浙江省2014届理科数学专题复习试题选编15：函数的最值与导数（教师版） 56页

浙江省2014届理科数学专题复习试题选编15：函数的最值与导数 一、选择题 ‎1 ．（浙江省名校新高考研究联盟2013届高三第一次联考数学（理）试题）设函数,若有且仅有一个正实数,使得对任意的正数t都 成立,则= （　　）‎ A．5 B． C．3 D．‎ ‎【答案】D ‎ ‎2 ．（浙江省杭州市2013届高三第二次教学质检检测数学（理）试题）若函数,则下列命题正确的是 （　　）‎ A．对任意,都存在,使得 ‎ B．对任意,都存在,使得 ‎ C．对任意,方程只有一个实根 ‎ D．对任意,方程总有两个实根 ‎【答案】B ‎ 二、填空题 ‎3 ．（浙江省杭州二中2013届高三年级第五次月考理科数学试卷）若时,不等式恒成立,则的取值范围是_______.‎ ‎【答案】 ‎ 三、解答题 ‎4 ．（浙江省嘉兴市2013届高三第二次模拟考试理科数学试卷）已知,函数.‎ ‎(Ⅰ)若,求函数的极值点;‎ ‎(Ⅱ)若不等式恒成立,求的取值范围.‎ ‎(为自然对数的底数)‎ ‎【答案】解:(Ⅰ)若,则,. ‎ 当时,,单调递增; ‎ 当时,,单调递减 ‎ 又因为,,所以 ‎ 当时,;当时,; ‎ 当时,;当时, ‎ 故的极小值点为1和,极大值点为 ‎ ‎(Ⅱ)不等式, ‎ 整理为.(*) ‎ 设, ‎ 则() ‎ ‎ ‎ ‎①当时, ‎ ‎,又,所以, ‎ 当时,,递增; ‎ 当时,,递减. ‎ 从而. ‎ 故,恒成立 ‎ ‎②当时, ‎ ‎. ‎ 令,解得,则当时,; ‎ 再令,解得,则当时,. ‎ 取,则当时,. ‎ 所以,当时,,即. ‎ 这与“恒成立”矛盾. ‎ 综上所述, ‎ ‎5 ．（浙江省五校联盟2013届高三下学期第二次联考数学（理）试题）已知函数,它的一个极值点是.‎ ‎(Ⅰ) 求的值及的值域;‎ ‎(Ⅱ)设函数,试求函数的零点的个数.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎6 ．（浙江省永康市2013年高考适应性考试数学理试题 ）已知函数,R.‎ ‎(Ⅰ)若,求曲线在点处的切线方程;‎ ‎(Ⅱ)若对任意的,都有恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎(注:为自然对数的底数.)‎ ‎【答案】解:(Ⅰ) 当时,,则 ‎ 故, ‎ 所以曲线在点处的切线方程为即为; ‎ ‎(Ⅱ)由题, ‎ 令,注意的图像过点(0,-1),且开口向上,从而有 ‎ ‎(1),单调递增, ‎ 所以有 得; ‎ ‎(2)当即时,单调递减, ‎ 所以有 得,故只有符合; ‎ ‎(3)当即时,记函数的零点为, ‎ 此时,函数在上单调递减,在上单调递增, ‎ 所以, ‎ 因为是函数的零点,所以, ‎ 故有 ‎ 令,,则 ‎ 所以函数在上单调递减,故恒成立, ‎ 此时,; ‎ 综上所述,实数的取值范围是 ‎ ‎7 ．（浙江省2013年高考模拟冲刺（提优）测试一数学（理）试题）已知.‎ ‎(Ⅰ)判断曲线在的切线能否与曲线相切?并说明理由;‎ ‎(Ⅱ)若求的最大值;‎ ‎(Ⅲ)若,求证:.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎8 ．（浙江省绍兴一中2013届高三下学期回头考理科数学试卷）定义,‎ ‎(1)设函数,试求函数的定义域;‎ ‎(2)设函数的图象为曲线C,若存在实数b,使得曲线C在其上横坐标为的点处有斜率为-8的切线,求实数的取值范围;‎ ‎(3)当且时,证明:.