高科数学专题复习课件：8_4　直线、平面平行的判定与性质 74页

§8.4 　直线、平面平行的判定与性质 基础知识 　 自主学习 课时作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 基础知识　自主学习 1. 线面平行的判定定理和性质定理 知识梳理   文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 平面外一条直线与 的一条直线平行，则该直线与此平面平行 ( 简记为 “ 线线平行 ⇒ 线面平行 ” ) ∵ ， ， ， ∴ l ∥ a a ⊂ α l ⊄ α l ∥ α 此平面内 性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面 的 与 该直线平行 ( 简记为 “ 线面平行 ⇒ 线线平行 ” ) ∵ ， ， ， ∴ l ∥ b 交线 l ∥ α l ⊂ β α ∩ β ＝ b 2. 面面平行的判定定理和性质定理   文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内的两条 与另一个平面平行，则这两个平面平行 ( 简记为 “ 线面平行 ⇒ 面面平行 ” ) ∵ ， ， ， ， ， ∴ α ∥ β 相交直线 a ∥ β b ∥ β a ∩ b ＝ P a ⊂ α b ⊂ α 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个 平面 ， 那么它们 的 平行 ∵ ， ， ， ∴ a ∥ b 相交 α ∥ β α ∩ γ ＝ a β ∩ γ ＝ b 交线 重要结论： (1) 垂直于同一条直线的两个平面平行，即若 a ⊥ α ， a ⊥ β ，则 α ∥ β ； (2) 垂直于同一个平面的两条直线平行，即若 a ⊥ α ， b ⊥ α ，则 a ∥ b ； (3) 平行于同一个平面的两个平面平行，即若 α ∥ β ， β ∥ γ ，则 α ∥ γ . 知识 拓展 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1) 若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面 .( 　　 ) (2) 若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线 .( 　　 ) (3) 如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行 .( 　　 ) 思考辨析 × × × ( 4) 如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面 .( 　　 ) (5) 若直线 a 与平面 α 内无数条直线平行，则 a ∥ α .( 　　 ) (6) 若 α ∥ β ，直线 a ∥ α ，则 a ∥ β .( 　　 ) √ × × 1.( 教材改编 ) 下列命题中正确的 是 A . 若 a ， b 是两条直线，且 a ∥ b ，那么 a 平行于经过 b 的任何平面 B. 若直线 a 和平面 α 满足 a ∥ α ，那么 a 与 α 内的任何直线平行 C. 平行于同一条直线的两个平面平行 D. 若直线 a ， b 和平面 α 满足 a ∥ b ， a ∥ α ， b ⊄ α ，则 b ∥ α 考点自测 答案 解析 A 中， a 可以在过 b 的平面内 ； B 中， a 与 α 内的直线可能异面 ； C 中，两平面可相交 ； D 中，由直线与平面平行的判定定理知， b ∥ α ，正确 . 2. 设 l ， m 为直线， α ， β 为平面，且 l ⊂ α ， m ⊂ β ，则 “ l ∩ m ＝ ∅ ” 是 “ α ∥ β ” 的 A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C. 