高考数学专题复习练习第1讲 数列的概念与简单表示法 7页

第六章 数 列 第1讲 数列的概念与简单表示法 一、选择题 ‎1．数列{an}：1，－，，－，…的一个通项公式是(　　)‎ A．an＝(－1)n＋1(n∈N＋)‎ B．an＝(－1)n－1(n∈N＋)‎ C．an＝(－1)n＋1(n∈N＋)‎ D．an＝(－1)n－1(n∈N＋)‎ 解析 观察数列{an}各项，可写成：，－，，－，故选D.‎ 答案　D ‎2．把1,3,6,10,15,21这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如图所示)．‎ 则第七个三角形数是(　　)．‎ A．27 B．‎28 ‎ C．29 D．30‎ 解析　观察三角形数的增长规律，可以发现每一项与它的前一项多的点数正好是本身的序号，所以根据这个规律计算即可．根据三角形数的增长规律可知第七个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.‎ 答案　B ‎3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1(n∈N*)，则a5＝ ‎ ‎ (　　)．‎ A．－16 B．‎16 ‎ C．31 D．32‎ 解析　当n＝1时，S1＝a1＝‎2a1－1，∴a1＝1，‎ 又Sn－1＝2an－1－1(n≥2)，∴Sn－Sn－1＝an＝2(an－an－1)．‎ ‎∴＝2.∴an＝1×2n－1，∴a5＝24＝16.‎ 答案　B ‎4．将石子摆成如图的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为梯形数，根据图形的构成，此数列的第2 014项与5的差即a2 014－5＝(　　)．‎ A．2 020×2 012 B．2 020×2 013‎ C．1 010×2 012 D．1 010×2 013‎ 解析　结合图形可知，该数列的第n项an＝2＋3＋4＋…＋(n＋2)．所以a2 014－5＝4＋5＋…＋2 016＝2 013×1 010.故选D.‎ 答案　D ‎5．在数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则此数列最大项的值是 (　　)．‎ A．103 B. C. D．108‎ 解析　根据题意并结合二次函数的性质可得：an＝－2n2＋29n＋3＝－2＋3＝－22＋3＋，‎ ‎∴n＝7时，an取得最大值，最大项a7的值为108.‎ 答案　D ‎6．定义运算“*”，对任意a，b∈R，满足①a*b＝b*a；②a*0＝a；(3)(a*b)*c＝c*(ab)＋(a*c)＋(c*b)．设数列{an}的通项为an＝n**0，则数列{an}为(　　)．‎ A．等差数列 B．等比数列 C．递增数列 D．递减数列 解析　由题意知an＝*0＝0]n·＋(n*0)＋)＝1＋n＋，显然数列{an}‎ 既不是等差数列也不是等比数列；又函数y＝x＋在[1，＋∞)上为增函数，‎ 所以数列{an}为递增数列．‎ 答案　C 二、填空题 ‎7．在函数f(x)＝中，令x＝1,2,3，…，得到一个数列，则这个数列的前5项是________．‎ 答案　1，，，2， ‎8．已知数列{an}满足a1＝1，且an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则a2＝________；an＝________.‎ 解析　由an＝n(an＋1－an)，可得＝，‎ 则an＝···…··a1＝×××…××1＝n，∴a2＝2，an＝n.‎ 答案　2　n ‎9．已知f(x)为偶函数，f(2＋x)＝f(2－x)，当－2≤x≤0时，f(x)＝2x，若n∈N*，an＝f(n)，则a2 013＝________.‎ 解析　∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(－x)，‎ ‎∴f(x＋2)＝f(2－x)＝f(x－2)．‎ 故f(x)周期为4，‎ ‎∴a2 013＝f(2 013)＝f(1)＝f(－1)＝2－1＝.‎ 答案　 ‎10．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5＜ak＜8，则k的值为________．‎ 解析　∵Sn＝n2－9n，‎ ‎∴n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－10，‎ a1＝S1＝－8适合上式，∴an＝2n－10(n∈N*)，‎ ‎∴5＜2k－10＜8，得7.5＜k＜9.∴k＝8.‎ 答案　8‎ 三、解答题 ‎11．数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋6.‎ ‎(1)这个数列的第4项是多少？‎ ‎(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？‎ ‎(3)该数列从第几项开始各项都是正数？‎ 解 (1)当n＝4时，a4＝42－4×7＋6＝－6.‎ ‎(2)令an＝150，即n2－7n＋6＝150，解得n＝16，即150是这个数列的第16项．‎ ‎(3)令an＝n2－7n＋6>0，解得n>6或n<1(舍)，‎ ‎∴从第7项起各项都是正数．‎ ‎12．若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝.‎ ‎(1)求证：成等差数列；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式．‎ ‎(1)证明　当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0，‎ 得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以－＝2，‎ 又＝＝2，故是首项为2，公差为2的等差数列．‎ ‎(2)解　由(1)可得＝2n，∴Sn＝.‎ 当n≥2时，‎ an＝Sn－Sn－1＝－＝＝－.‎ 当n＝1时，a1＝不适合上式．‎ 故an＝ ‎13．设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝a(a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*.‎ ‎(1)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；‎ ‎(2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范围．‎ 解　(1)依题意，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，‎ 即Sn＋1＝2Sn＋3n，由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，‎ 又S1－31＝a－3(a≠3)，故数列{Sn－3n}是首项为a－3，公比为2的等比数列，‎ 因此，所求通项公式为bn＝Sn－3n＝(a－3)2n－1，n∈N*.‎ ‎(2)由(1)知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N*，‎ 于是，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2＝2×3n－1＋(a－3)2n－2，‎ 当n＝1时，a1＝a不适合上式，‎ 故an＝ an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)2n－2‎ ‎＝2n－2，‎ 当n≥2时，an＋1≥an⇔12·n－2＋a－3≥0⇔a≥－9.‎ 又a2＝a1＋3>a1.‎ 综上，所求的a的取值范围是[－9，＋∞)．‎ ‎14．在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝84，a9＝73.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)对任意m∈N*，将数列{an}中落入区间(‎9m,‎92m)内的项的个数记为bm，求数 列{bm}的前m项和Sm.‎ 解　(1)因为{an}是一个等差数列，‎ 所以a3＋a4＋a5＝‎3a4＝84，即a4＝28.‎ 设数列{an}的公差为d，则5d＝a9－a4＝73－28＝45，故d＝9.‎ 由a4＝a1＋3d得28＝a1＋3×9，即a1＝1.‎ 所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋9(n－1)＝9n－8(n∈N*)．‎ ‎(2)对m∈N*，若‎9m＜an＜‎92m，‎ 则‎9m＋8＜9n＜‎92m＋8，因此‎9m－1＋1≤n≤‎92m－1，‎ 故得bm＝‎92m－1－‎9m－1.‎ 于是Sm＝b1＋b2＋b3＋…＋bm ‎＝(9＋93＋…＋‎92m－1)－(1＋9＋…＋‎9m－1)‎ ‎＝－ ‎＝.‎