2021新高考数学二轮复习：数列（共3讲） 132页

4.1 　数列小题专项练 第三部分 2021 考 情 分 析 　　 从 2020 年新高考全国卷和 2020 年山东新高考模拟卷对数列的考查来看 , 数列在高考中考查的力度在增强 . 这是由于新高考试题删除了选做题 , 使数列成为新高考六大解答题的必选内容 , 高考对数列命题的 “ 一大一小或一大 ” 的趋势比较明显 , 数列题和三角函数及解三角形题会交替处在解答题的第一题或第二题的位置上 , 考查难度处在中等 , 这两个题目会有一道题设计成是 “ 结构不良 ” 试题 , 这种新题型的条件具有开放性 , 给考生以更多的选择性 . 数列题考查的重点仍是等差、等比数列的基本内容以及数列的通项、求和 . 在核心素养考查上主要是逻辑推理和数学运算 . 内容索引 01 02 必备知识 精要梳理 考向训练 限时通关 必备知识 精要梳理 1 . 数列的本质 : 定义域为 N * ( 或它的有限子集 {1,2, … , n }) 的函数 . 3 . 等差数列 (1) 等差数列的通项 a n =a 1 + ( n- 1) d , 通项的推广 1: a n =a m + ( n-m ) d , 4 . 等比数列 (1) 等比数列的通项 a n =a 1 q n- 1 , 通项的推广 1: a n =a m q n-m , (3) 等比数列的性质 : 若 m+n=p+q , 则 a m · a n =a p · a q . 考向训练 限时通关 考向一 数列及与其有关的概念 1 . (2020 河北武邑校级联考 , 理 4) 大衍数列来源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传 “ 大衍之数五十 ” 的推论 , 主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理 , 数列中的每一项都代表太极衍生过程中曾经经历的两仪数量总和 . 已知数列前 10 项是 0,2,4,8,12,18,24,32,40,50, 则大衍数列中奇数项的通项公式为 ( 　　 ) 答案 B 　 解析 由数列的第一项为 0, 可知 D 错 ; 因为数列的第三项为 4, 将 n= 3 代入选项 A, 得到 3, 故 A 错 ; 将 n= 3 代入选项 C, 得到 2, 故 C 错 ; 将 n= 3 代入选项 B, 得到 4, 故 B 正确 . 2 . (2020 辽宁大连 24 中一模 ,8) 数列 { a n } 满足对任意的 n ∈ N * , 均有 a n +a n+ 1 +a n+ 2 为定值 . 若 a 7 = 2, a 9 = 3, a 98 = 4, 则数列 { a n } 的前 100 项的和 S 100 = ( 　　 ) A.132 B.299 C.68 D.99 答案 B 　 解析 对任意的 n ∈ N * , 均有 a n +a n+ 1 +a n+ 2 为定值 , ∴ ( a n+ 1 +a n+ 2 +a n+ 3 ) - ( a n +a n+ 1 +a n+ 2 ) = 0, 故 a n+ 3 =a n , ∴ { a n } 是以 3 为周期的数列 , 故 a 1 =a 7 = 2, a 2 =a 98 = 4, a 3 =a 9 = 3, ∴ S 100 = ( a 1 +a 2 +a 3 ) + … + ( a 97 +a 98 +a 99 ) +a 100 = 33( a 1 +a 2 +a 3 ) +a 1 = 33 × (2 + 4 + 3) + 2 = 29 9. 3 . (2020 山东烟台一模 ,14) 已知数列 { a n } 的前 n 项和公式为 S n = 2 n 2 -n+ 1, 则数列 { a n } 的通项公式为 　　　　　 .   解析 由题意知 , 当 n= 1 时 , a 1 =S 1 = 2; 当 n ≥ 2 时 , a n =S n -S n- 1 = 2 n 2 -n- 2( n- 1) 2 +n- 1 = 4 n- 3. 4 . (2020 全国 Ⅰ , 文 16) 数列 { a n } 满足 a n+ 2 + ( - 1) n a n = 3 n- 1, 前 16 项和为 540, 则 a 1 = 　　　　　 .   答案 7 　 解析 当 n 为偶数时 , 有 a n+ 2 +a n = 3 n- 1, 则 ( a 2 +a 4 ) + ( a 6 +a 8 ) + ( a 10 +a 12 ) + ( a 14 +a 16 ) = 5 + 17 + 29 + 41 = 92, 因为前 16 项和为 540, 所以 a 1 +a 3 +a 5 +a 7 +a 9 +a 11 +a 13 +a 15 = 44 8. 