高考数学专题复习练习第十一章 第三节 二项式定理[理] 5页

第十一章 第三节 二项式定理[理]‎ 课下练兵场 命 题 报 告 ‎　　　　难度及题号 知识点　　‎ 容易题 ‎(题号)‎ 中等题 ‎(题号)‎ 稍难题 ‎(题号)‎ 求二项展开式中特定项的系数或特定项 ‎1、3‎ ‎2、5、7、9‎ ‎11‎ 赋值法的应用 ‎8‎ ‎12‎ 二项展开式中系数的最值问题 ‎4、6‎ ‎10‎ 一、选择题 ‎1．(2009·浙江高考)在二项式(x2－)5的展开式中，含x4的项的系数是 (　　)‎ A．－10　　　　　　　　　　　B．10‎ C．－5 D．5‎ 解析：Tk＋1＝Cx2(5－k)(－x－1)k＝(－1)kCx10－3k(k＝0,1，…，5)，由10－3k＝4得k＝2.含x4的项为T3，其系数为C＝10.‎ 答案：B ‎2．(2009·北京高考)若(1＋)5＝a＋b(a，b为有理数)，则a＋b＝ (　　)‎ A．45 B．‎55 C．70 D．80‎ 解析：由二项式定理得：‎ ‎(1＋)5＝1＋C＋C()2＋C()3＋C()4＋C·()5＝1＋5＋20＋20＋20 ‎ ‎＋4 ‎＝41＋29，‎ ‎∴a＝41，b＝29，a＋b＝70.‎ 答案：C ‎3．在( ＋ )n的展开式中，所有奇数项的系数之和为1 024，则中间项系数是 ‎(　　)‎ A．330 B．‎462 C．682 D．792‎ 解析：∵二项式的展开式的所有项的二项式系数和为2n，而所有偶数项的二项式系数和与所有奇数项的二项式系数和相等．由题意得，2n－1＝1 024，∴n＝11，∴展开式共有12项，中间项为第六项、第七项，系数为C＝C＝462.‎ 答案：B ‎4．如果n的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为 (　　)‎ A．10 B．‎6 C．5 D．3‎ 解析：∵Tk＋1＝C(3x2)n－k·k ‎＝(－1)k·C3n－k·2k·x2n－5k，‎ ‎∴由题意知2n－5k＝0，即n＝，∵n∈N*，k∈N，‎ ‎∴n的最小值为5.‎ 答案：C ‎5．在5的展开式中，系数大于－1的项共有 (　　)‎ A．3项 B．4项 C．5项 D．6项 解析：5的展开式共有6项，其中3项(奇数项)的系数为正，大于－1；第六项的系数为C205＞－1，故系数大于－1的项共有4项．‎ 答案：B ‎6．二项式的展开式中，系数最大的项是 (　　)‎ A．第2n＋1项 B．第2n＋2项 C．第2n项 D．第2n＋1项和第2n＋2项 解析：由二项展开式的通项公式Tk＋1＝ (－x)k＝(－1)kxk，可知系数为(－1)k，与二项式系数只有符号之差，故先找中间项为第2n＋1项和第2n＋2项，又由第2n＋1项系数为(－1)2n＝，第2n＋2项系数为(－1)2n＋1＝－＜0，故系数最大项为第2n＋1项．‎ 答案：A 二、填空题 ‎7．若(x2＋)n展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项是________．‎ 解析：展开式中各项系数之和为 S＝C＋C＋…＋C＝2n＝32，∴n＝5.‎ Tk＋1＝ ()k＝ ＝ ，‎ ‎∴展开式中的常数项为T3＝C＝10.‎ 答案：10‎ ‎8．(2010·昌平模拟)(x＋)5的展开式中x2的系数是________；其展开式中各项系数之和为________．(用数字作答)‎ 解析：∵Tk＋1＝Cx5－k·()k＝Cx5－3k·2k，‎ 由5－3k＝2，∴k＝1，∴x2的系数为10.‎ 令x＝1得系数和为35＝243.‎ 答案：10　253‎ ‎9．若9的展开式的第7项为，则x＝________.‎ 解析：由T7＝C23x6＝，‎ ‎∴x＝－.‎ 答案：－ 三、解答题 ‎10．在(3x－2y)20的展开式中，求：‎ ‎(1)二项式系数最大的项；‎ ‎(2)系数绝对值最大的项；‎ ‎(3)系数最大的项．‎ 解：(1)二项式系数最大的项是第11项，‎ T11＝C310(－2)10x10y10＝C610x10y10.‎ ‎(2)设系数绝对值最大的项是第k＋1项，于是 ‎，‎ 化简得 解得7≤k≤8.‎ 所以k＝8，即T9＝C312·28·x12y8是系数绝对值最大的项．‎ ‎(3)由于系数为正的项为奇数项，故可设第2k－1项系数最大，于是 化简得 又k为不超过11的正整数，可得k＝5，即第2×5－1＝9项系数最大，T9＝C·312·28·x12·y8.‎ ‎11．已知(－)n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列．‎ ‎(1)证明：展开式中没有常数项；‎ ‎(2)求展开式中所有有理项．‎ 解：依题意，前三项系数的绝对值是1，C()，C()2，‎ 且‎2C·＝1＋C()2，‎ 即n2－9n＋8＝0，∴n＝8(n＝1舍去)，‎ ‎∴展开式的第k＋1项为C()8－k(－)k ‎＝(－)kC·x·x－＝(－1)k··x.‎ ‎(1)证明：若第k＋1项为常数项，‎ 当且仅当＝0，即3k＝16，‎ ‎∵k∈Z，∴这不可能，∴展开式中没有常数项．‎ ‎(2)若第k＋1项为有理项，当且仅当为整数，‎ ‎∵0≤k≤8，k∈Z，∴k＝0,4,8，‎ 即展开式中的有理项共有三项，它们是：‎ T1＝x4，T5＝x，T9＝x－2.‎ ‎12．设(2x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，求：‎ ‎(1)a0＋a1＋a2＋a3＋a4；‎ ‎(2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|；‎ ‎(3)a1＋a3＋a5；‎ ‎(4)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3＋a5)2.‎ 解：设f(x)＝(2x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，‎ 则f(1)＝a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，‎ f(－1)＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝(－3)5＝－243.‎ ‎(1)∵a5＝25＝32，‎ ‎∴a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝f(1)－32＝－31.‎ ‎(2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|‎ ‎＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5‎ ‎＝－f(－1)＝243.‎ ‎(3)∵f(1)－f(－1)＝2(a1＋a3＋a5)，‎ ‎∴a1＋a3＋a5＝＝122.‎ ‎(4)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3＋a5)2‎ ‎＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5)(a0－a1＋a2－a3＋a4－a5)‎ ‎＝f(1)×f(－1)＝－243.‎