2020年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式达标检测新人教A版选修4-5 7页

第三讲 柯西不等式与排序不等式 达标检测　‎ 时间：120分钟　满分：150分 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．已知a，b，c都是正数，且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式中正确的是(　　)‎ A．(a＋b＋c)2≥3　　　　 B．a2＋b2＋c2≥2‎ C.＋＋≤2 D．a＋b＋c≤ 解析：用3(ab＋bc＋ca)≤(a＋b＋c)2≤3(a2＋b2＋c2)易得．‎ 答案：A ‎2．已知2x＋3y＋4z＝10，则x2＋y2＋z2取到最小值时的x，y，z的值为(　　)‎ A.，， B．，， C．1，， D．1，， 解析：x2＋y2＋z2＝ ‎≥＝.‎ 当且仅当时，等号成立，‎ 则4k＋9k＋16k＝29k＝10，解得k＝，‎ ‎∴选B.‎ 答案：B ‎3．已知3x2＋2y2≤1，则3x＋2y的取值范围是(　　)‎ A．[0，] B．[－，0]‎ C．[－，] D．[－5,5]‎ 解析：|3x＋2y|≤·≤，所以－≤3x＋2y≤.‎ 答案：C ‎4．已知x，y，z∈R＋，且＋＋＝1，则x＋＋的最小值是(　　)‎ A．5 B．6‎ C．8 D．9‎ 解析：x＋＋＝＝3＋＋＋＋＋＋ ≥3＋2＋2＋2＝9，选D.‎ 7‎ 答案：D ‎5．已知＋＝1(a>b>0)，设A＝a2＋b2，B＝(x＋y)2，则A、B间的大小关系为(　　)‎ A．AB C．A≤B D．A≥B 解析：A＝a2＋b2＝1·(a2＋b2)＝(a2＋b2)≥2＝(x＋y)2＝B.即A≥B.‎ 答案：D ‎6．已知a，b是给定的正数，则＋的最小值为(　　)‎ A．a2＋b2 B．2ab C．(a＋b)2 D．4ab 解析：＋＝(sin2α＋cos2α)≥(a＋b)2，故应选C.‎ 答案：C ‎7．设a，b，c为正实数，a＋b＋‎4c＝1，则＋＋2的最大值是(　　)‎ A. B． C．2 D． 解析：1＝a＋b＋‎‎4c ‎＝()2＋()2＋(2)2‎ ‎＝[()2＋()2＋(2)2]·(12＋12＋12)≥(＋＋2)2·，‎ ‎∴(＋＋2)2≤3，＋＋2≤，当且仅当a＝，b＝，c＝时取等号．‎ 答案：B ‎8．函数y＝3＋4的最大值为(　　)‎ A. B．5‎ C．7 D．11‎ 解析：函数的定义域为[5,6]，且y>0.‎ y＝3×＋4×≤×＝5.‎ 当且仅当＝.‎ 即x＝时取等号．所以ymax＝5.‎ 答案：B 7‎ ‎9．若x，y，z是非负实数，且9x2＋12y2＋5z2＝9，则函数u＝3x＋6y＋5z的最大值为(　　)‎ A．9 B．10‎ C．14 D．15‎ 解析：u2＝(3x＋6y＋5z)2≤[(3x)2＋(2y)2＋(z)2]·[12＋()2＋()2]＝9×9＝81，当且仅当x＝，y＝，z＝1时等号成立．故所求的最大值为9.‎ 答案：A ‎10．若5x1＋6x2－7x3＋4 x4＝1，则3x＋2x＋5x＋x的最小值是(　　)‎ A. B． C．3 D． 解析：因为(3x＋2x＋5x＋x)≥‎ 2＝(5x1＋6x2－7x3＋4x4)2＝1，‎ 所以3x＋2x＋5x＋x≥.‎ 答案：B ‎11．设c1，c2，…，cn是a1，a2，…，an的某一排列(a1，a2，…，an均为正数)，则＋＋…＋的最小值是(　　)‎ A. B．n C．1 D．不能确定 解析：不妨设0Q 解析：设a≥b≥c，a2≥b2≥c2，‎ 顺序和a3＋b3＋c3，乱序和a2b＋b‎2c＋c‎2a与a‎2c＋b‎2a＋c2b，‎ ‎∴a3＋b3＋c3≥a2b＋b‎2c＋c‎2a，‎ a3＋b3＋c3≥a‎2c＋b‎2a＋c2b，‎ 7‎ ‎2(a3＋b3＋c3)≥a2(b＋c)＋b2(c＋a)＋c2(a＋b)，‎ ‎∴P≥Q，选C.‎ 答案：C 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)‎ ‎13．已知x>0，y>0，且2x＋y＝6，则＋的最小值为________．‎ 解析：＋＝(2x＋y)＝[()2＋()2]·≥2‎ ‎＝(＋1)2＝，‎ 当且仅当·＝·，即x＝6－3，y＝6－6时取等号．