当 n 为奇数时 , 有 a n+ 2 -a n = 3 n- 1, 考向二 等差数列的基本运算 5 . (2020 北京人大附中二模 ,6) 记 S n 为等差数列 { a n } 的前 n 项和 . 已知 S 4 = 0, a 5 = 5, 则 ( 　　 ) A. a n = 2 n- 5 B. a n = 3 n- 10 C. S n = 2 n 2 - 8 n D. S n = n 2 - 2 n 答案 A 6 . (2020 全国 Ⅱ , 理 4) 北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所 , 分上、中、下三层 . 上层中心有一块圆形石板 ( 称为天心石 ), 环绕天心石砌 9 块扇面形石板构成第一环 , 向外每环依次增加 9 块 . 下一层的第一环比上一层的最后一环多 9 块 , 向外每环依次也增加 9 块 . 已知每层环数相同 , 且下层比中层多 729 块 , 则三层共有扇面形石板 ( 不含天心石 )( 　　 ) A.3 699 块 B.3 474 块 C.3 402 块 D.3 339 块 答案 C 　 解析 由题意可知 , 从上到下 , 从内到外 , 每环的扇面形石板数构成以 9 为首项 ,9 为公差的等差数列 , 设为 { a n } . 设上层有 n 环 , 则上层扇面形石板总数为 S n , 中层扇面形石板总数为 S 2 n -S n , 下层扇面形石板总数为 S 3 n -S 2 n , 三层扇面形石板总数为 S 3 n . 因为 { a n } 为等差数列 , 所以 S n , S 2 n -S n , S 3 n -S 2 n 构成等差数列 , 公差为 9 n 2. 因为下层比中层多 729 块 , 所以 9 n 2 = 729, 解得 n= 9. 所以 S 3 n =S 27 = 27 × 9 + 9 = 3 40 2. 故选 C . 7 . ( 多选 ) 下列关于等差数列的命题中正确的有 ( 　　 ) A. 若 a , b , c 成等差数列 , 则 a 2 , b 2 , c 2 一定成等差数列 B. 若 a , b , c 成等差数列 , 则 2 a ,2 b ,2 c 可能成等差数列 C. 若 a , b , c 成等差数列 , 则 ka+ 2, kb+ 2, kc+ 2 一定成等差数列 答案 BCD 　 解析 对于 A, 取 a= 1, b= 2, c= 3, 得 a 2 = 1, b 2 = 4, c 2 = 9, 所以 a 2 , b 2 , c 2 不成等差数列 , 故 A 错 ; 对于 B, 取 a=b=c , 可得 2 a = 2 b = 2 c , 故 B 正确 ; 对于 C, 由题意 a+c= 2 b , 所以 ( ka+ 2) + ( kc+ 2) =k ( a+c ) + 4 = 2( kb+ 2), 即 ka+ 2, kb+ 2, kc+ 2 成等差数列 , 故 C 正确 ; 8 . (2020 北京 ,8) 在等差数列 { a n } 中 , a 1 =- 9, a 5 =- 1 . 记 T n =a 1 a 2 … a n ( n= 1,2, … ), 则数列 { T n }( 　　 ) A. 有最大项 , 有最小项 B. 有最大项 , 无最小项 C. 无最大项 , 有最小项 D. 无最大项 , 无最小项 答案 B 　 9 . (2020 全国 Ⅱ , 文 14) 记 S n 为等差数列 { a n } 的前 n 项和 . 若 a 1 =- 2, a 2 +a 6 = 2, 则 S 10 = 　　　　　 .   答案 25 解析 设等差数列 { a n } 的公差为 d. ∵ a 1 =- 2, ∴ a 2 +a 6 =a 1 +d+a 1 + 5 d= 2 a 1 + 6 d=- 4 + 6 d= 2, 解得 d= 1. 考向三 等比数列的基本运算 10 . (2020 辽宁锦州一模 ,7) 已知等比数列 { a n } 中 , 若 a 5 +a 7 = 8, 则 a 4 ( a 6 + 2 a 8 ) +a 3 a 11 的值为 ( 　　 ) A.128 B.64 C.16 D.8 答案 B 　 11 . (2020 全国 Ⅱ , 文 6) 记 S n 为等比数列 { a n } 的前 n 项和 . 若 a 5 -a 3 = 12, a 6 -a 4 = 24, A.2 n - 1 B.2 - 2 1 -n C.2 - 2 n- 1 D.2 1 -n - 1 答案 B 12 . ( 多选 ) 数列 { a n } 满足 a n =q n ( q> 0, n ∈ N * ), 则以下结论正确的是 ( 　　 ) 答案 AD 13 . (2020 山东淄博一模 ,14) 记 S n 为数列 { a n } 的前 n 项和 , 若 a n = - 1, 则 S 7 = 　　　　　 .   