‎ ‎【答案】解:(1),即 得函数的定义域是, ‎ ‎(2) ‎ 设曲线处有斜率为-8的切线, ‎ 又由题设 ‎ ‎①②③‎ ‎∴存在实数b使得 有解, ‎ 由①得代入③得, 有解, ‎ 易得:,因为,所以, ‎ 当时,存在实数,使得曲线C在处有斜率为-8的切线 ‎ ‎(3)当且时 ‎ ‎ ‎ 令 ‎ 又令 , ‎ 单调递减. ‎ ‎ ‎ 单调递减, ‎ ‎,故不等式得证 ‎ ‎9 ．（浙江省温州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）(本題满分15分)‎ 已知函数.‎ ‎(I)若关于x的不等式f(x)≤m恒成立,求实数m的最小值:‎ ‎(II)对任意的x1,x2∈(0,2)且x10;当x>1时,f′(x)<0. ‎ ‎∴f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数 ‎ ‎=f(1)=-1 ‎ ‎(2) ∵f′(x)=a+,x∈(0,e],∈ ‎ ‎① 若a≥,则f′(x)≥0,从而f(x)在(0,e]上增函数 ‎ ‎∴=f(e)=ae+1≥0.不合题意 ‎ ‎② 若a<,则由f′(x)>0>0,即00,g(x) 在(0,e)单调递增; ‎ 当x>e时,g′(x)<0,g(x) 在(e,+∞)单调递减 ‎ ‎∴=g(e)= <1, ∴g(x)<1 ‎ ‎∴|f(x)|>g(x),即|f(x)|> ‎ ‎∴方程|f(x)|=没有实数解 ‎ ‎21．（浙江省温州十校联合体2013届高三期中考试数学（理）试题）设函数.‎ ‎(1)当时,求曲线在处的切线方程;‎ ‎(2)当时,求函数的单调区间;‎ ‎(3)在(Ⅱ)的条件下,设函数,若对于,,使成立,求实数b的取值范围. ‎ ‎【答案】.解:函数的定义域为, ‎ ‎(1)当时,, ∴在处的切线方程为 ‎ ‎ ‎ 的最小值为 ‎ 若对于使成立在上的最小值不大于在[1,2]上的最小值(*) ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎22．（浙江省温州中学2013届高三第三次模拟考试数学（理）试题）已知函数 ‎ ‎(I)当时,讨论在上的单调性;‎ ‎(II)若的定义域为 ‎(i)求实数的取值范围;‎ ‎(ii)若关于的不等式对任意的都成立,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】解:(I)∵, ∴ ‎ ‎∴ 由 解得 ‎ 当时,单调递增;当时,单调递减 ‎ ‎(II)(i)∵的定义域为 ‎ ‎∴当时,恒成立 ‎ 即恒成立,,∴ ‎ ‎(ii)由,得 ‎ 即在上恒成立 ‎ 当时,∵,当时, ‎ 而,∴原不等式不可能恒成立 ‎ 当时,要使在上恒成立 ‎ ‎∵ ‎ 设 ‎ ‎∴ ‎ 又∵当时, ‎ ‎∴当时,,∴在上是减函数,∴ ‎ ‎∴在上恒成立,即原不等式恒成立 ‎ 综上所述: ‎ ‎23．（浙江省重点中学协作体2013届高三摸底测试数学（理）试题）已知函数 ‎(Ⅰ)若,且对于任意,恒成立,试确定实数的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)设函数,求证:‎ ‎【答案】本题主要考查函数的极值概念、导数运算法则、导数应用,同时考查推理论证能力,分类讨论等综合解题能力和创新意识.