2019年高考理科数学考前30天--计算题专训（四） 8页

‎2019年高考理科数学考前30天--计算题专训（四）‎ ‎17．（12分）已知等比数列的前项和为，且，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）依题意知，故，…………2分 故， …………3分 因为，所以， …………5分 故． …………6分 ‎（2）因为，所以， …………8分 所以， ……10分 所以． ……12分 ‎18．（12分）2016年5月，北京市提出地铁分段计价的相关意见，针对“你能接受的最高票价是多少?”这个问题，在某地铁站口随机对50人进行调查，调查数据的频率分布直方图及被调查者中35岁以下的人数与统计结果如下：‎ ‎（1）根据频率分布直方图，求的值，并估计众数，说明此众数的实际意义；‎ ‎（2）在50名被调查者中，从能接受的最高票价落在和的被调查者中，各随机选取3人进行追踪调查，记选中的6人中35岁以上（含35岁）的人数为，求随机变量的分布列及数学期望．‎ ‎【答案】（1）由题意得：， ……1分 解得． ……2分 由频率分布直方图估计众数为7， ……3分 说明在被调查的50人中，能接受最高票价为7元的人数比能接受最高票价为其他值的人数多． ……4分 ‎（2）由题意知，50名被调查者中，‎ 选择最高票价在的人数为人． ……5分 ‎ 选择最高票价在的人数为人． ……6分 故的可能取值为0，1，2， ……7分 ‎， ……8分 ‎， ……9分 ‎ ‎， ……10分 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎……11分 ‎． ……12分 ‎19．（12分）如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，，底面，，，是的中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎【答案】（1）因为平面，平面，‎ 所以． ……1分 因为，，‎ 所以． ……2分 所以，所以，……3分 又，‎ 所以平面， ……4分 ‎（2）如图，以点为原点，，，分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系，‎ 则，，．‎ 设，‎ 则， ……6分 ‎，，， ……7分 取， ‎ 则，为面的法向量．‎ 设为面的法向量，则，‎ 即，取，，，则， ……8分 依题意，则． ……9分 于是，． ……10分 设直线与平面所成角为，‎ 则． ……12分 ‎20．（12分）在平面直角坐标系中，已知点，的坐标分别为，．直线，相交于点，且它们的斜率之积是．记点的轨迹为．‎ ‎（1）求的方程．‎ ‎（2）已知直线，分别交直线于点，，轨迹在点处的切线与线段交于点，求的值．‎ ‎【答案】（1）设点坐标为，则 直线的斜率，‎ 直线的斜率， ……2分 由已知有， ……3分 化简得点的轨迹的方程为． ……4分 ‎（2）设，则．‎ 直线的方程为，令，得点纵坐标为．……5分 直线的方程为，令，得点纵坐标为．……6分 设在点处的切线方程为，‎ 由得． ……7分 由，得，‎ 整理得．‎ 将，代入上式并整理得：，‎ 解得， ……8分 所以切线方程为．‎ 令得，点纵坐标为．…9分 设，则，‎ 所以．‎ 所以． ……10分 将代入上式，得，‎ 解得，即． ……12分 ‎21．（12分）已知，函数在点处与轴相切．‎ ‎（1）求的值，并求的单调区间；‎ ‎（2）当时，，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）函数在点处与轴相切．‎ ‎， ……1分 依题意，解得， ……2分 所以． ……3分 当时，；当时，．‎ 故的单调递减区间为，单调递增区间为． ……4分 ‎（2）令，．‎ 则， ……5分 令，则， ……6分 ‎（ⅰ）若，‎ 因为当时，，，所以，‎ 所以即在上单调递增．‎ 又因为，所以当时，，‎ 从而在上单调递增，‎ 而，所以，即成立． ……8分 ‎（ⅱ）若，‎ 可得在上单调递增．‎ 因为，，‎ 所以存在，使得，‎ 且当时，，所以即在上单调递减，‎ 又因为，所以当时，，‎ 从而在上单调递减， ……10分 而，所以当时，，即不成立．‎ 综上所述，的取值范围是． ……12分