充要条件 D . 既不充分也不必要条件 答案 解析 当平面与平面平行时，两个平面内的直线没有交点 ， 故 “ l ∩ m ＝ ∅ ” 是 “ α ∥ β ” 的必要条件 ； 当 两个平面内的直线没有交点时，两个 平面可以 相交 ， ∴ l ∩ m ＝ ∅ 是 α ∥ β 的必要不充分条件 . 3.(2016· 济南模拟 ) 平面 α ∥ 平面 β 的一个充分条件 是 A. 存在一条直线 a ， a ∥ α ， a ∥ β B. 存在一条直线 a ， a ⊂ α ， a ∥ β C. 存在两条平行直线 a ， b ， a ⊂ α ， b ⊂ β ， a ∥ β ， b ∥ α D. 存在两条异面直线 a ， b ， a ⊂ α ， b ⊂ β ， a ∥ β ， b ∥ α 答案 解析 若 α ∩ β ＝ l ， a ∥ l ， a ⊄ α ， a ⊄ β ，则 a ∥ α ， a ∥ β ，故排除 A . 若 α ∩ β ＝ l ， a ⊂ α ， a ∥ l ，则 a ∥ β ，故排除 B . 若 α ∩ β ＝ l ， a ⊂ α ， a ∥ l ， b ⊂ β ， b ∥ l ，则 a ∥ β ， b ∥ α ，故排除 C. 故选 D. 4.( 教材改编 ) 如图，正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中， E 为 DD 1 的中点，则 BD 1 与平面 AEC 的位置关系为 ________. 答案 解析 平行 连接 BD ，设 BD ∩ AC ＝ O ，连接 EO ， 在 △ BDD 1 中， O 为 BD 的中点 ， 所以 EO 为 △ BDD 1 的中位线， 则 BD 1 ∥ EO ，而 BD 1 ⊄ 平面 ACE ， EO ⊂ 平面 ACE ， 所以 BD 1 ∥ 平面 ACE . 5. 如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形 EFGH 为截面，则四边形 EFGH 的形状为 ___ _ ______. 答案 解析 平行四边形 ∵ 平面 ABFE ∥ 平面 DCGH ， 又平面 EFGH ∩ 平面 ABFE ＝ EF ，平面 EFGH ∩ 平面 DCGH ＝ HG ， ∴ EF ∥ HG . 同理 EH ∥ FG ， ∴ 四边形 EFGH 的形状是平行四边形 . 题型分类　深度剖析 例 1 　 如图，四棱锥 P － ABCD 中， AD ∥ BC ， AB ＝ BC ＝ AD ， E ， F ， H 分别为线段 AD ， PC ， CD 的中点， AC 与 BE 交于 O 点， G 是线段 OF 上一点 . (1) 求证： AP ∥ 平面 BEF ； 题型一　直线与平面平行的判定与性质 命题点 1 　直线与平面平行的判定 证明 连接 EC ， ∵ AD ∥ BC ， BC ＝ AD ， ∴ BC 綊 AE ， ∴ 四边形 ABCE 是平行四边形， ∴ O 为 AC 的中点 . 又 ∵ F 是 PC 的中点， ∴ FO ∥ AP ， FO ⊂ 平面 BEF ， AP ⊄ 平面 BEF ， ∴ AP ∥ 平面 BEF . (2) 求证： GH ∥ 平面 PAD . 证明 连接 FH ， OH ， ∵ F ， H 分别是 PC ， CD 的中点， ∴ FH ∥ PD ， ∴ FH ∥ 平面 PAD . 又 ∵ O 是 BE 的中点， H 是 CD 的中点， ∴ OH ∥ AD ， ∴ OH ∥ 平面 PAD . 又 FH ∩ OH ＝ H ， ∴ 平面 OHF ∥ 平面 PAD . 又 ∵ GH ⊂ 平面 OHF ， ∴ GH ∥ 平面 PAD . 例 2 　 ( 2017· 长沙 调研 ) 如图，四棱锥 P － ABCD 的底面是边长为 8 的正方形，四条侧棱长均为 2 . 