高科数学专题复习课件：第九章 9_9 第3课时圆锥曲线的综合问题 67页

§9.9 　 圆锥曲线的综合问题 第 3 课时　定点、定值、探索性问题 课时作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 题型分类　深度剖析 题型一　定点问题 例 1 　 ( 2017· 长沙 联考 ) 已知 椭圆 ＝ 1( a >0 ， b >0) 过点 (0,1) ，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列 . 直线 l 与 x 轴正半轴和 y 轴分别交于点 Q 、 P ，与椭圆分别交于点 M 、 N ，各点均不重合且 满足 ( 1) 求椭圆的标准方程； 解答 设椭圆的焦距为 2 c ，由题意知 b ＝ 1 ，且 (2 a ) 2 ＋ (2 b ) 2 ＝ 2(2 c ) 2 ， 又 a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 ， ∴ a 2 ＝ 3. (2) 若 λ 1 ＋ λ 2 ＝－ 3 ，试证明：直线 l 过定点并求此定点 . 证明 几何画板展示 由题意设 P (0 ， m ) ， Q ( x 0, 0) ， M ( x 1 ， y 1 ) ， N ( x 2 ， y 2 ) ，设 l 方程为 x ＝ t ( y － m ) ， ∴ y 1 － m ＝－ y 1 λ 1 ，由题意 y 1 ≠ 0 ， ∵ λ 1 ＋ λ 2 ＝－ 3 ， ∴ y 1 y 2 ＋ m ( y 1 ＋ y 2 ) ＝ 0 ， ① ∴ 由题意知 Δ ＝ 4 m 2 t 4 － 4( t 2 ＋ 3)( t 2 m 2 － 3)>0 ， ② ③ 代入 ① 得 t 2 m 2 － 3 ＋ 2 m 2 t 2 ＝ 0 ， ∴ ( mt ) 2 ＝ 1 ， 由题意 mt <0 ， ∴ mt ＝－ 1 ，满足 ② ， 得直线 l 方程为 x ＝ ty ＋ 1 ，过定点 (1,0) ，即 Q 为定点 . 思维 升华 圆锥曲线中定点问题的两种解法 (1) 引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点 . (2) 特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关 . 跟踪训练 1 　 (2016· 河北衡水中学调研 ) 如图，已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率 e ＝ ， F 是右焦点， A 是右顶点， B 是椭圆上一点， BF ⊥ x 轴， | BF | ＝ . 解答 (1) 求椭圆 C 的方程； (2) 设直线 l ： x ＝ ty ＋ λ 是椭圆 C 的一条切线，点 M ( － ， y 1 ) ，点 N ( ， y 2 ) 是切线 l 上两个点，证明：当 t ， λ 变化时，以 MN 为直径的圆过 x 轴上的定点，并求出定点坐标 . 解答 几何画板展示 因为 l 为切线，所以 Δ ＝ (2 tλ ) 2 － 4( t 2 ＋ 2)( λ 2 － 2) ＝ 0 ， 即 t 2 － λ 2 ＋ 2 ＝ 0 . ④ 设圆与 x 轴的交点为 T ( x 0, 0) ， 因为 MN 为圆的直径， 当 t ＝ 0 时，不符合题意，故 t ≠ 0. 所以 T 为定点，故动圆过 x 轴上的定点 ( － 1,0) 与 (1,0) ， 即椭圆的两个焦点 . 题型二　定值问题 例 2 　 (2016· 广西柳州铁路一中月考 ) 如图， 椭圆 有两顶点 A ( － 1 ， 0) ， B (1,0) ，过其焦点 F (0,1) 的直线 l 与椭圆交于 C ， D 两点，并与 x 轴交于点 P . 直线 AC 与直线 BD 交于点 Q . 解答 ∵ 椭圆的焦点在 y 轴上， 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y ＝ kx ＋ 1 ， C ( x 1 ， y 1 ) ， D ( x 2 ， y 2 ). 证明 当直线 l 的斜率不存在时，与题意不符 . 