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  • 2021-06-21 发布

高考理科数学复习练习作业38

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专题层级快练(三十八)‎ ‎(第一次作业)‎ ‎1.数列{1+2n-1}的前n项和为(  )‎ A.1+2n         B.2+2n C.n+2n-1 D.n+2+2n 答案 C ‎2.数列{(-1)n(2n-1)}的前2 016项和S2 016等于(  )‎ A.-2 016 B.2 016‎ C.-2 015 D.2 015‎ 答案 B 解析 S2 016=-1+3-5+7+…-(2×2 015-1)+(2×2 016-1)=2+2+…+2,1 008个2相加=2 016.故选B.‎ ‎3.在数列{an}中,已知对任意n∈N*,a1+a2+a3+…+an=3n-1,则a12+a22+a32+…+an2等于(  )‎ A.(3n-1)2 B.(9n-1)‎ C.9n-1 D.(3n-1)‎ 答案 B 解析 因为a1+a2+…+an=3n-1,所以a1+a2+…+an-1=3n-1-1(n≥2).则n≥2时,an=2·3n-1.‎ 当n=1时,a1=3-1=2,适合上式,所以an=2·3n-1(n∈N*).‎ 则数列{an2}是首项为4,公比为9的等比数列,故选B.‎ ‎4.数列{an},{bn}满足anbn=1,an=n2+3n+2,则{bn}的前10项之和为(  )‎ A. B. C. D. 答案 B 解析 bn===-,‎ S10=b1+b2+b3+…+b10=-+-+-+…+-=-=.‎ ‎5.已知数列{an},an=2n+1,则++…+=(  )‎ A.1+ B.1-2n C.1- D.1+2n 答案 C ‎6.(2017·山东日照一模)已知数列{an}的前n项和Sn=n2-6n,则{|an|}的前n项和Tn=‎ ‎(  )‎ A.6n-n2 B.n2-6n+18‎ C. D. 答案 C 解析 由Sn=n2-6n,得{an}是等差数列,且首项为-5,公差为2.‎ ‎∴an=-5+(n-1)×2=2n-7,∴n≤3时,an<0;n>3时,an>0,‎ ‎∴Tn= ‎7.已知数列{an}的通项公式是an=,其前n项和Sn=,则项数n等于(  )‎ A.13 B.10‎ C.9 D.6‎ 答案 D 解析 ∵an==1-,∴Sn=n-(++…+)=n-1+.‎ 而=5+,∴n-1+=5+.∴n=6.‎ ‎8.已知等差数列{an}的公差为d,且an≠0,d≠0,则++…+可化简为(  )‎ A. B. C. D. 答案 B 解析 ∵=(-),∴原式=(-+-+…+-)‎ ‎=(-)=,选B.‎ ‎9.(2017·衡水中学调研卷)已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=6,S5=,则数列{}的前n项和为(  )‎ A.1- B.2- C.2- D.2- 答案 B 解析 设等差数列{an}的公差为d,则Sn=na1+d,因为S3=6,S5=,所以解得所以an=n+1,=,设数列{}的前n项和为Tn,则Tn=+++…++,Tn=+++…++,两项相减得Tn=+(++…+)-=+(1-)-,所以Tn=2-.‎ ‎10.(2017·武汉联考)已知数列{an}中,a1=1,且an+1=,若bn=anan+1,则数列{bn}的前n项和Sn为(  )‎ A. B. C. D. 答案 B 解析 由an+1=得,=+2,∴数列{}是以1为首项,2为公差的等差数列,∴=2n-1,又bn=anan+1,∴bn==(-),∴Sn=(-+-+…+-)=,故选B.‎ ‎11.Sn=++…+=________.‎ 答案  解析 通项an===(-),∴Sn=(1-+-+…+-)=(1-)=.‎ ‎12.已知数列{an}为等比数列.Tn=na1+(n-1)a2+…+an,且T1=1,T2=4.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)求{Tn}的通项公式.‎ 答案 (1)an=2n-1 (2)Tn=2n+1-n-2‎ 解析 (1)T1=a1=1,T2=2a1+a2=2+a2=4,∴a2=2.‎ ‎∴等比数列{an}的公比q==2.∴an=2n-1.‎ ‎(2)方法一:Tn=n+(n-1)·2+(n-2)·22+…+1·2n-1, ①‎ ‎2Tn=n·2+(n-1)22+(n-2)23+…+1·2n, ②‎ ‎②-①,得Tn=-n+2+22+…+2n-1+2n=-n+ ‎=-n+2n+1-2=2n+1-n-2.