满分15分. ‎ 解:(Ⅰ)由可知是偶函数. ‎ 于是对任意成立等价于对任意成立. ‎ 由得. ‎ ‎①当时,. ‎ 此时在上单调递增. 故,符合题意. ‎ ‎②当时,. ‎ 当变化时的变化情况如下表:‎ 单调递减 极小值 单调递增 由此可得,在上,. ‎ 依题意,,又. ‎ 综合①,②得,实数的取值范围是.·········7分 ‎ ‎(Ⅱ), ‎ ‎, ‎ ‎, ‎ 由此得, ‎ 故.·········15分 ‎ ‎24．（浙江省“六市六校”联盟2013届高三下学期第一次联考数学（理）试题）已知函数.‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）若对任意的时，都有，求实数m的取值 范围。‎ ‎【答案】 解：（1）‎ 则 ······················2分 ‎；···············5分 ‎（2）‎ ‎····················8分 则对任意的时，都有,即为：‎ 即恒成立，‎ 设 ‎ ···············10分 ‎①，， ‎ ‎（1,2）为减函数，且，则，矛盾; ············12分 ‎②若 若，则（1,2）上为减函数，且，则，矛盾；‎ 若，则上为减函数，在上为增函数，‎ 且，矛盾 若，则（1,2）上为增函数，则恒由，‎ 则，解得 ········································15分 ‎25．（浙江省乐清市普通高中2013届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题）已知函数 ‎(1)若是函数的极值点,求的值;‎ ‎(2)求函数的最大值.‎ ‎【答案】解:(1) ‎ ‎∵是极值点,∴ ‎ 代入得,解得 ‎ ‎(2) ‎ ‎ ‎ 记, ‎ ‎(ⅰ) ‎ 则在上单调递增,上单调递减 ‎ ‎(ⅱ) ‎ 则在上单调递增,单调递减- ‎ 综上,在上单调递增,上单调递减 ‎ ‎∴ ‎ ‎26．（浙江省湖州市2013年高三第二次教学质量检测数学(理)试题(word版) ）已知函数,‎ ‎.‎ ‎(Ⅰ)若,求函数在区间上的最值;‎ ‎(Ⅱ)若恒成立,求的取值范围.‎ 注:是自然对数的底数,约等于.‎ ‎【答案】解:(Ⅰ) 若,则. ‎ 当时,, ‎ ‎, ‎ 所以函数在上单调递增; ‎ 当时,, ‎ ‎. ‎ 所以函数在区间上单调递减, ‎ 所以在区间上有最小值,又因为, ‎ ‎,而, ‎ 所以在区间上有最大值 ‎ ‎(Ⅱ) 函数的定义域为. ‎ 由,得. (*) ‎ ‎(ⅰ)当时,,, ‎ 不等式(*)恒成立,所以; ‎ ‎(ⅱ)当时, ‎ ‎①当时,由得,即, ‎ 现令, 则, ‎ 因为,所以,故在上单调递增, ‎ 从而的最小值为,因为恒成立等价于, ‎ 所以; ‎ ‎②当时,的最小值为,而,显然不满足题意 ‎ 综上可得,满足条件的的取值范围是 ‎ ‎27．（浙江省五校2013届高三上学期第一次联考数学（理）试题）线段,BC中点为M,点A与B,C两点的距离之和为6,设,.‎ ‎(Ⅰ)求的函数表达式及函数的定义域;‎ ‎(Ⅱ)设,试求d的取值范围.‎ ‎【答案】解:(Ⅰ)当A、B、C三点不共线时,由三角形中线性质知 ‎ ‎ ,代入得, ‎ 又,得; ‎ 当A,B,C三点共线时,由,可知在线段BC外侧, ‎ 由或x=5,因此,当x=1或x=5时,有, ‎ 同时也满足:.