答案 - 254 考向四 等差、等比数列的综合 14 . (2020 河南郑州二模 ,10) 已知等差数列 { a n } 的公差 d ≠0, 且 a 1 , a 3 , a 13 成等比数列 , 若 a 1 = 1, S n 为数列 { a n } 的前 n 项和 , 则 的最小值为 ( 　　 ) A.4 B.3 C.2 - 2 D.2 答案 D 　 15 . (2020 江苏 ,11) 设 { a n } 是公差为 d 的等差数列 ,{ b n } 是公比为 q 的等比数列 . 已知数列 { a n +b n } 的前 n 项和 S n =n 2 -n+ 2 n - 1( n ∈ N * ), 则 d+q 的值是 　　　　 .   答案 4 　 解析 由等差数列的前 n 项和公式和等比数列的前 n 项和公式得 对照已知条件 S n =n 2 -n+ 2 n - 1, 得 d= 2, q= 2, 所以 d+q= 4. 16 . ( 多选 )(2020 山东青岛 5 月模拟 ,10) 已知等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ( n ∈ N * ), 公差 d ≠0, S 6 = 90, a 7 是 a 3 与 a 9 的等比中项 , 则下列选项正确的是 ( 　　 ) A. a 1 = 22 B. d=- 2 C. n= 10 或 n= 11 时 , S n 取得最大值 D. 当 S n > 0 时 , n 的最大值为 20 答案 BCD 4.2.1 　等差、等比数列的综合问题 第三部分 2021 内容索引 01 02 必备知识 精要梳理 关键能力 学案突破 03 核心素养微专题 ( 四 ) 必备知识 精要梳理 1 . 判断给定的数列 { a n } 是等差数列的方法 (1) 定义法 : a n+ 1 -a n =d 是常数 ( n ∈ N * ) . (2) 通项公式法 : a n =kn+b ( k , b 是常数 ) . (3) 前 n 项和法 : 数列 { a n } 的前 n 项和为 S n =An 2 +Bn ( A , B 是常数且 A 2 +B 2 ≠0) . (4) 等差中项法 : a n +a n+ 2 = 2 a n+ 1 ( n ∈ N * ) . 2 . 若数列 { a n },{ b n } 为等差数列且项数相同 , 则 { ka n },{ a n ± b n },{ pa n +qb n } 都是等差数列 . 3 . 判断给定的数列 { a n } 是等比数列的方法 关键能力 学案突破 热点一 等差 ( 比 ) 数列的判断与证明 【例 1 】 (2020 山东淄博 4 月模拟 ,18) 已知数列 { a n } 满足 a 1 = 1, a n+ 1 = 4 a n + 3 n- 1, b n =a n +n. (1) 证明 : 数列 { b n } 为等比数列 ; (2) 求数列 { a n } 的前 n 项和 . 解题心得 1 . 判断数列是等差 ( 比 ) 数列的方法通常有四种 , 证明数列是等差 ( 比 ) 数列的方法常用定义法 . 2 . 对已知数列 a n 与 S n 的关系 , 证明 { a n } 为等差或等比数列的问题 , 解题思路是 : 由 a n 与 S n 的关系递推出 n+ 1 时的关系式 , 两个关系式相减后 , 进行化简、整理 , 最终化归为用定义法证明 . 【对点训练 1 】 (2019 全国 Ⅱ , 理 19) 已知数列 { a n } 和 { b n } 满足 a 1 = 1, b 1 = 0,4 a n+ 1 = 3 a n -b n + 4,4 b n+ 1 = 3 b n -a n - 4 . (1) 证明 :{ a n +b n } 是等比数列 ,{ a n -b n } 是等差数列 ; (2) 求 { a n } 和 { b n } 的通项公式 . 热点二 等差数列的通项及求和 【例 2 】 (2019 全国 Ⅰ , 文 18) 记 S n 为等差数列 { a n } 的前 n 项和 . 已知 S 9 =-a 5 . (1) 若 a 3 = 4, 求 { a n } 的通项公式 ; (2) 若 a 1 > 0, 求使得 S n ≥ a n 的 n 的取值范围 . 解 (1) 设 { a n } 的公差为 d. 由 S 9 =-a 5 , 得 a 1 + 4 d= 0 . 由 a 3 = 4, 得 a 1 + 2 d= 4. 可得 a 1 = 8, d=- 2. 