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- 2021-06-22 发布
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3.1.1 变化率问题
3.1.2 导数的概念
学习目标:1.会求函数在某一点附近的平均变化率.2.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.(重点难点)3.了解平均变化率与瞬时变化率的关系.(易混点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1.函数的平均变化率
(1)定义式:=.
(2)实质:函数值的改变量与自变量的改变量之比.
(3)作用:刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的快慢.
(4)几何意义:已知P1(x1,f(x1)),P2(x2,f(x2))是函数y=f(x)的图象上两点,则平均变化率=表示割线P1P2的斜率.
思考:Δx,Δy的取值一定是正数吗?
[提示] Δx≠0,Δy∈P.
2.函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率
(1)定义式: = .
(2)实质:瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时,平均变化率趋近的值.
(3)作用:刻画函数在某一点处变化的快慢.
3.函数f(x)在x=x0处的导数
函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率称为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f′(x0)或y′|x=x0,即f′(x0)= =.
[基础自测]
1.思考辨析
(1)Δy表示f(x2)-f(x1),Δy的值可正可负也可以为零. ( )
(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1,x2]上变化快慢的物理量.
( )
(3)函数f(x)=x在x=0处的瞬时变化率为0. ( )
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2.已知函数f(x)=x2+1,则在x=2,Δx=0.1时,Δy的值为( )
A.0.40 B.0.41 C.0.43 D.0.44
B [Δy=f(2+Δx)-f(2)=2.12-4=0.41.]
3.一物体的运动方程是s=3+t2,则在一小段时间[2,2.1]内的平均速度为( )
6
【导学号:97792121】
A.0.41 B.3 C.4 D.4.1
D [Δ===4.1.]
[合 作 探 究·攻 重 难]
求函数的平均变化率
(1)若函数f(x)=2x2-1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1+Δx,1+Δy),则=( )
A.4 B.4x C.4+2Δx D.4+2(Δx)2
(2)汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图311,在时间段[t0,t1],[t1,t2],[t2,t3]上的平均速度分别为,,,则三者的大小关系为__________.
图311
(3)球的半径从1增加到2时,球的体积平均膨胀率为__________.
[解] (1)Δy=f(1+Δx)-f(1)=2(1+Δx)2-1-(2×12-1)
=2(Δx)2+4Δx
∴=2Δx+4,故选C.
(2)由题意知,=kOA,=kAB,=kBC.
根据图象知<<.
(3)Δv=π×23-π×13=π.
∴=π.
[答案] (1)C (2)<< (3)π
[规律方法] 求函数y=f(x)从x0到x的
平均变化率的步骤
(1)求自变量的增量Δx=x-x0.
(2)求函数的增量Δy=y-y0=f(x)-f(x0)=f(x0+Δx)-f(x0).
(3)求平均变化率=.
6
提醒:Δx,Δy的值可正,可负,但Δx≠0,Δy可为零,若函数f(x)为常值函数,则Δy=0.
[跟踪训练]
1.(1)函数y=f(x)=3x2+2在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为________,当x0=2,Δx=0.1时平均变化率的值为________.
(2)已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则=________.
(1)6x0+3Δx 12.3 (2)-Δx+3 [(1)函数y=f(x)=3x2+2在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为
=
=
=6x0+3Δx.
当x0=2,Δx=0.1时,
函数y=3x2+2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2+3×0.1=12.3.
(2)∵Δy=f(-1+Δx)-f(-1)
=-(-1+Δx)2+(-1+Δx)-[-(-1)2+(-1)]
=-(Δx)2+3Δx,
∴=
=-Δx+3.]
求瞬时速度
若一物体的运动方程为s=(路程单位:m,时间单位:s).求:
(1)物体在t=3 s到t=5 s这段时间内的平均速度;
(2)物体在t=1 s时的瞬时速度.
[思路探究] (1)先求Δs,再根据=求解.
(2)先求,再求 .
