浙江专版2019-2020学年高中数学课时跟踪检测十反证法新人教A版选修2-2 5页

课时跟踪检测（十） 反证法 A级——学考水平达标 ‎1．用反证法证明命题：“若直线AB，CD是异面直线，则直线AC，BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：‎ ‎①则A，B，C，D四点共面，所以AB，CD共面，这与AB，CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC，BD也是异面直线；③假设直线AC，BD是共面直线．‎ 则正确的序号顺序为(　　)‎ A．①②③　　　　　　　　 B．③①②‎ C．①③② D．②③①‎ 解析：选B　根据反证法的三个基本步骤“反设—归谬—结论”可知顺序应为③①②.‎ ‎2．用反证法证明命题“如果a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为(　　)‎ A．a，b都能被5整除 B．a，b都不能被5整除 C．a，b不都能被5整除 D．a不能被5整除 解析：选B　“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”，故选B.‎ ‎3．用反证法证明命题“若实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是(　　)‎ A．假设a，b，c都是偶数 B．假设a，b，c都不是偶数 C．假设a，b，c至多有一个是偶数 D．假设a，b，c至少有两个是偶数 解析：选B　“a，b，c中至少有一个是偶数”的反面是“a，b，c都不是偶数”，故应假设a，b，c都不是偶数．故选B.‎ ‎4．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为(　　)‎ A．一定是异面直线 B．一定是相交直线 C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线 解析：选C　假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线，故应选C.‎ ‎5．已知a，b，c，d为实数，且c＞d，则“a＞b”是“a－c＞b－d”的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B　∵c＞d，∴－c＜－d，a＞b，∴a－c与b－d 5‎ 的大小无法比较．可采用反证法，当a－c＞b－d成立时，假设a≤b，∵－c＜－d，∴a－c＜b－d，与题设矛盾，∴a＞b.综上可知，“a＞b”是“a－c＞b－d”的必要不充分条件．‎ ‎6．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设是________．‎ 答案：自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数 ‎7．命题“a，b∈R，若|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝‎1”‎用反证法证明时应假设为________________．‎ 解析：“a＝b＝‎1”‎的反面是“a≠1或b≠‎1”‎，所以设为a≠1或b≠1.‎ 答案：a≠1或b≠1‎ ‎8．和两条异面直线AB，CD都相交的两条直线AC，BD的位置关系是____________．‎ 解析：假设AC与BD共面于平面α，则A，C，B，D都在平面α内，∴AB⊂α，CD⊂α，这与AB，CD异面相矛盾，故AC与BD异面．‎ 答案：异面 ‎9．已知a，b，c∈(0,1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于.‎ 证明：假设(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a都大于.‎ 因为0＜a＜1,0＜b＜1,0＜c＜1，‎ 所以1－a＞0.由基本不等式，‎ 得≥＞＝.‎ 同理，＞，＞.‎ 将这三个不等式两边分别相加，得 ＋＋＞＋＋，‎ 即＞，这是不成立的，‎ 故(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于.‎ ‎10．已知函数f(x)在R上是增函数，a，b∈R.‎ ‎(1)求证：如果a＋b≥0，那么f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)；‎ ‎(2)判断(1)中的命题的逆命题是否成立？并证明你的结论．‎ 解：(1)证明：当a＋b≥0时，a≥－b且b≥－a.‎ ‎∵f(x)在R上是增函数，‎ ‎∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，‎ ‎∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．‎ ‎(2)(1)中命题的逆命题为“如果f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，那么a＋b≥‎‎0”‎ 5‎ ‎，此命题成立．‎ 用反证法证明如下：‎ 假设a＋b＜0，则a＜－b，∴f(a)＜f(－b)．‎ 同理可得f(b)＜f(－a)．‎ ‎∴f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，这与f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)矛盾，故假设不成立，‎ ‎∴a＋b≥0成立，即(1)中命题的逆命题成立．‎ B级——高考能力达标 ‎1．下列四个命题中错误的是(　　)‎ A．在△ABC中，若∠A＝90°，则∠B一定是锐角 B.，，不可能成等差数列 C．在△ABC中，若a＞b＞c，则∠C＞60°‎ D．若n为整数且n2为偶数，则n是偶数 解析：选C　显然A、B、D命题均真，C项中若a＞b＞c，则∠A＞∠B＞∠C，若∠C＞60°，则∠A＞60°，∠B＞60°，∴∠A＋∠B＋∠C＞180°与∠A＋∠B＋∠C＝180°矛盾，故选C.‎ ‎2．设a，b，c∈(－∞，0)，则a＋，b＋，c＋(　　)‎ A．都不大于－2 B．都不小于－2‎ C．至少有一个不大于－2 D．至少有一个不小于－2‎ 解析：选C　假设都大于－2，则a＋＋b＋＋c＋＞－6，但＋＋＝＋＋≤－2＋(－2)＋(－2)＝－6，矛盾．‎ ‎3．若△ABC能被一条直线分成两个与自身相似的三角形，那么这个三角形的形状是(　　)‎ A．钝角三角形　　　　　　 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 解析：选B　分△ABC的直线只能过一个顶点且与对边相交，如直线AD(点D在BC上)，则∠ADB＋∠ADC＝π，若∠ADB为钝角，则∠ADC为锐角．而∠ADC＞∠BAD，∠ADC＞∠ABD，△ABD与△ACD不可能相似，与已知不符，只有当∠ADB＝∠ADC＝∠BAC＝时，才符合题意．‎ 5‎ ‎4．对于定义在实数集R上的函数f(x)，如果存在实数x0，使f(x0)＝x0，那么x0叫做函数f(x)的一个好点．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋1不存在好点，那么a的取值范围是(　　)‎ A. B. C．(－1,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)‎ 解析：选A　假设f(x)＝x2＋2ax＋1存在好点，亦即方程f(x)＝x有实数根，所以x2＋(‎2a－1)x＋1＝0有实数根，则Δ＝(‎2a－1)2－4＝‎4a2－‎4a－3≥0，解得a≤－或a≥.故当f(x)不存在好点时，a的取值范围是－0)的图象与x轴有两个不同的交点，f(c)＝0，且当00.‎ ‎(1)证明：是函数f(x)的一个零点；‎ 5‎ ‎(2)试用反证法证明：>c.‎ 证明：(1)∵f(x)的图象与x轴有两个不同的交点，‎ ‎∴f(x)＝ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根，设为x1，x2.‎ ‎∵f(c)＝0，∴c是f(x)＝0的一个根，不妨令x1＝c.‎ 又x1x2＝，∴x2＝(≠c)，∴是f(x)＝0的一个根，即是函数f(x)的一个零点．‎ ‎(2)由(1)知≠c，故假设0，又当00，‎ ‎∴f>0，与f＝0矛盾，‎ ‎∴假设不成立，∴>c.‎ ‎8．对于直线l：y＝kx＋1，是否存在实数k，使直线l与双曲线C：3x2－y2＝1的交点A，B关于直线y＝ax(a为常数)对称？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．‎ 解：不存在．理由如下：‎ 假设存在实数k，使得点A，B关于直线y＝ax对称，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则 由 得(3－k2)x2－2kx－2＝0.④‎ 由②③得a(x1＋x2)＝k(x1＋x2)＋2.⑤‎ 由④得x1＋x2＝.‎ 代入⑤整理得ak＝3，与①矛盾．‎ 故不存在实数k，使直线l与双曲线C：3x2－y2＝1的交点A，B关于直线y＝ax(a为常数)对称．‎ 5‎