点 G ， E ， F ， H 分别是棱 PB ， AB ， CD ， PC 上共面的四点，平面 GEFH ⊥ 平面 ABCD ， BC ∥ 平面 GEFH . (1) 证明： GH ∥ EF ； 命题点 2 　直线与平面平行的性质 证明 因为 BC ∥ 平面 GEFH ， BC ⊂ 平面 PBC ， 且平面 PBC ∩ 平面 GEFH ＝ GH ， 所以 GH ∥ BC . 同理可证 EF ∥ BC ，因此 GH ∥ EF . (2) 若 EB ＝ 2 ，求四边形 GEFH 的面积 . 解答 如图，连接 AC ， BD 交于点 O ， BD 交 EF 于点 K ，连接 OP ， GK . 因为 PA ＝ PC ， O 是 AC 的中点，所以 PO ⊥ AC ， 同理可得 PO ⊥ BD . 又 BD ∩ AC ＝ O ，且 AC ， BD 都在底面内， 所以 PO ⊥ 底面 ABCD . 又因为平面 GEFH ⊥ 平面 ABCD ， 且 PO ⊄ 平面 GEFH ，所以 PO ∥ 平面 GEFH . 因为平面 PBD ∩ 平面 GEFH ＝ GK ， 所以 PO ∥ GK ，且 GK ⊥ 底面 ABCD ， 从而 GK ⊥ EF . 所以 GK 是梯形 GEFH 的高 . 由 AB ＝ 8 ， EB ＝ 2 得 EB ∶ AB ＝ KB ∶ DB ＝ 1 ∶ 4 ， 从而 KB ＝ DB ＝ OB ，即 K 为 OB 的中点 . 再由 PO ∥ GK 得 GK ＝ PO ， 即 G 是 PB 的中点，且 GH ＝ BC ＝ 4. 所以 GK ＝ 3. 思维 升华 判断或证明线面平行的常用方法 (1) 利用线面平行的定义 ( 无公共点 ) ； (2) 利用线面平行的判定定理 ( a ⊄ α ， b ⊂ α ， a ∥ b ⇒ a ∥ α ) ； (3) 利用面面平行的性质定理 ( α ∥ β ， a ⊂ α ⇒ a ∥ β ) ； (4) 利用面面平行的性质 ( α ∥ β ， a ⊄ α ， a ⊄ β ， a ∥ α ⇒ a ∥ β ). 跟踪训练 1 　 如图所示， CD ， AB 均与平面 EFGH 平行， E ， F ， G ， H 分别在 BD ， BC ， AC ， AD 上，且 CD ⊥ AB . 求证：四边形 EFGH 是矩形 . 证明 ∵ CD ∥ 平面 EFGH ， 而平面 EFGH ∩ 平面 BCD ＝ EF ， ∴ CD ∥ EF . 同理 HG ∥ CD ， ∴ EF ∥ HG . 同理 HE ∥ GF ， ∴ 四边形 EFGH 为平行四边形 . ∴ CD ∥ EF ， HE ∥ AB ， ∴∠ HEF 为异面直线 CD 和 AB 所成的 角 ( 或补角 ) . 又 ∵ CD ⊥ AB ， ∴ HE ⊥ EF . ∴ 平行四边形 EFGH 为矩形 . 题型二　平面与平面平行的判定与性质 例 3 　 如图所示，在三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 中， E ， F ， G ， H 分别是 AB ， AC ， A 1 B 1 ， A 1 C 1 的中点，求证 ： ( 1) B ， C ， H ， G 四点共面； 证明 ∵ G ， H 分别是 A 1 B 1 ， A 1 C 1 的中点， ∴ GH 是 △ A 1 B 1 C 1 的中位线， ∴ GH ∥ B 1 C 1 . 又 ∵ B 1 C 1 ∥ BC ， ∴ GH ∥ BC ， ∴ B ， C ， H ， G 四点共面 . (2) 平面 EFA 1 ∥ 平面 BCHG . 证明 ∵ E ， F 分别是 AB ， AC 的中点 ， ∴ EF ∥ BC . ∵ EF ⊄ 平面 BCHG ， BC ⊂ 平面 BCHG ， ∴ EF ∥ 平面 BCHG . ∵ A 1 G 綊 EB ， ∴ 四边形 A 1 EBG 是平行四边形， ∴ A 1 E ∥ GB . ∵ A 1 E ⊄ 平面 BCHG ， GB ⊂ 平面 BCHG ， ∴ A 1 E ∥ 平面 BCHG . ∵ A 1 E ∩ EF ＝ E ， ∴ 平面 EFA 1 ∥ 平面 BCHG . 