‎ 答案：(3＋2)‎ ‎14．如图所示，矩形OPAQ中，a1≤a2，b1≤b2，则阴影部分的矩形的面积之和________空白部分的矩形的面积之和．‎ 解析：由图可知，阴影面积＝a1b1＋a2b2，而空白面积＝a1b2＋a2b1，根据顺序和≥反序和知，应填“≥”．‎ 答案：≥‎ ‎15．设实数a1，a2，a3满足条件a1＋a2＋a3＝2，则a‎1a2＋a‎2a3＋a‎3a1的最大值为________．‎ 解析：由柯西不等式，得(a＋a＋a)·(12＋12＋12)≥(a1＋a2＋a3)2＝4，‎ 于是a＋a＋a≥.‎ 故a‎1a2＋a‎2a3＋a‎3a1＝[(a1＋a2＋a3)2－(a＋a＋a)]＝×22－(a＋a＋a)≤2－×＝.‎ 当且仅当a1＝a2＝a3＝时取等号．‎ 答案： ‎16. 已知正实数x1，x2，…，xn满足x1＋x2＋…＋xn＝P，P为定值．‎ 7‎ 则F＝＋＋…＋＋的最小值为________．‎ 解析：不妨设00.‎ 且00，b>0，且a＋b＝1.求证：＋≤2.‎ 证明：由柯西不等式得：‎ ‎(·1＋·1)2≤(‎2a＋1＋2b＋1)(1＋1)＝8.‎ 所以＋≤2.‎ ‎18．(12分)若正数a、b、c满足a＋b＋c＝1，求＋＋的最小值．‎ 解析：因为正数a、b、c满足a＋b＋c＝1，‎ 所以[(‎3a＋2)＋(3b＋2)＋‎ ‎(‎3c＋2)]‎ ‎＝·‎ ‎≥ 2＝9.‎ 又‎3a＋2＋3b＋2＋‎3c＋2＝3(a＋b＋c)＋6＝9，‎ 故＋＋≥1，当且仅当‎3a＋2＝3b＋2＝‎3c＋2，即a＝b＝c＝时上式取等号．‎ ‎19．(12分)设a、b、c∈R＋，利用排序不等式证明：‎ 7‎ ‎(1)aabb>abba(a≠b)；‎ ‎(2)a2ab2bc‎2c≥ab＋cbc＋aca＋b.‎ 证明：(1)不妨设a>b>0，则lg a>lg B．‎ 从而alg a＋blg b>alg b＋blg a，‎ ‎∴lg aa＋lg bb>lg ba＋lg ab，‎ 即lg aabb>lg baab，故aabb>abba.‎ ‎(2)不妨设a≥b≥c>0，则lg a≥lg b≥lg c.‎ ‎∴alg a＋blg b＋clg c≥blg a＋clg b＋alg c，‎ alg a＋blg b＋clg c≥clg a＋alg b＋blg c.‎ ‎∴2alg a＋2blg b＋2clg c ‎≥(b＋c)lg a＋(a＋c)lg b＋(a＋b)lg c.‎ ‎∴lg(a‎2a·b2b·c‎2c)≥lg(ab＋c·ba＋c·ca＋b)．‎ 故a2ab2bc‎2c≥ab＋cbc＋aca＋b.‎ ‎20．(12分)已知正数x、y、z满足x＋y＋z＝xyz，且不等式＋＋≤λ恒成立，求λ的取值范围．‎ 解析：＋＋≤＋＋ ‎＝ ‎≤ ‎＝，λ的取值范围是.‎ ‎21．(13分)设a1，a2，…，an是1,2，…，n的一个排列，求证：＋＋…＋≤＋＋…＋.‎ 证明：设b1，b2，…，bn－1是a1，a2，…，an－1的一个排列，且b1>…>且b1≥1，b2≥2，…，bn－1≥n－1，c1≤2，c2≤3，…，cn－1≤n，‎ 利用排序不等式有：‎ ＋＋…＋≥＋＋…＋≥＋＋…＋.‎ ‎22．(13分)某自来水厂要制作容积为‎500 m3‎的无盖长方体水箱，现有三种不同规格的长方形金属制箱材料(单位：m)：‎ 7‎ ‎①19×19；②30×10；③25×12.‎ 请你选择其中的一种规格材料，并设计出相应的制作方案(要求：①用料最省；②简便易行)．‎ 解析：设无盖长方体水箱的长、宽、高分别为a m、b m、c m，‎ 由题意，可得abc＝500，‎ 长方体水箱的表面积为：S＝2bc＋‎2ac＋ab.‎ 由均值不等式，知S＝2bc＋‎2ac＋ab≥3＝3＝300.‎ 当且仅当2bc＝2ca＝ab，即a＝b＝10，c＝5时，‎ S＝2bc＋2ca＋ab＝300为最小，‎ 这表明将无盖长方体的尺寸设计为10×10×5(即2∶2∶1)时，其用料最省．‎ 如何选择材料并设计制作方案，就要研究三种供选择的材料，哪一种更易制作成长方体水箱的平面展开图．‎ 逆向思维，先将无盖长方体展开成平面图，如图(1)，进一步剪拼成图(2)的长‎30 m，宽‎10 m(长∶宽＝3∶1)的长方形．因此，应选择规格30×10的制作材料，制作方案如图(3)．‎ 可以看出，图(3)这种“先割后补”的方案不但可使用料最省，而且简便易行．‎ 7‎