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y ＝ kx ＋ 1( k ≠ 0 ， k ≠ ±1) ， C ( x 1 ， y 1 ) ， D ( x 2 ， y 2 ) ， 将两直线方程联立，消去 y ， y 1 y 2 ＝ k 2 x 1 x 2 ＋ k ( x 1 ＋ x 2 ) ＋ 1 故点 Q 的坐标为 ( － k ， y 0 ) ， 思维 升华 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略 (1) 求代数式为定值 . 依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值； (2) 求点到直线的距离为定值 . 利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得； (3) 求某线段长度为定值 . 利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得 . 跟踪训练 2 　 ( 2016· 珠海模拟 ) 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 F ( ， 0) ，直线 l ： x ＝－ ， 点 P 在直线 l 上移动， R 是线段 PF 与 y 轴的交点， RQ ⊥ FP ， PQ ⊥ l . 解答 (1) 求动点 Q 的轨迹 C 的方程； 依题意知，点 R 是线段 FP 的中点，且 RQ ⊥ FP ， ∴ RQ 是线段 FP 的垂直平分线 . ∵ 点 Q 在线段 FP 的垂直平分线上， ∴ | PQ | ＝ | QF | ， 又 | PQ | 是点 Q 到直线 l 的距离， 故动点 Q 的轨迹是以 F 为焦点， l 为准线的抛物线，其方程为 y 2 ＝ 2 x ( x >0). 几何画板展示 (2) 设圆 M 过 A (1,0) ，且圆心 M 在曲线 C 上， TS 是圆 M 在 y 轴上截得的弦，当 M 运动时，弦长 | TS | 是否为定值？请说明理由 . 解答 弦长 | TS | 为定值 . 理由如下： 取曲线 C 上点 M ( x 0 ， y 0 ) ， M 到 y 轴的距离为 d ＝ | x 0 | ＝ x 0 ，圆的半径 r 几何画板展示 题型三　探索性问题 例 3 　 (2015· 四川 ) 如图，椭圆 E ： ＝ 1( a ＞ b ＞ 0) 的离心率 是 ， 过点 P (0,1) 的动直线 l 与椭圆相交于 A ， B 两点，当直线 l 平行于 x 轴时，直线 l 被椭圆 E 截得的线段长 为 . 解 答 (1) 求椭圆 E 的方程； (2) 在平面直角坐标系 xOy 中，是否存在与点 P 不同的定点 Q ， 使得 恒 成立？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 . 解答 几何画板展示 当直线 l 与 x 轴平行时，设直线 l 与椭圆相交于 C ， D 两点， 如果存在定点 Q 满足条件，则有 即 | QC | ＝ | QD | ， 所以 Q 点在 y 轴上，可设 Q 点的坐标为 (0 ， y 0 ). 当直线 l 与 x 轴垂直时，设直线 l 与椭圆相交于 M ， N 两点，则 M ， 解得 y 0 ＝ 1 或 y 0 ＝ 2 ， 所以，若存在不同于点 P 的定点 Q 满足条件，则 Q 点坐标只可能为 (0,2) ， 当直线 l 的斜率不存在时，由上可知，结论成立， 当直线 l 的斜率存在时，可设直线 l 的方程为 y ＝ kx ＋ 1 ， A ， B 的坐标分别为 ( x 1 ， y 1 ) ， ( x 2 ， y 2 ) ， 其判别式 Δ ＝ (4 k ) 2 ＋ 8(2 k 2 ＋ 1) ＞ 0 ， 易知，点 B 关于 y 轴对称的点 B ′ 的坐标为 ( － x 2 ， y 2 ) ， 所以 k QA ＝ k QB ′ ，即 Q ， A ， B ′ 三点共线， 思维 升华 解决探索性问题的注意事项 探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在 . (1) 当条件和结论不唯一时要分类讨论； (2) 当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件； (3) 当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法 . 