引申 探究 1. 在本例条件下，若 D 为 BC 1 的中点，求证： HD ∥ 平面 A 1 B 1 BA . 证明 如图所示，连接 HD ， A 1 B ， ∵ D 为 BC 1 的中点， H 为 A 1 C 1 的中点， ∴ HD ∥ A 1 B ， 又 HD ⊄ 平面 A 1 B 1 BA ， A 1 B ⊂ 平面 A 1 B 1 BA ， ∴ HD ∥ 平面 A 1 B 1 BA . 2. 在本例条件下，若 D 1 ， D 分别为 B 1 C 1 ， BC 的中点，求证：平面 A 1 BD 1 ∥ 平面 AC 1 D . 证明 如图所示，连接 A 1 C 交 AC 1 于点 M ， ∵ 四边形 A 1 ACC 1 是平行四边形， ∴ M 是 A 1 C 的中点，连接 MD ， ∵ D 为 BC 的中点， ∴ A 1 B ∥ DM . ∵ A 1 B ⊂ 平面 A 1 BD 1 ， DM ⊄ 平面 A 1 BD 1 ， ∴ DM ∥ 平面 A 1 BD 1 . 又由三棱柱的性质知， D 1 C 1 綊 BD ， ∴ 四边形 BDC 1 D 1 为平行四边形 ， ∴ DC 1 ∥ BD 1 . 又 DC 1 ⊄ 平面 A 1 BD 1 ， BD 1 ⊂ 平面 A 1 BD 1 ， ∴ DC 1 ∥ 平面 A 1 BD 1 ， 又 ∵ DC 1 ∩ DM ＝ D ， DC 1 ， DM ⊂ 平面 AC 1 D ， ∴ 平面 A 1 BD 1 ∥ 平面 AC 1 D . 思维 升华 证明面面平行的方法 (1) 面面平行的定义； (2) 面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行； (3) 利用垂直于同一条直线的两个平面平行； (4) 两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行； (5) 利用 “ 线线平行 ” 、 “ 线面平行 ” 、 “ 面面平行 ” 的相互转化 . 跟踪训练 2 　 (2016· 许昌三校第三次考试 ) 如图所示，四边形 ABCD 与四边形 ADEF 都为平行四边形， M ， N ， G 分别是 AB ， AD ， EF 的中点 . 求证： (1) BE ∥ 平面 DMF ； 证明 如图所示，设 DF 与 GN 交于点 O ，连接 AE ，则 AE 必过点 O ， 连接 MO ，则 MO 为 △ ABE 的中位线， 所以 BE ∥ MO . 因为 BE ⊄ 平面 DMF ， MO ⊂ 平面 DMF ， 所以 BE ∥ 平面 DMF . (2) 平面 BDE ∥ 平面 MNG . 证明 因为 N ， G 分别为平行四边形 ADEF 的边 AD ， EF 的中点， 所以 DE ∥ GN . 因为 DE ⊄ 平面 MNG ， GN ⊂ 平面 MNG ， 所以 DE ∥ 平面 MNG . 因为 M 为 AB 的中点， 所以 MN 为 △ ABD 的中位线， 所以 BD ∥ MN . 因为 BD ⊄ 平面 MNG ， MN ⊂ 平面 MNG ， 所以 BD ∥ 平面 MNG . 因为 DE 与 BD 为平面 BDE 内的两条相交直线， 所以平面 BDE ∥ 平面 MNG . 题型三　平行关系的综合应用 例 4 　 如图所示，在三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 中， D 是棱 CC 1 的中点，问在棱 AB 上是否存在一点 E ，使 DE ∥ 平面 AB 1 C 1 ？若存在，请确定点 E 的位置；若不存在，请说明理由 . 