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- 2021-06-22 发布
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课时达标训练(十八) 不等式
A组
1．当x＞0时，f(x)＝的最大值为________．
解析：因为x＞0，所以f(x)＝＝≤＝1，
当且仅当x＝，即x＝1时取等号．
答案：1
2．(2019·苏北三市一模)已知a>0，b>0，且a＋3b＝－，则b的最大值为________．
解析：a＋3b＝－可化为－3b＝a＋≥2，即3b2＋2b－1≤0，解得00, b>0，且＋＝，则ab的最小值是________．
解析：因为＝＋≥2 ，所以ab≥2，当且仅当＝＝时取等号．
答案：2
7．已知关于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为________．
解析：因为x∈(a，＋∞)，所以2x＋＝2(x－a)＋＋2a≥2 ＋2a＝4＋2a，当且仅当x－a＝1时等号成立．
由题意可知4＋2a≥7，解得a≥，即实数a的最小值为.
答案：
8．若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋x＋≥≥4，故m2－3m>4，化简得(m＋1)(m－4)>0，解得m<－1或m>4，即实数m的取值范围为(－∞，－1)∪(4，＋∞)．
答案：(－∞，－1)∪(4，＋∞)
9．已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是________．
解析：因为f(x)＝x2＋mx－1是开口向上的二次函数，所以函数的最大值只能在区间端点处取到，所以对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0，只需
即
解得所以－0，
所以tan α＝＝＝＝＝≤＝，
当且仅当2tan β＝，即tan β＝时，等号成立．
答案：
12．(2019·湖北宜昌模拟)已知x，y满足不等式组若不等式ax＋y≤7恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：x，y满足不等式组的平面区域如图所示，由于对任意的实数x，y，不等式ax＋y≤7恒成立，设z＝ax＋y，根据图形，当a≥0时，z＝ax＋y的最优解为A(2，1)，可得2a＋1≤7，解得0≤a≤3；当a<0时，z＝ax＋y的最优解为B(－2，－1)，则－2a－1≤7，解得－4≤a＜0，则实数a的取值范围是[－4，3]．
答案：[－4，3]
13．设实数x，y满足－y2＝1，则3x2－2xy的最小值是________．
解析：法一：因为－y2＝1，
所以3x2－2xy＝＝，
令k＝∈，
则3x2－2xy＝＝，
再令t＝3－2k∈(2，4)，则k＝，
故3x2－2xy＝＝≥＝6＋4，当且仅当t＝2时等号成立．
法二：因为－y2＝1＝，所以令＋y＝t，则－y＝，从而则3x2－2xy＝6＋2t2＋≥6＋4，当且仅当t2＝时等号成立．
答案：6＋4
14．已知函数f(x)＝设a∈R，若关于x的不等式f(x)≥在R上恒成立，则a的取值范围是________．
解析：根据题意，作出f(x)的大致图象，如图所示．
当x≤1时，若要f(x)≥恒成立，结合图象，只需x2－x＋3≥－，即x2－＋3＋a≥0，故对于方程x2－＋3＋a＝0，Δ＝－4(3＋a)≤0，解得a≥－；当x>1时，若要f(x)≥恒成立，结合图象，只需x＋≥＋a，即＋≥a.又＋≥2，当且仅当＝，即x＝2时等号成立，所以a≤2.综上，a的取值范围是.
答案：
B组——力争难度小题
1．已知函数f(x)＝ax2＋x，若当x∈[0，1]时，－1≤f(x)≤1恒成立，则实数a的取值范围为________．
解析：当x＝0时，f(x)＝0，不等式成立；
当x∈(0，1]时，不等式－1≤f(x)≤1，即
其中∈[1，＋∞)，
从而
解得－2≤a≤0.
答案：[－2，0]
2．△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，sin 2C＋cos(A＋B)＝0且c＝
eq
(13)，a＞c，a＋b＝5.则△ABC的面积是________．
解析：由sin 2C＋cos(A＋B)＝0且A＋B＋C＝π，
得2sin Ccos C－cos C＝0，所以cos C＝0或sin C＝.
由c＝，a＞c得，cos C＝0不成立，所以sin C＝，所以C＝，
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab＝25－3ab＝13，所以ab＝4，
故S△ABC＝absin C＝×4×＝.
答案：
3．(2019·湖南长沙岳麓区模拟)若圆A：(x－1)2＋(y－4)2＝a上至少存在一点P落在不等式组表示的平面区域内，则实数a的取值范围是________．
解析：作出不等式组表示的平面区域，如图，圆A与不等式组表示的平面区域有交点．因为圆A的圆心(1，4)到直线3x－y－1＝0的距离为＝，联立方程可得B(3，4)，D(1，2)，则圆心A与可行域内的点的距离的最大值为|AB|＝|AD|＝2，所以≤≤2，即实数a的取值范围是.
答案：
4．如图是某斜拉式大桥的部分平面结构模型，其中桥塔AB，CD与桥面AC垂直，且AB＝1 m，CD＝2 m，AC＝7 m．P为AC上的一点，则当∠BPD达到最大时，AP的长度为________ m.
解析：设AP＝x m(0≤x≤7)，则PC＝(7－x) m，
所以tan∠BPD＝tan(∠ABP＋∠PDC)＝＝＝.令x＋7＝t，7≤t≤14，则tan∠BPD＝＝＝，故当t＝，即t＝10时，∠BPD最大，此时x＝3，即AP的长度为3 m.
答案：3
5．(2018·江苏高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为________．
解析：法一：如图，
∵S△ABC＝S△ABD＋S△BCD，
∴ac·sin 120°＝c×1×sin 60°＋a×1×sin 60°，∴ac＝a＋c.∴＋＝1.
∴4a＋c＝(4a＋c)＝＋＋5≥2 ＋5＝9，
当且仅当＝，即c＝2a时取等号．
故4a＋c的最小值为9.
法二：如图，以B为原点，BD为x轴建立平面直角坐标系，
则D(1，0)，A，C.又A，D，C三点共线，
∴＝，
∴ac＝a＋c.∴＋＝1.
∴4a＋c＝(4a＋c)＝＋＋5≥2 ＋5＝9，
当且仅当＝，即c＝2a时取等号．
故4a＋c的最小值为9.
答案：9
6．已知a>1，定义f(n)＝＋＋…＋，如果对任意的n≥2，n∈N*，不等式12f(n)＋7logab>7＋7loga＋1b恒成立，则实数b的取值范围是________．
解析：由f(n)＝＋＋…＋，知f(n＋1)＝＋＋…＋，所以f(n＋1)－f(n)＝＋－＝>0，所以f(n)单调递增，所以当n≥2，n∈N*时，f(n)的最小值为f(2)＝.要使得对任意的n≥2，n∈N*，不等式12f(n)＋7logab>7＋7loga＋1b恒成立，只需满足12×＋7logab>7＋7loga＋1b，即logab>loga＋1b，即>，所以lg b×>0.因为a>1，所以>0，所以lg b>0，故b的取值范围是(1，＋∞)．
答案：(1，＋∞)
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