当A、B、C不共线时, ‎ ‎,可知, ‎ 从而定义域为[1,5] ‎ ‎(Ⅱ)∵ . ∴ d=y+x-1=. ‎ 令 t=x-3,由知,,, ‎ 两边对t求导得:, ‎ ‎∴ 关于t在[-2,2]上单调递增. ‎ ‎∴ 当t=2时,=3,此时x=1. 当t=2时,=7.此时x=5. ‎ 故d的取值范围为[3,7] ‎ ‎28．（浙江省2013年高考模拟冲刺（提优）测试二数学（理）试题）已知函数(常数)在处取得极大值M.‎ ‎(Ⅰ)当M=时,求的值;‎ ‎(Ⅱ)记在上的最小值为N,若,求的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎29．（浙江省海宁市2013届高三2月期初测试数学（理）试题）已知函数.‎ ‎(Ⅰ)当时,求在点处的切线方程;‎ ‎(Ⅱ)若对于任意的,恒有成立,求的取值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ)当时, ‎ ‎∴ ∴ ‎ ‎∵ ‎ ‎∴在点处的切线方程为:. ‎ ‎(Ⅱ)∵ ∴ ‎ ‎ 令,则 ‎ ‎∴在上 ‎ ‎∵,当时, ∴存在,使,且在上 ,在上 ‎ ‎∵ ∴,即 ‎ ‎∵对于任意的,恒有成立 ‎ ‎∴ ∴ ‎ ‎∴ ∴ ∴ ‎ ‎∵ ∴ ‎ 令,而,当时, ‎ ‎∴存在,使 ‎ ‎∵在上 ,∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎ ∵在上 ∴ ‎ ‎∴ ∴. ‎ ‎30．（浙江省稽阳联谊学校2013届高三4月联考数学(理)试题（word版） ）函数的图象记为 ‎(I)过一点作曲线的切线,这样的切线有且仅有两条,‎ ‎(i)求的值;‎ ‎(ii)若点在切线上,对任意的,求证:‎ ‎(II)若对恒成立,求的最大值.‎ ‎【答案】解:(I)(i) ‎ 设切点为,则切线方程为,将点代入得 ‎ 可化为 ‎ 设 ‎ ‎,的极值点为 ‎ 作曲线的切线,这样的切线有且仅有两条 ‎ ‎, ‎ ‎(ii)因为点A在曲线E上,所以 ‎ ‎ ‎ 当时,左边= ‎ 令函数, ‎ 当时,函数在上单调递增, ‎ 当即时,由得 ‎ ‎∴函数在上单调递减,在上单调递增 ‎ ‎ ‎ ‎; ‎ 当时,左边= ‎ 令函数 ‎ ‎,由得 ‎ 当时,即时,函数在上单调递减, ‎ 当时,函数在上单调递减,在上单调递增 ‎ ‎ ‎ 令函数 ‎ 设,在上单调递增 ‎ ‎ ‎ ‎(II)由得对恒成立,显然. ‎ 若则 ‎ 若,则 ‎ 设函数,由 ‎ 所以函数在上单调递减,在上单调递增 ‎ ‎ ‎ 设 ‎ 由 ‎ ‎∴函数在上单调递增,在上单调递减 ‎ ‎∴,即的最大值为,此时 ‎ ‎31．（浙江省五校2013届高三上学期第一次联考数学（理）试题）设和是函数的两个极值点,其中,.‎ ‎(Ⅰ) 求的取值范围;‎ ‎(Ⅱ) 若,求的最大值.‎ 注:e是自然对数的底数.‎ ‎【答案】(Ⅰ)解:函数的定义域为,. ‎ 依题意,方程有两个不等的正根,(其中).故 ‎ ‎, ‎ 并且 . ‎ ‎ 所以, ‎ ‎ ‎ 故的取值范围是 ‎ ‎(Ⅱ)解:当时,.若设,则 ‎ ‎. ‎ 于是有 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 构造函数(其中),则. ‎ 所以在上单调递减,. ‎ 故的最大值是 ‎ ‎32．（浙江省六校联盟2013届高三回头联考理科数学试题）已知函数在处取得极值.且在x=1处的切线斜率为1. ‎ ‎(Ⅰ)求bc的值及的单调减区间;‎ ‎(Ⅱ)设求证:‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎33．