因此 { a n } 的通项公式为 a n = 10 - 2 n. (2) 由 (1) 得 a 1 =- 4 d , 故 a n = ( n- 5) d , S n = 由 a 1 > 0 知 d< 0, 故 S n ≥ a n 等价于 n 2 - 11 n+ 10 ≤ 0, 解得 1 ≤ n ≤ 10. 所以 n 的取值范围是 { n| 1 ≤ n ≤ 10, n ∈ N } . 解题心得 a 1 , n , d 是等差数列的三个基本量 , a n 和 S n 都可以用这三个基本量来表示 , 五个量 a 1 , n , d , a n , S n 中可 “ 知三求二 ”, 一般是通过通项公式和前 n 项和公式联立方程 ( 组 ) 求解 , 这种方法是解决数列问题的基本方法 . 【对点训练 2 】 (2020 海南天一大联考第三次模拟 ,17) 对于由正整数构成的数列 { A n }, 若对任意 m , n ∈ N * 且 m ≠ n , A m +A n 也是 { A n } 中的项 , 则称 { A n } 为 “ Q 数列 ” . 设数列 { a n } 满足 a 1 = 6,8 ≤ a 2 ≤ 12 . (1) 请给出一个 { a n } 的通项公式 , 使得 { a n } 既是等差数列也是 “ Q 数列 ”, 并说明理由 ; (2) 根据你给出的通项公式 , 设 { a n } 的前 n 项和为 S n , 求满足 S n > 100 的正整数 n 的最小值 . 解 (1) 给出的通项公式为 a n = 2 n+ 4, a 1 = 6, a 2 = 8 符合题意 . 因为对任意 n ∈ N * , a n+ 1 -a n = 2( n+ 1) + 4 - 2 n- 4 = 2, 所以 { a n } 是公差为 2 的等差数列 . 对任意 m , n ∈ N * 且 m ≠ n , a m +a n = 2 m+ 4 + 2 n+ 4 = 2( m+n+ 2) + 4 =a m+n+ 2 , 所以 { a n } 是 “ Q 数列 ” . 因为 S n 单调递增 , 且 S 7 = 7 2 + 5 × 7 = 84 < 100, S 8 = 8 2 + 5 × 8 = 104 > 100, 所以 n 的最小值为 8. 注 : 以下答案也正确 , 解答步骤参考上面内容 : ② a n = 6 n , S n = 3 n 2 + 3 n , n 的最小值为 6. 热点三 等比数列的通项及求和 【例 3 】 (2020 山东 ,18) 已知公比大于 1 的等比数列 { a n } 满足 a 2 +a 4 = 20, a 3 = 8 . (1) 求 { a n } 的通项公式 ; (2) 记 b m 为 { a n } 在区间 (0, m ]( m ∈ N * ) 中的项的个数 , 求数列 { b m } 的前 100 项和 S 100 . 解 (1) 设 { a n } 的公比为 q. 由题设得 a 1 q+a 1 q 3 = 20, a 1 q 2 = 8. 解得 q= ( 舍去 ), q= 2. 因为 a 1 q 2 = 8, 所以 a 1 = 2. 所以 { a n } 的通项公式为 a n = 2 n . (2) 由题设及 (1) 知 b 1 = 0, 且当 2 n ≤ m< 2 n+ 1 时 , b m =n. 所以 S 100 =b 1 + ( b 2 +b 3 ) + ( b 4 +b 5 +b 6 +b 7 ) + … + ( b 32 +b 33 + … +b 63 ) + ( b 64 +b 65 + … +b 100 ) = 0 + 1 × 2 + 2 × 2 2 + 3 × 2 3 + 4 × 2 4 + 5 × 2 5 + 6 × (100 - 63) = 480 . 解题心得 1 . 已知等比数列前几项或者前几项的关系 , 求其通项及前 n 项和时 , 只需利用等比数列的通项公式及求和公式得到几个方程求解即可 . 2 . 若已知条件没有明确数列 { a n } 是等比数列 , 而是已知 a n =f ( S n ) 的关系式 , 在转化此条件时 , 通常有两种思路 , 一是将 a n 用 S n -S n- 1 代替 , 二是由 a n =f ( S n ) 推出 a n- 1 =f ( S n- 1 ), 两式作差 , 消去 S n . 【对点训练 3 】 (2020 四川绵阳三模 , 理 17) 若数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , 已知 热点四 等差、等比数列的综合问题 【例 4 】 (2020 安徽合肥 4 月质检二 , 理 17) 已知等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , a 2 = 1, S 7 = 14, 数列 { b n } 满足 b 1 · b 2 · b 3 · … · b n = . (1) 求数列 { a n } 和 { b n } 的通项公式 ; (2) 若数列 { c n } 满足 c n =b n cos( a n π ), 求数列 { c n } 的前 2 n 项和 T 2 n . 