解答 方法一 　存在点 E ，且 E 为 AB 的中点时， DE ∥ 平面 AB 1 C 1 . 下面给出证明： 如图，取 BB 1 的中点 F ，连接 DF ， 则 DF ∥ B 1 C 1 ， ∵ AB 的中点为 E ，连接 EF ， ED ， 则 EF ∥ AB 1 ， B 1 C 1 ∩ AB 1 ＝ B 1 ， ∴ 平面 DEF ∥ 平面 AB 1 C 1 . 而 DE ⊂ 平面 DEF ， ∴ DE ∥ 平面 AB 1 C 1 . 方法二 　假设在棱 AB 上存在点 E ， 使得 DE ∥ 平面 AB 1 C 1 ， 如图，取 BB 1 的中点 F ，连接 DF ， EF ， ED ，则 DF ∥ B 1 C 1 ， 又 DF ⊄ 平面 AB 1 C 1 ， B 1 C 1 ⊂ 平面 AB 1 C 1 ， ∴ DF ∥ 平面 AB 1 C 1 ， 又 DE ∥ 平面 AB 1 C 1 ， DE ∩ DF ＝ D ， ∴ 平面 DEF ∥ 平面 AB 1 C 1 ， ∵ EF ⊂ 平面 DEF ， ∴ EF ∥ 平面 AB 1 C 1 ， 又 ∵ EF ⊂ 平面 ABB 1 ，平面 ABB 1 ∩ 平面 AB 1 C 1 ＝ AB 1 ， ∴ EF ∥ AB 1 ， ∵ 点 F 是 BB 1 的中点， ∴ 点 E 是 AB 的中点 . 即当点 E 是 AB 的中点时， DE ∥ 平面 AB 1 C 1 . 思维 升华 利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决 . 跟踪训练 3 　 如图所示，在四面体 ABCD 中，截面 EFGH 平行于对棱 AB 和 CD ，试问截面在什么位置时其截面面积最大？ 解答 几何画板展示 ∵ AB ∥ 平面 EFGH ， 平面 EFGH 与平面 ABC 和平面 ABD 分别交于 FG ， EH . ∴ AB ∥ FG ， AB ∥ EH ， ∴ FG ∥ EH ，同理可证 EF ∥ GH ， ∴ 截面 EFGH 是平行四边形 . 设 AB ＝ a ， CD ＝ b ， ∠ FGH ＝ α ( α 即为异面直线 AB 和 CD 所成的角或其补角 ). ∵ x >0 ， a － x >0 且 x ＋ ( a － x ) ＝ a 为定值， 即当截面 EFGH 的顶点 E 、 F 、 G 、 H 分别为棱 AD 、 AC 、 BC 、 BD 的中点时截面面积最大 . 典例　 (12 分 ) 如图，在四棱锥 S － ABCD 中，已知底面 ABCD 为直角梯形，其中 AD ∥ BC ， ∠ BAD ＝ 90° ， SA ⊥ 底面 ABCD ， SA ＝ AB ＝ BC ＝ 2 ， tan ∠ SDA ＝ . (1) 求四棱锥 S － ABCD 的体积 ； (2) 在棱 SD 上找一点 E ，使 CE ∥ 平面 SAB ，并证明 . 立体几何 中的探索性问题 答题模板系列 5 规范解答 答题模板 解 ∵ SA ⊥ 底面 ABCD ， tan ∠ SDA ＝ ， SA ＝ 2 ， ∴ AD ＝ 3 . [ 2 分 ] 由题意知四棱锥 S － ABCD 的底面为直角梯形，且 SA ＝ AB ＝ BC ＝ 2 ， (2) 当点 E 位于棱 SD 上靠近 D 的三等分点处时，可使 CE ∥ 平面 SAB . [ 8 分 ] 证明如下： 取 SD 上靠近 D 的三等分点为 E ，取 SA 上靠近 A 的三等分点为 F ，连接 CE ， EF ， BF ， 又 ∵ BF ⊂ 平面 SAB ， CE ⊄ 平面 SAB ， ∴ CE ∥ 平面 SAB . [ 12 分 ] 返回 解决 立体几何中的探索性问题的步骤 第一步：写出探求的最后 结论 ; 第二步：证明探求结论的 正确性 ; 第三 步：给出明确 答案 ; 第四 步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范 . 返回 课时作业 1.