高中数学第8章圆锥曲线方程（第16课时）抛物线的简单几何性质(2) 7页

课 题：8．6抛物线的简单几何性质（二）‎ 教学目的：‎ ‎1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；‎ ‎2．掌握焦半径公式、直线与抛物线位置关系等相关概念及公式；‎ ‎3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化 ‎ 教学重点：抛物线的几何性质及其运用 教学难点：抛物线几何性质的运用 ‎ 授课类型：新授课 ‎ 课时安排：1课时 ‎ 教 具：多媒体、实物投影仪 ‎ 教学过程：‎ 一、复习引入： 抛物线的几何性质：‎ 标准方程 图形 顶点 对称轴 焦点 准线 离心率 轴 轴 轴 轴 注意强调的几何意义：是焦点到准线的距离 ‎ 抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线 二、讲解新课：‎ ‎1.抛物线的焦半径及其应用：‎ 定义：抛物线上任意一点M与抛物线焦点的连线段，叫做抛物线的焦半径 焦半径公式：‎ 抛物线，‎ 抛物线， ‎ 抛物线， ‎ 抛物线，‎ ‎2．直线与抛物线：‎ ‎（1）位置关系：‎ 相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一个公共点）‎ 下面分别就公共点的个数进行讨论：对于 当直线为，即，直线平行于对称轴时，与抛物线只有唯一的交点 当，设 将代入，消去y，得到 关于x的二次方程 （*）‎ 若，相交；，相切；，相离 综上，得：‎ 联立，得关于x的方程 当（二次项系数为零），唯一一个公共点（交点）‎ 当，则 若，两个公共点（交点）‎ ‎，一个公共点（切点）‎ ‎，无公共点 （相离）‎ ‎（2）相交弦长：‎ 弦长公式：，其中a和分别是（*）中二次项系数和判别式，k为直线的斜率 当代入消元消掉的是y时，得到，此时弦长公式相应的变为：‎ ‎（3）焦点弦：‎ 定义：过焦点的直线割抛物线所成的相交弦。‎ 焦点弦公式：设两交点，可以通过两次焦半径公式得到：‎ 当抛物线焦点在x轴上时，焦点弦只和两焦点的横坐标有关：‎ 抛物线， ‎ 抛物线， ‎ 当抛物线焦点在y轴上时，焦点弦只和两焦点的纵坐标有关：‎ 抛物线， ‎ 抛物线，‎ ‎（4）通径：‎ 定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 直接应用抛物线定义，得到通径：‎ ‎（5）若已知过焦点的直线倾斜角 则 ‎（6）常用结论：‎ 和 和 ‎3．抛物线的法线：‎ 过抛物线上一点可以作一条切线，过切点所作垂直于切线的直线叫做抛物线在这点的法线，抛物线的法线有一条重要性质：‎ 经过抛物线上一点作一直线平行于抛物线的轴，那么经过这一点的法线平分这条直线和这点与焦点连线的夹角如图．‎ 抛物线的这一性质在技术上有着广泛的应用．例如，在光学上，如果把光源放在抛物镜的焦点F处，射出的光线经过抛物镜的反射，变成了平行光线，汽车前灯、探照灯、手电筒就是利用这个光学性质设计的．反过来，也可以把射来的平行光线集中于焦点处，太阳灶就是利用这个原理设计的 ‎ ‎4．抛物线的参数方程：（t为参数）‎ 三、讲解范例：‎ 例 正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，求这个正三角形的边长．‎ 分析：观察图，正三角形及抛物线都是轴对称图形，如果能证明x轴是它们公共的对称轴，则容易求出三角形边长．‎ 解：如图，设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上，且坐标分别为、，则 ，‎ 又|OA|＝|OB|，所以 ‎ 即 ‎ ‎∵　，∴　．‎ 由此可得，即线段AB关于x轴对称．‎ 因为x轴垂直于AB，且∠AOx＝30°，所以 ‎ 所以， ‎ 四、课堂练习：‎ ‎1．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，求这个正三角形的边长（答案：边长为）‎ ‎2．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，求正三角形外接圆的方程 分析：依题意可知圆心在轴上，且过原点，故可设圆的方程为：，‎ 又∵ 圆过点， ∴ 所求圆的方程为 ‎3．已知的三个顶点是圆与抛物线的交点，且的垂心恰好是抛物线的焦点，求抛物线的方程（答案：）‎ ‎4．已知直角的直角顶点为原点，、在抛物线上，（1）分别求、两点的横坐标之积，纵坐标之积；（2）直线是否经过一个定点，若经过，求出该定点坐标，若不经过，说明理由；（3）求点在线段上的射影的轨迹方程 ‎ 答案：（1）； ；（2）直线过定点 ‎（3）点的轨迹方程为 ‎ ‎5．已知直角的直角顶点为原点，、在抛物线上，原点在直线上的射影为，求抛物线的方程（答案：）‎ ‎6．已知抛物线与直线相交于、两点，以弦长为直径的圆恰好过原点，求此抛物线的方程（答案：）‎ ‎7．已知直线与抛物线相交于、两点，若，（为坐标原点）且，求抛物线的方程（答案：）‎ ‎8．顶点在坐标原点，焦点在轴上的抛物线被直线截得的弦长为，求抛物线的方程（答案：或）‎ 五、小结 ：焦半径公式、直线与抛物线位置关系等相关概念及公式 ‎ 六、课后作业：‎ 七、板书设计（略）‎ 八、测 试 题：‎ ‎1．顶点在原点，焦点在y轴上，且过点P（4，2）的抛物线方程是（　　　）‎ ‎(A) x2＝8y (B) x2＝4y (C) x2＝2y (D) ‎ ‎2．抛物线y2＝8x上一点P到顶点的距离等于它们到准线的距离，这点坐标是(A) （2，4） (B) （2，±4） (C) （1，） (D) （1，±）‎ ‎3．抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长等于8，则抛物线方程为　　　　‎ ‎4．抛物线y2＝－6x，以此抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是　　‎ ‎5．以双曲线的右准线为准线，以坐标原点O为顶点的抛物线截双曲线的左准线得弦AB，求△OAB的面积．‎ 测试题答案：‎ ‎1．A 2．D 3．x2＝±8y 4． 5． ‎