解答 跟踪训练 3 　 (2015· 湖北 ) 一种作图工具如图 1 所示 . O 是滑槽 AB 的中点，短杆 ON 可绕 O 转动，长杆 MN 通过 N 处铰链与 ON 连接， MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动，且 DN ＝ ON ＝ 1 ， MN ＝ 3 ，当栓子 D 在滑槽 AB 内作往复运动时，带动 N 绕 O 转动一周 ( D 不动时， N 也不动 ) ， M 处的笔尖画出的曲线记为 C ，以 O 为原点， AB 所在的直线为 x 轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系 . ( 1) 求曲线 C 的方程 ； 几何画板展示 由于当点 D 不动时，点 N 也不动，所以 t 不恒等于 0 ， 解答 (2) 设动直线 l 与两定直线 l 1 ： x － 2 y ＝ 0 和 l 2 ： x ＋ 2 y ＝ 0 分别交于 P ， Q 两点 . 若直线 l 总与曲线 C 有且只有一个公共点，试探究： △ OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由 . 几何画板展示 ② 当直线 l 的斜率存在时， 可得 (1 ＋ 4 k 2 ) x 2 ＋ 8 kmx ＋ 4 m 2 － 16 ＝ 0. 因为直线 l 总与椭圆 C 有且只有一个公共点， 所以 Δ ＝ 64 k 2 m 2 － 4(1 ＋ 4 k 2 )(4 m 2 － 16) ＝ 0 ， 即 m 2 ＝ 16 k 2 ＋ 4 . (* 1 ) 当且仅当 k ＝ 0 时取等号 . 所以当 k ＝ 0 时， S △ OPQ 的最小值为 8. 综合 ①② 可知，当直线 l 与椭圆 C 在四个顶点处相切时， △ OPQ 的面积取得最小值 8. 典例 　 (12 分 ) 椭圆 C ： ＝ 1( a > b >0) 的左、右焦点分别是 F 1 、 F 2 ，离心率 为 ， 过 F 1 且垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 1. (1) 求椭圆 C 的方程； (2) 点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点，连接 PF 1 ， PF 2 ，设 ∠ F 1 PF 2 的角平分线 PM 交 C 的长轴于点 M ( m, 0) ，求 m 的取值范围； (3) 在 (2) 的条件下，过点 P 作斜率为 k 的直线 l ，使得 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，设直线 PF 1 、 PF 2 的斜率分别为 k 1 、 k 2 ，若 k 2 ≠ 0 ， 证明 为 定值，并求出这个定值 . 设 而不求，整体代换 思想与方法系列 23 规范解答 思想方法指 导 几何画板展示 对题目涉及的变量巧妙地引进参数 ( 如设动点坐标、动直线方程等 ) ，利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组，再化为一元二次方程，从而利用根与系数的关系进行整体代换，达到 “ 设而不求，减少计算 ” 的效果，直接得定值 . 返回 解　 (1) 由于 c 2 ＝ a 2 － b 2 ，将 x ＝－ c 代入椭圆 方程 ＝ 1 ，得 y ＝ ± . (2) 设 P ( x 0 ， y 0 )( y 0 ≠ 0) ， 所以直线 PF 1 ， PF 2 的方程分别为 (3) 设 P ( x 0 ， y 0 )( y 0 ≠ 0) ， 则直线 l 的方程为 y － y 0 ＝ k ( x － x 0 ). 返回 课时作业 1 2 3 4 (1) 求椭圆 C 的标准方程； 解答 得 a 2 ＝ 4 ， b 2 ＝ 2. (2) 如图，椭圆左顶点为 A ，过原点 O 的直线 ( 与坐标轴不重合 ) 与椭圆 C 交于 P ， Q 两点，直线 PA ， QA 分别与 y 轴交于 M ， N 两点 . 