‎ 方法二:设Sn=a1+a2+…+an,∴Sn=1+2+…+2n-1=2n-1.‎ ‎∴Tn=na1+(n-1)a2+…+2an-1+an ‎=a1+(a1+a2)+…+(a1+a2+…+an)=S1+S2+…+Sn=(2-1)+(22-1)+…+(2n-1)‎ ‎=(2+22+…+2n)-n=-n=2n+1-n-2.‎ ‎13.(2015·新课标全国Ⅰ)Sn为数列{an}的前n项和,已知an>0,an2+2an=4Sn+3.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和.‎ 答案 (1)an=2n+1 (2)Tn= 解析 (1)由an2+2an=4Sn+3,可知an+12+2an+1=4Sn+1+3.‎ 可得an+12-an2+2(an+1-an)=4an+1,即 ‎2(an+1+an)=an+12-an2=(an+1+an)(an+1-an).‎ 由于an>0,可得an+1-an=2.‎ 又a12+2a1=4a1+3,解得a1=-1(舍去)或a1=3.‎ 所以{an}是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为an=2n+1.‎ ‎(2)由an=2n+1可知bn===(-).‎ 设数列{bn}的前n项和为Tn,则 Tn=b1+b2+…+bn=[(-)+(-)+…+(-)]=.‎ ‎14.(2015·山东)已知数列{an}是首项为正数的等差数列,数列{}的前n项和为.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设bn=(an+1)·2an,求数列{bn}的前n项和Tn.‎ 答案 (1)an=2n-1 (2)Tn= 解析 (1)设数列{an}的公差为d.‎ 令n=1,得=,所以a1a2=3.‎ 令n=2,得+=,所以a2a3=15.‎ 解得a1=1,d=2,所以an=2n-1.‎ ‎(2)由(1)知bn=2n·22n-1=n·4n 所以Tn=1·41+2·42+…+n·4n,所以4Tn=1·42+2·43+…+n·4n+1,‎ 两式相减,得-3Tn=41+42+…+4n-n·4n+1=-n·4n+1=×4n+1-.‎ 所以Tn=×4n+1+=.‎ ‎(第二次作业)‎ ‎1.数列1,(1+2),(1+2+22),…,(1+2+22+…+2n-1),…的前n项之和为(  )‎ A.2n-1         B.n·2n-n C.2n+1-n D.2n+1-n-2‎ 答案 D 解析 记an=1+2+22+…+2n-1=2n-1,‎ ‎∴Sn=-n=2n+1-2-n.‎ ‎2.已知函数f(n)=且an=f(n)+f(n+1),则a1+a2+a3+…+a100等于(  )‎ A.0 B.100‎ C.-100 D.10 200‎ 答案 B 解析 由题意,得a1+a2+…+a100=12-22-22+32+32-42-42+52+…+992-1002-1002+1012=-(1+2)+(3+2)-…-(99+100)+(101+100)=100.故选B.‎ ‎3.(2017·宁夏银川一中模拟)已知数列2 008,2 009,1,-2 008,-2 009,….这个数列的特点是从第二项起,每一项都等于它的前后两项之和,则这个数列的前2 018项之和S2 018等于(  )‎ A.2 008 B.4 017‎ C.1 D.0‎ 答案 B 解析 由已知得an=an-1+an+1(n≥2),∴an+1=an-an-1.‎ 故数列的前8项依次为2 008,2 009,1,-2 008,-2 009,-1,2 008,2 009.‎ 由此可知该数列为周期数列,周期为6,且S6=0.‎ ‎∴2 018=6×336+2,∴S2 018=S2=2 008+2 009=4 017.‎ ‎4.(2015·江苏)数列{an}满足a1=1,且an+1-an=n+1(n∈N*),则数列{}的前10项和为________.‎ 答案  解析 由题意得:an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=n+n-1+…+2+1=,所以=2(-),Sn=2(1-)=,S10=.‎ ‎5.数列{an}的通项公式an=ncos+1,前n项和为Sn,则S2 016=________.‎ 答案 3 024‎ 解析 ∵an=ncos+1,∴a1+a2+a3+a4=6,a5+a6+a7+a8=6,…,a4k+1+a4k+2+a4k+3+a4k+4=6,k∈N,∴S2 016=504×6=3 024.‎ ‎6.(2016·衡水中学调研)已知数列{an}满足a1=1,an+1·an=2n(n∈N*),则S2 016=________.