两式相除得 b n = 2 n ( n ≥ 2) . 当 n= 1 时 , b 1 = 2, 适合上式 , ∴ b n = 2 n . 解题心得 对于等差、等比数列的综合问题 , 解决的思路主要是方程的思想 , 即运用等差、等比数列的通项公式和前 n 项和公式将已知条件转化成方程或方程组 , 求出首项、公差、公比等基本量 , 再由基本量求出题目要求的量 . 【对点训练 4 】 (2020 全国 Ⅲ , 文 17) 设等比数列 { a n } 满足 a 1 +a 2 = 4, a 3 -a 1 = 8 . (1) 求 { a n } 的通项公式 ; (2) 记 S n 为数列 {log 3 a n } 的前 n 项和 . 若 S m +S m+ 1 =S m+ 3 , 求 m. 热点五 等差、等比数列的存在问题 【例 5 】 (2020 山东新高考模拟 ,17) 在 ① b 1 +b 3 =a 2 , ② a 4 =b 4 , ③ S 5 =- 25 这三个条件中任选一个 , 补充在下面问题中 , 若问题中的 k 存在 , 求 k 的值 ; 若 k 不存在 , 说明理由 . 设等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,{ b n } 是等比数列 , 　　　　　 , b 1 =a 5 , b 2 = 3, b 5 =- 81, 是否存在 k , 使得 S k >S k+ 1 且 S k+ 1 S k+ 1 , 即 S k >S k +a k+ 1 , 从而 a k+ 1 < 0; 同理 , 若使 S k+ 1 0 . 若选 ① : 由 b 1 +b 3 =a 2 , 得 a 2 =- 1 - 9 =- 10, 又 a 5 =- 1, 则可得 a 1 =- 13, d= 3, 所以 a n = 3 n- 16, 当 k= 4 时 , 能使 a 5 < 0, 且 a 6 > 0 成立 ; 若选 ② : 由 a 4 =b 4 = 27, 且 a 5 =- 1, 所以数列 { a n } 为递减数列 , 故不存在 a k+ 1 < 0, 且 a k+ 2 > 0; 解题心得 从三个给出的选择性条件中 , 选择自己好理解的条件是解题的关键 , 将已知的条件通过逻辑推理进行转换是解题的突破口 , 较强的运算能力是拿到满分的重要保证 . 所以 a n = 3 + 2( n- 1) = 2 n+ 1. 若选 ③ 数列 { a 2 n } 的前 5 项和为 65, 则 a 2 +a 4 +a 6 +a 8 +a 10 = 65, 即 5 a 1 + 25 d= 65, 解得 a 1 = 3. 所以 a n = 3 + 2( n- 1) = 2 n+ 1. 所以 b n+ 1 >b n 可转化为 b n+ 1 -b n > 0, 即 5 - 2 n> 0, 解得 n< 2. 5, 则 n= 1,2, 即 b 3 >b 2 >b 1 ; b n+ 1 2. 5, 则 n= 3,4,5, … , 即 b 3 >b 4 >b 5 > … . 核心素养微专题 ( 四 ) 求解等差、等比数列的应用题 【例 1 】 (2020 安徽合肥一中模拟 , 文 12) 如图所示 , 一条螺旋线是用以下方法画成的 : △ ABC 是边长为 2 的正三角形 , 曲线 CA 1 , A 1 A 2 , A 2 A 3 是分别以 A , B , C 为圆心 , AC , BA 1 , CA 2 为半径画的圆弧 , 曲线 CA 1 A 2 A 3 称为螺旋线的第一圈 , 然后又以 A 为圆心 , AA 3 为半径画圆弧 , …… , 这样画到第 n 圈 , 则所得螺旋线的长度 l n 为 ( 　　 ) 答案 B 解析 第一圈的三段圆弧为 CA 1 , A 1 A 2 , A 2 A 3 , 第二圈的三段圆弧为 A 3 A 4 , A 4 A 5 , A 5 A 6 , … , 第 n 圈的三段圆弧为 A 3( n- 1) A 3 n- 2 , A 3 n- 2 A 3 n- 1 , A 3 n- 1 A 3 n . 各段圆弧的长度分别为 核心素养分析 本例考查考生多个核心素养 , 首先需要考生在读懂题意的基础上 , 从题目所给的几何图形中通过 “ 数学抽象 ” 得到一组数据 ; 再通过 “ 数学建模 ” 将问题转化为等差数列模型 ; 然后对等差数列模型的各项数值通过 “ 数据分析 ” 得到等差数列的项数和公差 ; 最后通过 “ 数学运算 ” 得出答案 . 