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- 2021-06-21 发布
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2019高三上学期第一次月考
数学试卷(理)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.若全集,集合,,则( )
A. B.或 C. D.
2.若复数满足,为虚数单位,则的虚部为 ( )
A. B. C. D.
3.与函数相同的函数是( )
A. B. C. D.
4.幂函数在上单调递增,则的值为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 2或4
5.函数的图象大致为( )
6.下列关于命题的说法错误的是( )
A. 命题“若,则”的逆否命题为“若,则”;
B. “”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件;
C. 若命题,则;
D. 命题“”是假命题.
7.设, , ,则( )
- 10 -
A. B. C. D.
8.已知定义在上的奇函数满足,当时 ,则( )
A. B.
C. D.
9.若函数在其定义域上为增函数,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.已知函数,若函数有三个不同的零点,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
11.已知函数,给出以下四个命题:
①,有;②且,有;
③,有;④, .
其中所有真命题的序号是( )
A. ①② B. ③④ C. ①②③ D. ①②③④
12.已知函数,若有且只有两个整数使得,且,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共计20分)
- 10 -
13.设函数,则= .
14.若函数的定义域是,则函数的定义域为________.
15.已知函数,若存在,当时,,则的最小值为 .
16.设,已知函数是定义域为的偶函数, 当时,
若关于的方程有且只有个不同实数根,则的取值范围是 .
三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本题满分10分)设函数.
(Ⅰ)求不等式的解集;
(Ⅱ)若存在使不等式成立,求实数的取值范围.
18.(本题满分12分)已知曲线的参数方程是(为参数),曲线的参数方程是(为参数).
(Ⅰ)将曲线,的参数方程化为普通方程;
(Ⅱ)求曲线上的点到曲线的距离的最大值和最小值.
19.(本题满分12分)
- 10 -
为选拔选手参加“中国谜语大会”,某中学举行了一次“谜语大赛”活动.为了了解本次竞赛学生的成绩情况,从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数,满分为100分)作为样本(样本容量为n)进行统计.按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分组作出频率分布直方图,并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在[50,60),[90,100]的数据).
(Ⅰ)求样本容量n和频率分布直方图中的的值;
(Ⅱ)在选取的样本中,从竞赛成绩在80分以上(含80分)的学生中随机抽取3名学生参加“中国谜语大会”,设随机变量表示所抽取的3名学生中得分在内的学生人数,求随机变量的分布列及数学期望.
20.(本题满分12分)已知点,椭圆的离心率为,是椭圆的右焦点,直线的斜率为,为坐标原点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设过点的动直线与椭圆相交于两点.当△的面积最大时,求直线的方程.
21.(本题满分12分)设函数().
(Ⅰ)若在处取得极值,求实数的值,并求此时曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)若在上为减函数,求实数的取值范围.
22. (本题满分12分)
已知函数,,,令.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
- 10 -
(Ⅱ)若关于的不等式恒成立,求整数的最小值.
- 10 -
哈师大附中高三上学期第一次月考
数学试卷(理)答案
一、选择题.
1.B 2.B 3.D 4.C 5.D 6.C 7.A 8.B 9.B10.A 11.D 12.B
二、填空题
13. 0 14. 15. 16.
三、解答题
17. 解:(Ⅰ)由f(x)≤x得|2x﹣7|+1≤x,
∴,
∴不等式f(x)≤x的解集为; …… 5分
(Ⅱ)令g(x)=f(x)﹣2|x﹣1|=|2x﹣7|﹣2|x﹣1|+1,
则,∴g(x)min=﹣4,
∵存在x使不等式f(x)﹣2|x﹣1|≤a成立,
∴g(x)min≤a,∴a≥﹣4. …… 10分
18. 解:(1)曲线C1的参数方程是(θ为参数),则,
∵sin2θ+cos2θ=1,,∴曲线C1的普通方程是; …… 3分
曲线C2的参数方程是(t为参数),
消去参数t,t=3﹣x,代入,即2x+3y﹣10=0
∴曲线C2的普通方程是2x+3y﹣10=0. …… 6分
(2)设点P(2cosθ,sinθ)为曲线C1上任意一点,
则点P到直线2x+3y﹣10=0的距离为d,
则(其中)…… 10分
- 10 -
∵sin(θ+φ)∈[﹣1,1]
∴,此时,,此时 …… 12分
19. 解 :(Ⅰ),
…… 6分
(Ⅱ)X的可能取值为1,2,3
,,
X的分布列
X
1
2
3
P
所以 …… 12分
20.解: (1)设F(c,0),由条件知,=,得c=.
又=,所以a=2,b2=a2-c2=1.故E的方程为+y2=1. …… 4分
(2)当l⊥x轴时不合题意,故设l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2).
将y=kx-2代入+y2=1得(1+4k2)x2-16kx+12=0.
当Δ=16(4k2-3)>0,即k2>时,
|PQ|=|x1-x2|=.
- 10 -
点O到直线PQ的距离d=.
所以△OPQ的面积S△OPQ=d·|PQ|=.设=t,则t>0,S△OPQ==.
因为t+≥4,当且仅当t=2,即k=±时等号成立,且满足Δ>0.
所以,当△OPQ的面积最大时,l的方程为y=x-2或y=-x-2. …… 12分
21.解:(1)对f(x)求导得
f′(x)==.
因为f(x)在x=0处取得极值,所以f′(0)=0,即a=0.
当a=0时,f(x)=,f′(x)=,由f′(x)>0,02,故 a=0时在处取得极值
f(1)=,f′(1)=,
从而f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为
y-=(x-1),化简得3x-ey=0. …… 6分
(2)由(1)知f′(x)=,
令g(x)=-3x2+(6-a)x+a,
由g(x)=0,
解得x1=,x2=.
当x0,即f′(x)>0,故f(x)为增函数;
当x>x2时,g(x)<0,即f′(x)<0,故f(x)为减函数.
由f(x)在[3,+∞)上为减函数,
知x2=≤3,解得a≥-.
故a的取值范围为. …… 12分
22.解:(1)定义域为,
- 10 -
①当时恒成立,在上是增函数.
②当时令
令
增区间: ,减区间: …… 6分
(2)法一:令 .
所以.
当时,因为,所以所以在上是递增函数,
又因为.所以关于的不等式不能恒成立.
当时, .令得,
所以当时,;当时,,
因此函数在是增函数,在是减函数.
故函数的最大值为.
令,因为,,
又因为在上是减函数,所以当时,.
所以整数的最小值为2. …… 12分
法二:由恒成立知恒成立,
令,则,
令,因为,,则为增函数.
故存在,使,即,
当时,,为增函数,当时,,为减函数.
- 10 -
所以,
而,所以,所以整数的最小值为2. …… 12分
- 10 -
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