（浙江省十校联合体2013届高三上学期期初联考数学（理）试题）已知函数 ‎(1)当时,求的极值 ‎(2)当时,求的单调区间 ‎(3)若对任意的,恒有成立,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】解: ‎ ‎ ‎ ‎ ↘ 极小值 ↗ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎34．（温州市2013年高三第一次适应性测试理科数学试题）已知函数.‎ ‎(Ⅰ)当时,试判断的单调性并给予证明;‎ ‎(Ⅱ)若有两个极值点.‎ ‎(i) 求实数a的取值范围;‎ ‎(ii)证明:. (注:是自然对数的底数)‎ ‎【答案】解:(1)当时,,在R上单调递减 ‎ ‎,只要证明恒成立, ‎ 设,则, ‎ 当时,, ‎ 当时,,当时, ‎ ‎,故恒成立 ‎ 所以在R上单调递减 ‎ ‎(2)(i)若有两个极值点,则是方程的两个根, ‎ 故方程有两个根, ‎ 又显然不是该方程的根,所以方程有两个根, ‎ 设,得 ‎ 若时,且,单调递减 ‎ 若时, ‎ 时,单调递减 ‎ 时,单调递增 ‎ 要使方程有两个根,需,故且 ‎ 故的取值范围为 ‎ 法二:设,则是方程的两个根, ‎ 则, ‎ 当时,恒成立,单调递减,方程不可能有两个根 ‎ 所以,由,得, ‎ 当时,,当时, ‎ ‎,得 ‎ ‎(ii) 由,得:,故, ‎ ‎, ‎ 设,则,上单调递减 ‎ 故,即 ‎ ‎35．（浙江省一级重点中学（六校）2013届高三第一次联考数学（理）试题）(本题满分15分)已知函数(b为常数).‎ ‎(Ⅰ)函数的图象在点()处的切线与函数的图象相切,求实数的值;‎ ‎(Ⅱ)设,若函数在定义域上存在单调减区间,求实数的取值范围;‎ ‎(Ⅲ)若,对于区间[1,2]内的任意两个不相等的实数,,都有 成立,求的取值范围.‎ ‎【答案】解:(Ⅰ)因为,所以,因此, ‎ 所以函数的图象在点()处的切线方程为, ‎ 由得, ‎ 由,得 ‎ ‎(Ⅱ)因为, ‎ 所以, ‎ 由题意知在上有解, ‎ 因为,设,因为, ‎ 则只要,解得, ‎ 所以b的取值范围是 ‎ ‎(Ⅲ)不妨设, ‎ 因为函数在区间[1,2]上是增函数,所以, ‎ 函数图象的对称轴为,且. ‎ ‎(i)当时,函数在区间[1,2]上是减函数,所以, ‎ 所以等价于, ‎ 即, ‎ 等价于在区间[1,2]上是增函数, ‎ 等价于在区间[1,2]上恒成立, ‎ 等价于在区间[1,2]上恒成立, ‎ 所以,又,所以 ‎ ‎(ii)当时,函数在区间[1,b]上是减函数,在上为增函数. ‎ ‎① 当时, ‎ 等价于, 等价于在区间[1,b]上是增函数, ‎ 等价于在区间[1,b]上恒成立, ‎ 等价于在区间[1,b]上恒成立,所以,又,所以 ‎ ‎② 当时, ‎ 等价于, ‎ 等价于在区间[b,2]上是增函数, ‎ 等价于在区间[b,2]上恒成立, ‎ 等价于在区间[b,2]上恒成立,所以,故, ‎ ‎③ 当时,由图像的对称性知, ‎ 只要对于①②同时成立, ‎ 对于③, 存在, ‎ 使 =恒成立; ‎ 或存在, ‎ 使=恒成立, ‎ 因此当时,对于③ 成立 ‎ 综上,b的取值范围是 ‎ ‎36．