2020高中数学 第一章第1课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理学案 新人教A版选修2-3 6页

第1课时　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 学习目标：1.通过实例，能归纳总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理．(重点)2.正确地理解“完成一件事情”的含义，能根据具体问题的特征，选择“分类”或“分步”．(易混点)3.能利用两个原理解决一些简单的实际问题．(难点)‎ ‎[自 主 预 习·探 新 知]‎ ‎1．分类加法计数原理 思考：若完成一件事情有几类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同方法？‎ ‎[提示]　共有m1＋m2＋…＋mn种不同方法．‎ ‎2．分步乘法计数原理 思考：完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事共有多少种不同的方法？‎ ‎[提示]　共有m1×m2×…×mn种不同的方法．‎ ‎[基础自测]‎ ‎1．判断(正确的打“√”错误的打“×”)‎ ‎(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同． (　　)‎ ‎(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事． (　　)‎ ‎(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的． (　　)‎ ‎(4)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事． (　　)‎ ‎[解析]　(1)×　在分类加法计数原理中，分类标准是统一的，两类不同方案中的方法是不能相同的．‎ ‎(2)√　在分类加法计数原理中，是把能完成这件事的所有方法按某一标准分类的，故每类方案中的每种方法都能完成这些事．‎ 6‎ ‎(3)√　在分步乘法计数原理中的每一步都有多种方法，而每种方法各不相同．‎ ‎(4)×　因为在分步乘法计数原理中，要完成这件事需分两步，而每步都不能完成这件事，只有各步都完成了，这件事才算完成．‎ ‎[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×‎ ‎2．从甲地到乙地有两类交通方式：坐飞机和乘轮船，其中飞机每天有3班，轮船有4班．若李先生从甲地去乙地，则不同的交通方式共有(　　) ‎ ‎【导学号：95032000】‎ A．3种　　　　　　　　　 B．4种 C．7种 D．12种 C　[由分类加法计数原理，从甲地去乙地共3＋4＝7(种)不同的交通方式．]‎ ‎3．已知x∈{2,3,7}，y∈{－3，－4,8}，则x·y可表示不同的值的个数为(　　)‎ A．10个 B．6个 C．8个 D．9个 D　[因为x从集合{2,3,7}中任取一个值共有3个不同的值，y从集合{－3，－4,8}中任取一个值共有3个不同的值，故x·y可表示3×3＝9个不同的值．]‎ ‎4．某商场共有4个门，购物者若从任意一个门进，从任意一个门出，则不同走法的种数是________. ‎ ‎【导学号：95032001】‎ ‎16　[不同的走法可以看作是两步完成的，第一步是进门共有4种；第二步是出门，共有4种．由分步乘法计数原理知共有4×4＝16(种)．]‎ ‎[合 作 探 究·攻 重 难]‎ 利用分类加法计数原理解题 ‎　在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数有多少个？ ‎ ‎【导学号：95032002】‎ ‎[思路探究]　根据情况安排个位、十位上的数字．‎ 先确定分类标准，再求出每一类的个数，最后得结论．‎ ‎[解]　法一：分析个位数，可分以下几类：‎ 个位是9，则十位可以是1,2,3，…，8中的一个，故有8个；‎ 个位是8，则十位可以是1,2,3，…，7中的一个，故有7个；‎ 同理，个位是7的有6个；个位是6的有5个；……；个位是2的只有1个．‎ 由分类加法计数原理知，满足条件的两位数有 ‎1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)．‎ 6‎ 法二：按十位数上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个，由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有 ‎8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．‎ 法三：将个位比十位数字大的两位数一一写出：‎ ‎12,13,14,15,16,17,18,19，‎ ‎23,24,25,26,27,28,29，‎ ‎34,35,36,37,38,39，‎ ‎45,46,47,48,49，‎ ‎56,57,58,59，‎ ‎67,68,69，‎ ‎78,79，‎ ‎89.‎ 共有36个符合题意的两位数．‎ ‎[规律方法]　应用分类加法计数原理解题时要注意以下三点：‎ ‎(1)明确题目中所指的“完成一件事”指的是什么事，怎样才算是完成这件事．‎ ‎(2)完成这件事的n类办法中的各种方法是互不相同的，无论哪类办法中的哪种方法都可以单独完成这件事．‎ ‎(3)确立恰当的分类标准，这个“标准”必须满足：①完成这件事情的任何一种方法必须属于其中的一类；②不同两类中的两种方法不能相同，即不重复，无遗漏．‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎1．本例中条件不变，求个位数字小于十位数字且为偶数的两位数的个数．‎ ‎[解]　当个位数字是8时，十位数字取9，只有1个．‎ 当个位数字是6时，十位数字可取7,8,9，共3个．‎ 当个位数字是4时，十位数字可取5,6,7,8,9，共5个．‎ 同理可知，当个位数字是2时，共7个．‎ 当个位数字是0时，共9个．‎ 由分类加法计数原理知，符合条件的数共有1＋3＋5＋7＋9＝25(个)．‎ 利用分步乘法计数原理解题 ‎　已知a∈{1,2,3}，b∈{4,5,6,7}，r∈{8,9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示多少个不同的圆？‎ ‎ 【导学号：95032003】‎ ‎[思路探究]　确定一个圆的方程需要分别确定出圆心的横坐标、纵坐标、半径，可以用分步乘法计数原理解决．‎ 6‎ ‎[解]　完成表示不同的圆这件事，可以分为三步：‎ 第一步：确定a有3种不同的选取方法；‎ 第二步：确定b有4种不同的选取方法；‎ 第三步：确定r有2种不同的选取方法；‎ 由分步乘法计数原理，方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同的圆共有3×4×2＝24(个)．