【跟踪训练 1 】 (2019 四川绵阳模拟 , 理 16) 如图 , 互不相同的点 A 1 , A 2 , … , A n , … 和 B 1 , B 2 , … , B n , … 分别在角 O 的两条边上 , 所有 A n B n 相互平行 , 且所有梯形 A n B n B n+ 1 A n+ 1 的面积均相等 . 设 OA n =a n , 若 a 1 = 1, a 2 = 2, 则数列 { a n } 的通项公式是 　　　　　 .   【例 2 】 已知正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 的棱长为 6, E , F , G 分别为 A 1 B 1 , BB 1 , B 1 C 1 的中点 , E 1 , F 1 , G 1 分别为 EB 1 , FB 1 , B 1 G 的中点 , E 2 , F 2 , G 2 分别为 E 1 B 1 , F 1 B 1 , B 1 G 1 的点 , …… , 依此类推 , 令三棱锥 B-A 1 B 1 C 1 的体积为 V 1 , 三棱锥 F-EB 1 G 的体积为 V 2 , 三棱锥的体积为 F 1 -E 1 B 1 G 1 的体积为 V 3 , …… , 则 V 1 +V 2 +V 3 + … +V n = ( 　　 ) 答案 C 核心素养分析 本例考查三个核心素养 , 考生在读懂题意的基础上 , 需要从题目所给的正方体中通过 “ 数学抽象 ” 得到三棱锥的一组体积数据 ; 再通过 “ 数学建模 ” 将问题转化为等比数列模型 ; 然后对等比数列通过 “ 数学运算 ” 得出答案 . 4.2.2 　求数列的通项及前 n 项和 第三部分 2021 内容索引 01 02 必备知识 精要梳理 关键能力 学案突破 03 核心素养微专题 ( 五 ) 必备知识 精要梳理 1 . 由递推关系式求数列的通项公式 (1) 形如 a n+ 1 =a n +f ( n ), 利用累加法求通项 . (2) 形如 a n+ 1 =a n f ( n ), 利用累乘法求通项 . (3) 形如 a n+ 1 =pa n +q , 等式两边同时加 转化为等比数列求通项 . 2 . 数列求和的常用方法 (1) 公式法 : 利用等差数列、等比数列的求和公式 . (2) 错位相减法 : 适合求数列 { a n · b n } 的前 n 项和 S n , 其中 { a n },{ b n } 一个是等差数列 , 另一个是等比数列 . (3) 裂项相消法 : 将数列的通项分成两个式子的代数和 , 通过累加抵消中间若干项的方法 . (4) 拆项分组法 : 先把数列的每一项拆成两项 ( 或多项 ), 再重新组合成两个 ( 或多个 ) 简单的数列 , 最后分别求和 . (5) 并项求和法 : 把数列的两项 ( 或多项 ) 组合在一起 , 重新构成一个数列再求和 , 适用于正负相间排列的数列求和 . (6) 常用裂项结论 关键能力 学案突破 热点一 求通项及错位相减法求和 【例 1 】 (2020 山东潍坊一模 ,18) 在 ① b 2 n = 2 b n + 1, ② a 2 =b 1 +b 2 , ③ b 1 , b 2 , b 4 成等比数列这三个条件中选择符合题意的两个条件 , 补充在下面的问题中 , 并求解 . 已知数列 { a n } 中 a 1 = 1, a n+ 1 = 3 a n , 公差不等于 0 的等差数列 { b n } 满足 　　　　　 , 求数列 的前 n 项和 S n .   解 因 a 1 = 1, a n+ 1 = 3 a n , 所以数列 { a n } 是以 1 为首项 , 公比为 3 的等比数列 , 所以 a n = 3 n- 1. 选 ①② 时 , 设数列 { b n } 公差为 d , 因为 a 2 = 3, 所以 b 1 +b 2 = 3. 因为 b 2 n = 2 b n + 1, 所以 n= 1 时 , b 2 = 2 b 1 + 1, 选 ②③ 时 , 设数列 { b n } 公差为 d , 因为 a 2 = 3, 所以 b 1 +b 2 = 3, 即 2 b 1 +d= 3. 因为 b 1 , b 2 , b 4 成等比数列 , 所以 =b 1 b 4 , 即 ( b 1 +d ) 2 =b 1 ( b 1 + 3 d ), 化简得 d 2 =b 1 d , 因为 d ≠0, 所以 b 1 =d , 从而 d=b 1 = 1, 所以 b n =n. 选 ①③ 时 , 设数列 { b n } 公差为 d , 因为 b 2 n = 2 b n + 1, 所以 n= 1 时 , b 2 = 2 b 1 + 1, 所以 d=b 1 + 1. 