试问以 MN 为直径的圆是否经过定点 ( 与直线 PQ 的斜率无关 ) ？请证明你的结论 . 解答 1 2 3 4 证明如下： 设 P ( x 0 ， y 0 ) ，则 Q ( － x 0 ，－ y 0 ) ， 1 2 3 4 1 2 3 4 2.(2016· 安徽芜湖、马鞍山第一次质量检测 ) 椭圆 E ： ＝ 1( a > b >0) 的离心率 为 ， 点 ( ) 为椭圆上的一点 . (1) 求椭圆 E 的标准方程； 解答 由 ①② ，解得 a 2 ＝ 6 ， b 2 ＝ 4 ， 1 2 3 4 (2) 若斜率为 k 的直线 l 过点 A (0,1) ，且与椭圆 E 交于 C ， D 两点， B 为椭圆 E 的下顶点，求证：对于任意的 k ，直线 BC ， BD 的斜率之积为定值 . 证明 1 2 3 4 设直线 l ： y ＝ kx ＋ 1 ， 得 (3 k 2 ＋ 2) x 2 ＋ 6 kx － 9 ＝ 0. 设 C ( x 1 ， y 1 ) ， D ( x 2 ， y 2 ) ，则 易知 B (0 ，－ 2) ， 1 2 3 4 所以 对于任意的 k ，直线 BC ， BD 的斜率之积为定值 . 1 2 3 4 3. 如图，椭圆长轴的端点为 A ， B ， O 为椭圆的中心， F 为椭圆的右焦点， 且 ＝ 1 ， ＝ 1. 解答 (1) 求椭圆的标准方程； ＝ a 2 － c 2 ＝ 1. ∴ a 2 ＝ 2 ， b 2 ＝ 1 ， 1 2 3 4 (2) 记椭圆的上顶点为 M ，直线 l 交椭圆于 P ， Q 两点，问：是否存在直线 l ，使点 F 恰为 △ PQM 的垂心，若存在，求直线 l 的方程；若不存在，请说明理由 . 解答 1 2 3 4 假设存在直线 l 交椭圆于 P ， Q 两点， 且 F 恰为 △ PQM 的垂心， 设 P ( x 1 ， y 1 ) ， Q ( x 2 ， y 2 ) ， ∵ M (0,1) ， F (1,0) ， ∴ 直线 l 的斜率 k ＝ 1. 于是设直线 l 为 y ＝ x ＋ m ， 得 3 x 2 ＋ 4 mx ＋ 2 m 2 － 2 ＝ 0 ， 1 2 3 4 又 y i ＝ x i ＋ m ( i ＝ 1,2) ， ∴ x 1 ( x 2 － 1) ＋ ( x 2 ＋ m )( x 1 ＋ m － 1) ＝ 0 ， 即 2 x 1 x 2 ＋ ( x 1 ＋ x 2 )( m － 1) ＋ m 2 － m ＝ 0 . (*) 1 2 3 4 故存在直线 l ，使点 F 恰为 △ PQM 的垂心， 直线 l 的方程为 3 x － 3 y － 4 ＝ 0. 1 2 3 4 *4.(2016· 江西三校第一次联考 ) 已知半 椭圆 ＝ 1( x ≥ 0) 与半 椭圆 ＝ 1( x <0 ) 组成的曲线称为 “ 果圆 ” ，其中 a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 ， a > b > c >0. 如图，设点 F 0 ， F 1 ， F 2 是相应椭圆的焦点， A 1 ， A 2 和 B 1 ， B 2 是 “ 果圆 ” 与 x ， y 轴的交点 . (1) 若三角形 F 0 F 1 F 2 是边长为 1 的等边三角形，求 “ 果圆 ” 的方程； 1 2 3 4 解答 1 2 3 4 解答 由题意，得 a ＋ c >2 b ， 1 2 3 4 (3) 一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦 . 是否存在实数 k ，使得斜率为 k 的直线交果圆于两点，得到的弦的中点 M 的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有 k 的值；若不存在，说明理由 . 解答 1 2 3 4 记平行弦的斜率为 k ，当 k ＝ 0 时， 1 2 3 4 综上所述，当 k ＝ 0 时， “ 果圆 ” 平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上 . 1 2 3 4 当 k <0 时，可类似讨论得到平行弦的中点的轨迹不在某一椭圆上 . 1 2 3 4