（浙江省嘉兴市2013届高三上学期基础测试数学（理）试题） ‎ 已知函数(x>0,实数a为常数)‎ ‎(Ⅰ)a=4时,求函数在上的最小值;‎ ‎(Ⅱ)设,求证:不等式:对于任意不相等的,都成立 ‎【答案】(Ⅰ)时,, ‎ ‎,,, ‎ 即在上单调递减,在单调递增 ‎ 在区间上,当有最小值 ‎ ‎(Ⅱ)当 =, ‎ 在单调递减,不妨设,则当时, ‎ 故不等式等价于 ‎ 令函数,则 ‎ ‎= ‎ 再令,对称轴, ‎ ‎,从而当时恒成立, ‎ 即当时恒成立,所以在为增函数, ‎ 所以 ‎ 从而对于任意的,都有不等式 ‎ ‎37．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））已知,函数 ‎(1)求曲线在点处的切线方程;(2)当时,求的最大值.‎ ‎【答案】解:(Ⅰ)由已知得:,且,所以所求切线方程为:,即为:; ‎ ‎(Ⅱ)由已知得到:,其中,当时,, ‎ ‎(1)当时,,所以在上递减,所以,因为; ‎ ‎(2)当,即时,恒成立,所以在上递增,所以,因为 ‎ ‎; ‎ ‎(3)当,即时, ‎ ‎ ,且,即 ‎2‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 递增 极大值 递减 极小值 递增 所以,且 ‎ 所以, ‎ 所以; ‎ 由,所以 ‎ ‎(ⅰ)当时,,所以时,递增,时,递减,所以,因为 ‎ ‎,又因为,所以,所以,所以 ‎ ‎(ⅱ)当时,,所以,因为 ‎,此时,当时,是大于零还是小于零不确定,所以 ‎ ‎① 当时,,所以,所以此时; ‎ ‎② 当时,,所以,所以此时 ‎ 综上所述:. ‎ ‎38．（浙江省杭州四中2013届高三第九次教学质检数学（理）试题）设和是函数的两个极值点,其中,‎ ‎(Ⅰ) 求实数的取值范围;‎ ‎(Ⅱ) 求的取值范围;‎ ‎(Ⅲ)若,求的最大值.‎ ‎(注:e是自然对数的底数.)‎ ‎【答案】解:(Ⅰ)函数的定义域为,. ‎ 依题意,方程有两个不等的正根,(其中).故 ‎ ‎, ‎ 并且 . ‎ ‎(Ⅱ) ‎ ‎ ‎ 故的取值范围是 ‎ ‎(Ⅲ )解:当时,.若设,则 ‎ ‎. ‎ 于是有 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 构造函数(其中),则. ‎ 所以在上单调递减,. 故的最大值是.‎ ‎39．（浙江省温岭中学2013届高三冲刺模拟考试数学（理）试题）已知函数 ,它的一个极值点是 ‎(Ⅰ)求m的值及在上的值域;‎ ‎(Ⅱ)设函数 ,求证:函数与的图象在上没有公共点.‎ ‎【答案】解(Ⅰ):令,由题设,满足方程,由此解得:或. ‎ ‎(1)当时,分析可知:在上是减函数;在上是增函数; ‎ 由此可求得,故 当时,的值域为. ‎ ‎(2)当时,同样可得:在上是减函数;在上是增函数,当时,的值域为. ‎ 解(Ⅱ) , 所以,因为,所以,所以 (1),设,则,当时, ‎ 即为增函数,故当有,即, ‎ 所以(2),由(1)(2)得,当时,. ‎ 所以在上为增函数,又因为在x=0处与图象相连,故对于有,即; ‎ 由(Ⅰ)知:(1)当时: 在上的值域为 ,而;所以,故函数与的图象在上没有公共点. ‎ ‎(2)当时, 在上的值域为 ,由于所以,所以,故函数与的图象在上也没有公共点. ‎ 综上所述,函数与的图象在上没有公共点. ‎ ‎40．（浙江省温岭中学2013届高三高考提优冲刺考试（五）数学（理）试题）已知函数,(),‎ ‎(Ⅰ)若函数在点处的切线与函数的图像相切,求的值;‎ ‎(Ⅱ)若,且当时,恒有,求的最大值.