又因为 b 1 , b 2 , b 4 成等比数列 , 所以 =b 1 b 4 , 即 ( b 1 +d ) 2 =b 1 ( b 1 + 3 d ), 化简得 d 2 =b 1 d , 因为 d ≠0, 所以 b 1 =d , 从而无解 , 所以等差数列 { b n } 不存在 , 故不合题意 . 解题心得 若已知数列为等差或等比数列 , 求其通项是利用等差、等比数列通项公式 , 或通过变形转换成等差、等比数列求通项 ; 如果数列 { a n } 与数列 { b n } 分别是等差数列和等比数列 , 那么数列 { a n ·b n } 的前 n 项和采用错位相减法来求 . 【对点训练 1 】 (2020 全国 Ⅰ , 理 17) 设 { a n } 是公比不为 1 的等比数列 , a 1 为 a 2 , a 3 的等差中项 . (1) 求 { a n } 的公比 ; (2) 若 a 1 = 1, 求数列 { na n } 的前 n 项和 . 解 (1) 设 { a n } 的公比为 q , 由题设得 2 a 1 =a 2 +a 3 , 即 2 a 1 =a 1 q+a 1 q 2. 所以 q 2 +q- 2 = 0, 解得 q= 1( 舍去 ), q=- 2. 故 { a n } 的公比为 - 2. (2) 记 S n 为 { na n } 的前 n 项和 . 由 (1) 及题设可得 , a n = ( - 2) n- 1. 所以 S n = 1 + 2 × ( - 2) + … +n× ( - 2) n- 1 , - 2 S n =- 2 + 2 × ( - 2) 2 + … + ( n- 1) × ( - 2) n- 1 +n× ( - 2) n . 可得 3 S n = 1 + ( - 2) + ( - 2) 2 + … + ( - 2) n- 1 -n× ( - 2) n 热点二 求通项及裂项相消法求和 【例 2 】 (2020 山东潍坊二模 ,18) 已知数列 { a n } 为正项等比数列 , a 1 = 1, 数列 { b n } 满足 b 2 = 3, a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3 + … +a n b n = 3 + (2 n- 3)2 n . (1) 求 a n ; 解 (1) 令 n= 1, 得 a 1 b 1 = 3 + (2 - 3) × 2 = 1, 所以 b 1 = 1. 令 n= 2, 得 a 1 b 1 +a 2 b 2 = 7, 所以 a 2 b 2 = 6. 又因为 b 2 = 3, 所以 a 2 = 2. 设数列 { a n } 的公比为 q , 则 q= = 2, 所以 a n = 2 n- 1. (2) 当 n ≥ 2 时 , a 1 b 1 +a 2 b 2 + … +a n- 1 b n- 1 = 3 + (2 n- 5)2 n- 1 , ① 又 a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3 + … +a n b n = 3 + (2 n- 3)2 n , ② ② - ① 得 a n b n = 3 + (2 n- 3)2 n - [3 + (2 n- 5)2 n- 1 ] = (2 n- 1)2 n- 1 , 得 b n = 2 n- 1, n= 1 时也成立 , 解题心得 1 . 若条件等式中含有 a n , S n 的关系式 , 或已知条件中含有数列通项的较为复杂的关系式 , 条件转化的常用方法是由已知关系式再推出一个关系式相减 . 2 . 把数列的通项拆成两项之差 , 求和时中间的项能够抵消 , 从而求得其和 . 注意抵消后所剩余的项一般前后对称 . 【对点训练 2 】 (2020 浙江 ,20) 已知数列 { a n },{ b n },{ c n } 满足 a 1 =b 1 =c 1 = 1, c n =a n+ 1 -a n , c n+ 1 = · c n , n ∈ N * . (1) 若 { b n } 为等比数列 , 公比 q> 0, 且 b 1 +b 2 = 6 b 3 , 求 q 的值及数列 { a n } 的通项公式 ; (2) 若 { b n } 为等差数列 , 公差 d> 0, 证明 : c 1 +c 2 + … +c n < 1 + , n ∈ N * . 热点三 求通项及分组求和或并项求和 【例 3 】 (2020 山西大同模拟五 ,17) 已知数列 { a n } 满足 a 1 = 1, na n+ 1 - 2( n+ 1) a n =n 2 +n ( n ∈ N * ) . (1) 求证 : 数列 为等比数列 ; (2) 求数列 { a n } 的前 n 项和 S n . 解题心得 1 . 