‎ 答案 3×21 008-3‎ 解析 依题意,得an+1·an=2n,an+1·an+2=2n+1,则=2,即=2,‎ 所以数列a1,a3,a5,…,a2k-1,…是以a1=1为首项,2为公比的等比数列;数列a2,a4,a6,…,a2k,…是以a2=2为首项,2为公比的等比数列,则 S2 016=(a1+a3+a5+…+a2 015)+(a2+a4+a6+…+a2 016)=+=3×21 008-3.‎ ‎7.(2013·湖南)设Sn为数列{an}的前n项和,Sn=(-1)nan-,n∈N*,则 ‎(1)a3=________;‎ ‎(2)S1+S2+…+S100=________.‎ 答案 (1)- (2)(-1)‎ 解析 (1)因为Sn=(-1)nan-,则S3=-a3-,S4=a4-,解得a3=-.‎ ‎(2)当n为偶数时,Sn=an-,当n为奇数时,Sn=-an-,‎ 可得当n为奇数时an=-,‎ 又S1+S2+…+S100=(-a1-)+(a2-)+…+(-a99-)+(a100-)‎ ‎=-a1+a2+…-a99+a100-(++…++)‎ ‎=S100-2(a1+a3+…+a99)-(1-)‎ ‎=S101-a101-2(---…-)-(1-)‎ ‎=--(-)+2×-(1-)=-(1-)=(-1).‎ ‎8.(2015·安徽)已知数列{an}是递增的等比数列,且a1+a4=9,a2a3=8.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设Sn为数列{an}的前n项和,bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.‎ 答案 (1)an=2n-1 (2)Tn=1- 解析 (1)由题设知,a1·a4=a2·a3=8,‎ 又a1+a4=9,可解得或(舍去).‎ 由a4=a1q3得公比为q=2,故an=a1qn-1=2n-1.‎ ‎(2)Sn==2n-1,又bn===-,‎ 所以Tn=b1+b2+…+bn=(-)+(-)+…+(-)=-=1-.‎ ‎9.(2016·浙江,文)设数列{an}的前n项和为Sn.已知S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*.‎ ‎(1)求通项公式an;‎ ‎(2)求数列{|an-n-2|}的前n项和.‎ 答案 (1)an=3n-1‎ ‎(2) 解析 (1)由题意知则 又当n≥2时,由an+1-an=(2Sn+1)-(2Sn-1+1)=2an,得an+1=3an.‎ 所以,数列{an}的通项公式为an=3n-1,n∈N*.‎ ‎(2)设bn=|3n-1-n-2|,n∈N*,b1=2,b2=1.‎ 当n≥3时,由于3n-1>n+2,故bn=3n-1-n-2,n≥3.‎ 设数列{bn}的前n项和为Tn,则T1=2,T2=3.‎ 当n≥3时,‎ Tn=3+-=,‎ 所以Tn= ‎10.(2016·北京,文)已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)设cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和.‎ 答案 (1)an=2n-1 (2)Sn=n2+ 解析 (1)等比数列{bn}的公比q===3,‎ 所以b1==1,b4=b3q=27.∴bn=3n-1.‎ 设等差数列{an}的公差为d.‎ 因为a1=b1=1,a14=b4=27,所以1+13d=27,即d=2.‎ 所以an=2n-1(n=1,2,3,…).‎ ‎(2)由(1)知,an=2n-1,bn=3n-1,因此cn=an+bn=2n-1+3n-1.‎ 从而数列{cn}的前n项和 Sn=1+3+…+(2n-1)+1+3+…+3n-1=+=n2+.‎ ‎11.数列{an}满足a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1)(n∈N*).‎ ‎(1)证明:数列{}是等差数列;‎ ‎(2)设bn=3n·,求数列{bn}的前n项和Sn.‎ 答案 (1)略 (2)Sn= 解析 (1)证明:由题意,得=+1,即-=1,‎ 所以{}是以=1为首项,1为公差的等差数列.‎ ‎(2)解:由(1)得=1+(n-1)·1=n,所以an=n2.‎ 所以bn=n·3n.‎ Sn=1×31+2×32+3×33+…+n·3n, ①‎ ‎3Sn=1×32+2×33+…+(n-1)·3n+n·3n+1. ②‎ ‎①-②得-2Sn=31+32+…+3n-n·3n+1=-n·3n+1=.‎ 所以Sn=.‎