‎ ‎(参考数据:,,)‎ ‎【答案】(Ⅰ)由已知得 ,且,从而得. ‎ 函数在点处的切线方程为,即; ‎ 于是,据题设,可令直线与函数的图像相切于点, ‎ 从而,可得,,又, ‎ 因此有 ① ,②. ‎ 由①②,可得,所以,解得或 ‎ ‎(Ⅱ)当时,恒成立, ‎ 等价于,当时,恒成立. ‎ 设(),则, ‎ 且可得 ();记(), ‎ 则 ,所以在上单调递增. ‎ 又,,所以, ‎ 在存在唯一的实数根,使得③; ‎ 因此,当时,,即得,则在上递减, ‎ 当时,,即得,则在上递增; ‎ 所以,当时, ‎ 又由③,可得, ‎ 因此,得, ‎ 而 ,所以,,又, ‎ 而, ‎ 所以,因此, ‎ 又,所以 ‎ ‎41．（浙江省嘉兴市2013年3月高三教学测试(一)数学理）已知函数 ‎(I )求f(x)的单调区间;‎ ‎(II)对任意的,恒有,求正实数的取值范围.‎ ‎【答案】解:(Ⅰ)= () ‎ 令, ‎ ‎① 时,,所以增区间是; ‎ ‎② 时,,所以增区间是与,减区间是 ‎ ‎③时,,所以增区间是与,减区间是 ‎ ‎④ 时,,所以增区间是,减区间是 ‎ ‎(Ⅰ)因为,所以,由(1)知在上为减函数 ‎ 若,则原不等式恒成立,∴ ‎ 若,不妨设,则,, ‎ 所以原不等式即为:,即对任意的,恒成立 ‎ 令,所以对任意的,有恒成立,所以在闭区间上为增函数 ‎ 所以对任意的,恒成立 ‎ ‎ ‎ ‎42．（浙江省杭州市2013届高三第二次教学质检检测数学（理）试题）(本题满分I4分)设函数为实数).‎ ‎(I)设a≠0,当a+b=0时.求过点P(一1,0)且与曲线相切的直线方程;‎ ‎(Ⅱ)设b>0,当a≤0且时,有,求b的最大值.‎ ‎【答案】 ‎ ‎(Ⅰ) ∵,,∴,则, ‎ ‎∴ ,设切点T(),则, ‎ 即:切线方程为,又∵切线过点P(), ‎ ‎∴ ,解得:或. ‎ 当时,,切线方程为, ‎ 当时,,切线方程为 ‎ ‎(Ⅱ) ① 当,时,在[0,1]上递增,∴ . ‎ ‎② 当,时,令,得, ‎ 在[0,]上递增, ‎ ‎( i ) 若时,在[0,1]上递增,∵, ‎ ‎∴ ,即:,由线性规划知:. ‎ ‎( ii ) 若时,在[0,]上递增,在[,1]上递减,又, 由题意得:‎ ‎, ‎ 由得,, ‎ 即:,得. ‎ 又,∴ , ‎ ‎∴ ,得. ‎ 当时,,满足. ‎ 综上所述:的最大值为 ‎ ‎43．（浙江省杭州高中2013届高三第六次月考数学（理）试题）（本小题满分15分）函数定义在区间[a, b]上，设“”表示函数在集合D上的最小值，“”表示函数在集合D上的最大值．现设，‎ ‎，‎ 若存在最小正整数k，使得对任意的成立，则称函数 为区间上的“第k类压缩函数”．‎ ‎(1) 若函数，求的最大值，写出的解析式；‎ ‎(2) 若，函数是上的“第3类压缩函数”，求m的取值范围．‎ ‎【答案】解：(1)由于，故在上单调递减，在上单调递增．‎ 所以，的最大值为． ， ，‎ ‎(2)由于，故在上单调递减，在上单调递增，‎ 而，，故，，‎ ‎． ‎ 设对正整数k有对恒成立，‎ 当x=0时，均成立；‎ 当时，恒成立，‎ 而, 故；‎ 当时，恒成立，而；‎ 故；所以，，ks**5u 又是上的“第3类压缩函数”，故，‎ 所以，． ‎ ‎44．（浙江省诸暨中学2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知是正实数,设函数.