
(21) (本小题满分12分)
已知函数().
(Ⅰ) 若函数的图象在处切线的斜率为,且不等式在上有解,求实数的取值范围;
(Ⅱ)若函数的图象与轴有两个不同的交点,且,
求证:(其中是的导函数).
第II卷(非选择题,选做部分,共10分)
请考生在第(22)、(23)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.
(22)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
- 11 -
已知在直角坐标系中,圆的参数方程为(为参数).
(Ⅰ)以原点为极点、轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆的极坐标方程;
(Ⅱ)已知,圆上任意一点,求面积的最大值.
(23)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
已知函数
(Ⅰ)若,解不等式;
(Ⅱ)如果,求的取值范围.
2017届高三年毕业班10 月月考
数学(理)科参考答案(2016.10)
一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
A
C
D
C
A
B
C
B
A
C
D
二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13. 45 14. 15. 16. 2
三、解答题:(本大题共6小题,共70分)
17.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)∵
,或,
由,知,所以不可能成立,所以,
即,所以 ……………………6分
- 11 -
(Ⅱ) 由(Ⅰ)得,所以,
即 , ,,
即当时,△ABC的面积S的最大值为。……………………12分
法二:由(Ⅰ)得,,
即当时,△ABC的面积S的最大值为。……………………12分
18.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)根据茎叶图可得:
男志愿者的平均身高为
女志愿者身高的中位数为 ……………………4分
(Ⅱ)由茎叶图可知,“高个子”有8人,“非高个子”有12人,而男志愿者的“高个子”有5人,女志愿者的“高个子”有3人。
的可能值为0,1,2,3,
故
- 11 -
即的分布列为:
0
1
2
3
P
所以的数学期望……………………12分
19.(本小题满分12分)
解: (Ⅰ)取中点,连结,依题意可知△,△均为正三角形,
P
A
B
C
D
M
O
x
y
z
所以,,又,平面,平面,
所以平面,又平面,所以,
因为,所以。 ……………………4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,又平面平面,
平面平面,
平面,所以平面.
以为原点,建立空间直角坐标系如图所示,则
,,,,
由可得点的坐标为,
所以,,
设平面的法向量为,则,即
解得,令,得,
- 11 -
显然平面的一个法向量为,
依题意,
解得或(舍去),
所以,当时,二面角的余弦值为. ……………………12分
20.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)由题意得: ①
左焦点到点 的距离为:
②
由①②可解得.
∴所求椭圆的方程为.………………4分
(Ⅱ)设,将 代入椭圆方程得
.(*)
∴,,且, ……6分
∵为直径的圆过椭圆右顶点 ,所以.
所以
整理得
- 11 -
∴或都满足方程(*)的. ……………………10分
若时,直线为,恒过定点,不合题意舍去;
若时,直线为, 恒过定点.………12分
21.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)由 ,得切线的斜率
故, ……………… 2分
由得
∵不等式在上有解,所以 …………4分
令 , 则,
∵,故时,.
当时,;当时,.
故在处取得最大值, 所以………………6分
(Ⅱ)因为的图象与轴交于两个不同的点
所以方程的两个根为,
则,两式相减,得
,……………… 8分
又,则
下证(*),即证明
- 11 -
即证明在上恒成立…10分
因为又,所以
所以,在上是增函数,则,从而知
故,即成立………………12分
选做部分:(本小题满分10分)
22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
解:(Ⅰ)圆的参数方程为(为参数)
所以普通方程为
圆的极坐标方程:…………………5分
(Ⅱ)点到直线:的距离为 的面积
所以面积的最大值为 ……………………………………10分
23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
解:(Ⅰ)当时,
由得
当时,不等式可化为即,其解集为
当时,不等式化为,不可能成立,其解集为;
当时,不等式化为,其解集为
综上所述,的解集为 ………………………6分
- 11 -
(Ⅱ),
∴要对于恒成立,
则,,
即的取值范围是。……………………………………10分
- 11 -
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