若能把一个较为复杂的数列的通项分成两 ( 或多 ) 部分 , 而每一部分对应的前 n 项的和可求 , 则分别求和相加即可 . 2 . 若一个数列的前 n 项和不好求 , 而数列相邻的两项或多项的和相等且为常数 , 则对该数列先作并项处理 , 即先合并项 , 再求和 . 【对点训练 3 】 (2020 河南安阳二模 , 理 17) 记数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , 已知 S n = 2 a n - 2 n+ 1 . (1) 求数列 { a n } 的通项公式 ; 解 (1) 当 n= 1 时 , 由 S n = 2 a n - 2 n+ 1, 可得 a 1 =S 1 = 2 a 1 - 2 + 1, 解得 a 1 = 1. 当 n ≥ 2 时 , a n =S n -S n- 1 = 2 a n - 2 n+ 1 - 2 a n- 1 + 2( n- 1) - 1, 即为 a n = 2 a n- 1 + 2, 可得 a n + 2 = 2( a n- 1 + 2), 显然 a n- 1 + 2≠0, 则 = 2. 所以数列 { a n + 2} 是首项为 3, 公比为 2 的等比数列 , 则 a n + 2 = 3 · 2 n- 1 , 即 a n = 3 · 2 n- 1 - 2. 热点四 数列中的存在性问题 (3) 对于给定的 λ , 是否存在三个不同的数列 { a n } 为 “ λ ~ 3” 数列 , 且 a n ≥ 0? 若存在 , 求 λ 的取值范围 ; 若不存在 , 说明理由 . 解 (1) 因为等差数列 { a n } 是 “ λ ~ 1” 数列 , 则 S n+ 1 -S n = λ a n+ 1 , 即 a n+ 1 = λ a n+ 1 , 也即 ( λ - 1) a n+ 1 = 0, 此式对一切正整数 n 均成立 . 若 λ ≠1, 则 a n+ 1 = 0 恒成立 , 故 a 3 -a 2 = 0, 而 a 2 -a 1 =- 1, 这与 { a n } 是等差数列矛盾 . 所以 λ = 1. ( 此时 , 任意首项为 1 的等差数列都是 “1 ~ 1” 数列 ) ① 若 λ ≤ 0 或 λ = 1, 则 ( * ) 只有一解为 c n = 1, 即符合条件的数列 { a n } 只有一个 . ( 此数列为 1,0,0,0, … ) 即符合条件的数列 { a n } 只有一个 . ( 此数列为 1,0,0,0, … ) 则方程 ( * ) 有两个大于或等于 1 的解 : 其中一个为 1, 另一个大于 1( 记此解为 t ) . 所以 S n+ 1 =S n 或 S n+ 1 =t 3 S n . 由于数列 { S n } 从任何一项求其后一项均有两种不同结果 , 所以这样的数列 { S n } 有无数多个 , 则对应的 { a n } 有无数多个 . 综上所述 , 能存在三个各项非负的数列 { a n } 为 “ λ ~ 3” 数列 , λ 的取值范围是 (0,1) . 解题心得 解决数列中的存在性问题的一般方法是假设推理法 . 即先假设所探求对象存在或结论成立 , 以此假设为前提条件进行运算或逻辑推理 , 若由此推出矛盾 , 则假设不成立 , 即不存在 . 若推不出矛盾 , 即得到存在的结果 . 【对点训练 4 】 (2020 天津河西区校级联考 ,17) 设各项均为正数的等比数列 { a n }( n ∈ N * ) 中 , a 1 +a 3 = 10, a 3 +a 5 = 40 . 设 b n = log 2 a n . (1) 求数列 { b n } 的通项公式 ; (1) 解 设各项均为正数的等比数列 { a n } 的公比为 q , 则 a 1 +a 1 q 2 = 10, a 1 q 2 +a 1 q 4 = 40, 解得 a 1 = 2, q= 2, 即有 a n = 2 n , b n = log 2 2 n =n. 核心素养微专题 ( 五 ) 求解数列与多模块知识综合题 答案 B 到该直线的距离的两倍 . 点 C n 到直线距离的最大值为圆心到直线的距离与圆的半径之和 , 核心素养分析 本题是数学多模块知识的综合题 , 对核心素养要求较高 . 先用 “ 数学抽象 ” 将 转化为 ∠ A n OB n = 120 ° ; 其次运用 “ 直观想象 ” 将两点到直线的距离之和转化为一点到直线的距离 ; 再运用 “ 逻辑推理 ” 将距离的最大值转化为圆心到直线的距离与圆的半径之和 ; 最后运用 “ 数列运算 ” 求出数列的和及得出结果 . A.2 50 + 2 449 B.2 50 + 2 549 C.2 49 + 2 449 D.2 49 + 2 549 答案 C ∴ x= 2 为 f ( x ) 的第一个极大值点 . 又当 3