‎ ‎(Ⅰ)设,求的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)若存在,使且成立,求的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(iii)当,即时, ‎ 单调递减. ‎ 当时恒成立 ‎ 综上所述, ‎ ‎ ‎ ‎∴的最大值在处,为7 ‎ ‎∴的取值范围为,即的取值范围是 ‎ ‎45．（【解析】浙江省镇海中学2013届高三5月模拟数学（理）试题）已知函数.‎ ‎(1)若函数在其定义域内是单调增函数,求的取值范围;‎ ‎(2)设函数的图象被点分成的两部分为(点除外),该函数图象在点处的切线为,且分别完全位于直线的两侧,试求所有满足条件的的值.‎ ‎【答案】解:(Ⅰ),只需要,即 ‎ ‎, ‎ 所以 ‎ ‎. ‎ ‎(Ⅱ)因为,所以切线的方程为 ‎ ‎. ‎ 令,则 ‎ ‎. ‎ ‎. ‎ ‎(ⅰ)若,则, ‎ 当时,;当时,,所以, ‎ 在直线同侧,不合题意; ‎ ‎(ⅱ)若,则, ‎ ‎①若,,是单调增函数, ‎ 当时,;当时,,符合题意; ‎ ‎②若,当时,,, ‎ 当时,,,不合题意; ‎ ‎③若,当时,,, ‎ 当时,,,不合题意; ‎ ‎ ‎ ‎46．（浙江省杭州二中2013届高三年级第五次月考理科数学试卷）设函数 ‎ ‎(1)若与在为同一个值时都取得极值,求的值.‎ ‎(2)对于给定的负数,有一个最大的正数,使得时,恒有 求①的表达式;②的最大值及相应的值.‎ ‎【答案】解:⑴ 易知,在时取得极值. ‎ ‎, ‎ 由题意得 ,解得 ‎ ‎⑵ ① 由,,知. ‎ 当 ,即时,要使,在上恒成立,而要最大的,所以只能是方程的较小根. ‎ 因此,. ‎ 当,即时,同样道理只能是方程的较大根,. ‎ 综上得 ‎ ‎② 当时,; ‎ 当时,. ‎ 故当且仅当时,有最大值 ‎ ‎47．（浙江省考试院2013届高三上学期测试数学（理）试题）已知函数f (x)=x3+(1-a)x2-3ax+1,a>0.‎ ‎(Ⅰ) 证明:对于正数a,存在正数p,使得当x∈[0,p]时,有-1≤f (x)≤1;‎ ‎(Ⅱ) 设(Ⅰ)中的p的最大值为g(a),求g(a)的最大值.‎ ‎【答案】本题主要考查利用导数研究函数的性质等基础知识,同时考查推理论证能力,分类讨论等综合解题能力和创新意识.满分14分. ‎ ‎(Ⅰ) 由于 f ′(x)=3x2+3(1-a)x‎-3a=3(x+1)(x-a),且a>0, ‎ 故f (x)在[0,a]上单调递减,在[a,+∞)上单调递增. ‎ 又 ‎ f (0)=1, f (a)=-a3-a2+1=(1-a)(a+2) 2-1. ‎ 当f (a)≥-1时,取p=a. ‎ 此时,当x∈[0,p]时有-1≤f (x)≤1成立. ‎ 当f (a)<-1时,由于f (0)+1=2>0,f (a)+1<0, ‎ 故存在p∈(0,a)使得f (p)+1=0. ‎ 此时,当x∈[0,p]时有-1≤f (x)≤1成立. ‎ 综上,对于正数a,存在正数p,使得当x∈[0,p]时,有-1≤f (x)≤1. ‎ ‎(Ⅱ) 由(Ⅰ)知f (x)在[0,+∞)上的最小值为f (a). ‎ 当0a的实根, ‎ 即2p2+3(1-a)p‎-6a=0满足p>a的实根,所以 ‎ g(a)=. ‎ 又g(a)在(0,1]上单调递增,故 ‎ g(a)max=g(1)=. ‎ 当a>1时,f (a)<-1. ‎ 由于f (0)=1,f (1)=(1-a)-1<-1,故 ‎ ‎[0,p]Ì [0,1]. ‎ 此时,g(a)≤1. ‎ 综上所述,g(a)的最大值为. ‎