[解] (1)因为Δs=3×52+2-(3×32+2)=48(m),Δt=2 s,所以物体在t=3 s到t=5 s这段时间内的平均速度为==24(m/s).
6
(2)因为Δs=29+3[(1+Δt)-3]2-29-3×(1-3)2=[3(Δt)2-12Δt](m),
所以==3Δt-12(m/s),
则物体在t=1 s时的瞬时速度为 = (3Δt-12)=-12(m/s).
[规律方法] 1.求运动物体瞬时速度的三个步骤
(1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs=s(t0+Δt)-s(t0).
(2)求平均速度=.
(3)求瞬时速度,当Δt无限趋近于0时,无限趋近于常数v,即为瞬时速度.
2.求(当Δx无限趋近于0时)的极限的方法
(1)在极限表达式中,可把Δx作为一个数来参与运算.
(2)求出的表达式后,Δx无限趋近于0就是令Δx=0,求出结果即可.
[跟踪训练]
2.质点M按规律s=2t2+3作直线运动(位移单位:cm,时间单位:s).求质点M在t=2时的瞬时速度以及在[1,3]上的平均速度.
【导学号:97792122】
[解] v=
= = (2Δt+8)=8(cm/s),
==
=8(cm/s).
求函数在某点处的导数
[探究问题]
求函数在某点处的导数的步骤和求瞬时速度的步骤有何异同?
提示:根据函数在某点处的导数的定义知,两者步骤完全相同.
(1)函数y=在x=1处的导数为__________.
(2)如果一个质点由定点A开始运动,在时间t的位移函数为y=f(t)=t3+3,
①当t1=4,Δt=0.01时,求Δy和比值;
②求t1=4时的导数.
6
[思路探究] (1)→→
(2)①→
②→→
[解析] (1)Δy=-1,
==,
=,
所以y′|x=1=.
[答案]
(2)①Δy=f(t1+Δt)-f(t1)=3t·Δt+3t1·(Δt)2+(Δt)3,故当t1=4,Δt=0.01时,Δy=0.481 201,=48.120 1.
② = [3t+3t1·Δt+(Δt)2]=3t=48,
故函数y=t3+3在t1=4处的导数是48,
即y′|t1=4=48.
[规律方法]
求函数y=f(x)在点x0处的导数的三个步骤
简称:一差、二比、三极限.
提醒:当对取极限时,一定要把变形到当Δx→0时,分母是一个非零常数的形式.
[跟踪训练]
3.求函数y=x-在x=1处的导数.
6
[解] ∵Δy=(1+Δx)--=Δx+,
∴==1+.
当Δx→0时,→2,∴f′(1)=2,
即函数y=x-在x=1处的导数为2.
[当 堂 达 标·固 双 基]
1.已知函数f(x)=2x2-4的图象上一点(1,-2)及邻近一点(1+Δx,-2+Δy),则等于( )
A.4 B.4x
C.4+2Δx D.4+2(Δx)2
C [===4+2Δx.]
2.一质点的运动方程是s=4-2t2,则在时间段[1,1+Δt]内相应的平均速度为( )
A.2Δt+4 B.-2Δt-4
C.4 D.-2Δt2-4Δt
B [===-2Δt-4.]
3.一质点按规律s(t)=2t2运动,则在t=2时的瞬时速度为__________.
【导学号:97792123】
8 [s(2+Δt)-s(2)=2(2+Δt)2-2×22
=2(Δt)2+8Δt.
∴ = = (2Δt+8)=8.]
4.设f(x)=ax+4,若f′(1)=2,则a=________.
2 [f′(1)= = =a,又∵f′(1)=2,∴a=2.]
5.求函数y=2x2+4x在x=3处的导数.
[解] Δy=2(3+Δx)2+4(3+Δx)-(2×32+4×3)=2(Δx)2+16Δx,
∴==2Δx+16.
y′|x=3= = (2Δx+16)=16.
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