‎ ‎[规律方法]　‎ ‎1．应用分步乘法计数原理时，完成这件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺一不可．‎ ‎2．利用分步乘法计数原理解题的一般思路 ‎(1)分步：将完成这件事的过程分成若干步；‎ ‎(2)计数：求出每一步中的方法数；‎ ‎(3)结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果．‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎2．张涛大学毕业参加工作后，把每月工资中结余的钱分为两部分，其中一部分用来定期储蓄，另一部分用来购买国债．人民币储蓄可以从一年期、二年期两种中选择一种，购买国债则可以从一年期、二年期和三年期中选择一种．问：张涛共有多少种不同的理财方式？‎ ‎[解]　由题意知，张涛要完成理财目标应分步完成．‎ 第1步，将一部分钱用来定期储蓄，从一年期和二年期中任意选择一种理财方式，有2种方式；‎ 第2步，用另一部分钱购买国债，从一年期、二年期和三年期三种国债中任意选择一种理财方式，有3种方式．‎ 由分步乘法计数原理得张涛共有2×3＝6种不同的理财方式．‎ 两个原理的综合应用 ‎[探究问题]‎ 如何区分一个问题是“分类”还是“分步”？‎ ‎[提示]　如果完成这件事，可以分几种情况，每种情况中任何一种方法都能完成任务，则是分类；而从其中一种情况中任取一种方法只能完成一部分任务，且只有依次完成各种情况，才能完成这件事，则是分步．‎ ‎　一个袋子里装有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里装有12张不同的中国联通手机卡．‎ ‎(1)某人要从两个袋子中任取一张手机卡供自己使用，共有多少种不同的取法．‎ 6‎ ‎(2)某人手机是双卡双待机，想得到一张移动卡和一张联通卡供自己今后使用，问一共有多少种不同的取法？ ‎ ‎【导学号：95032004】‎ ‎[思路探究]‎ ‎[解]　(1)从两个袋子中任取一张卡有两类情况：‎ 第一类：从第一个袋子中取一张移动手机卡，共有10种取法；‎ 第二类：从第二个袋子中取一张联通手机卡，共有12种取法．‎ 根据分类加法计数原理，共有10＋12＝22种取法．‎ ‎(2)想得到一张移动卡和一张联通卡可分两步进行：‎ 第一步，从第一个袋子中任取一张移动手机卡，共有10种取法．‎ 第二步，从第二个袋子中任取一张联通手机卡，共有12种取法．‎ 根据分步乘法计数原理，共有10×12＝120种取法．‎ ‎[规律方法]　对于两个计数原理的综合应用问题，一般是先分类再分步，分类时要设计好标准，设计好分类方案，防止重复和遗漏；分步时要注意步与步之间的连续性，同时应合理设计步骤的顺序，使各步互不干扰，也可以根据题意恰当合理地画出示意图或者列出表格，使问题的实质直观地显现出来，从而便于我们解题．‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎3．某公园休息处东面有8个空闲的凳子，西面有6个空闲的凳子，小明与爸爸来这里休息．‎ ‎(1)若小明爸爸任选一个凳子坐下(小明不坐)，有几种坐法？‎ ‎(2)若小明与爸爸分别就坐，有多少种坐法？‎ ‎[解]　(1)小明爸爸选凳子可以分两类：‎ 第一类，选东面的空闲凳子，有8种坐法；‎ 第二类，选西面的空闲凳子，有6种坐法．‎ 根据分类加法计数原理，小明爸爸共有8＋6＝14种坐法．‎ ‎(2)小明与爸爸分别就坐，可以分两步完成：‎ 第一步，小明先就坐，从东西面共8＋6＝14个凳子中选一个坐下，共有14种坐法；(小明坐下后，空闲凳子数变成13)第二步，小明爸爸再就坐，从东西面共13个空闲凳子中选一个坐下，共13种坐法．‎ 由分步乘法计数原理，小明与爸爸分别就坐共有14×13＝182种坐法．‎ ‎[当 堂 达 标·固 双 基]‎ ‎1．某学生去书店，发现2本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有(　　)‎ 6‎ A．1种　　　　　　　 B．2种 C．3种 D．4种 C　[分两类：买1本或买2本书，各类购买方式依次有2种、1种，故购买方式共有2＋1＝3种．故选C.]‎ ‎2．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为(　　) ‎ ‎【导学号：95032005】‎ A．7 B．12‎ C．64 D．81‎ B　[先从4件上衣中任取一件共4种选法，再从3条长裤中任选一条共3种选法，由分步乘法计数原理，上衣与长裤配成一套共4×3＝12(种)不同配法．故选B.]‎ ‎3．从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为(　　)‎ A．1＋1＋1＝3 B．3＋4＋2＝9‎ C．3×4×2＝24 D．以上都不对 B　[分三类：第一类，乘汽车，从3次中选1次有3种走法；第二类，乘火车，从4次中选1次有4种走法；第三类，乘轮船，从2次中选1次有2种走法．所以，共有3＋4＋2＝9种不同的走法．]‎ ‎4．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，不同的行车路线有________条. ‎ ‎【导学号：95032006】‎ ‎12　[经过一次十字路口可分两步：第一步确定入口，共有4种选法；第二步，确定出口，从剩余3个路口任选一个共3种，由分步乘法计数原理知不同的路线有4×3＝12条．]‎ ‎5．现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．‎ ‎(1)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？‎ ‎(2)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？‎ ‎[解]　(1)分为三步：国画、油画、水彩画各有5种、2种、7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70种不同的选法．‎ ‎(2)分为三类：‎ 第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步乘法计数原理知，有5×2＝10种不同的选法．‎ 第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7＝35种不同的选法．‎ 第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7＝14种不同的选法．‎ 所以有10＋35＋14＝59种不同的选法．‎ 6‎