( 2017· 保定 月考 ) 有下列命题： ① 若直线 l 平行于平面 α 内的无数条直线，则直线 l ∥ α ； ② 若直线 a 在平面 α 外，则 a ∥ α ； ③ 若直线 a ∥ b ， b ∥ α ，则 a ∥ α ； ④ 若直线 a ∥ b ， b ∥ α ，则 a 平行于平面 α 内的无数条直线 . 其中真命题的个数 是 A.1 B.2 C.3 D.4 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 命题 ① ： l 可以在平面 α 内，不正确 ； 命题 ② ：直线 a 与平面 α 可以是相交关系，不正确 ； 命题 ③ ： a 可以在平面 α 内，不正确 ； 命题 ④ 正确 . 故选 A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.(2016· 滨州模拟 ) 已知 m ， n ， l 1 ， l 2 表示直线， α ， β 表示平面 . 若 m ⊂ α ， n ⊂ α ， l 1 ⊂ β ， l 2 ⊂ β ， l 1 ∩ l 2 ＝ M ，则 α ∥ β 的一个充分条件 是 A. m ∥ β 且 l 1 ∥ α B. m ∥ β 且 n ∥ β C. m ∥ β 且 n ∥ l 2 D. m ∥ l 1 且 n ∥ l 2 √ 答案 解析 由定理 “ 如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这两个平面平行 ” 可得，由选项 D 可推知 α ∥ β . 故选 D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3. 对于空间中的两条直线 m ， n 和一个平面 α ，下列命题中的真命题 是 A. 若 m ∥ α ， n ∥ α ，则 m ∥ n B. 若 m ∥ α ， n ⊂ α ，则 m ∥ n C. 若 m ∥ α ， n ⊥ α ，则 m ∥ n D. 若 m ⊥ α ， n ⊥ α ，则 m ∥ n √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 对 A ，直线 m ， n 可能平行、异面或相交，故 A 错误 ； 对 B ，直线 m 与 n 可能平行，也可能异面，故 B 错误 ； 对 C ， m 与 n 垂直而非平行，故 C 错误 ； 对 D ，垂直于同一平面的两直线平行，故 D 正确 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4. 如图， L ， M ， N 分别为正方体对应棱的中点，则平面 LMN 与平面 PQR 的位置关系 是 A. 垂直 B . 相交不垂直 C. 平行 D. 重合 √ 答案 解析 如图，分别取另三条棱的中点 A ， B ， C ，将平面 LMN 延展为平面正六边形 AMBNCL ，因为 PQ ∥ AL ， PR ∥ AM ，且 PQ 与 PR 相交， AL 与 AM 相交，所以平面 PQR ∥ 平面 AMBNCL ，即平面 LMN ∥ 平面 PQR . 5.(2016· 全国甲卷 ) α ， β 是两个平面， m ， n 是两条直线，有下列四 个 命题 ： ① 如果 m ⊥ n ， m ⊥ α ， n ∥ β ，那么 α ⊥ β ； ② 如果 m ⊥ α ， n ∥ α ，那么 m ⊥ n ； ③ 如果 α ∥ β ， m ⊂ α ，那么 m ∥ β ； ④ 如果 m ∥ n ， α ∥ β ，那么 m 与 α 所成的角和 n 与 β 所成的角相等 . 其中正确的命题有 ________.( 填写所有正确命题的编号 ) 答案 解析 ②③④ 当 m ⊥ n ， m ⊥ α ， n ∥ β 时，两个平面的位置关系不确定，故 ① 错误 ， 经 判断知 ②③④ 均正确，故正确答案为 ②③④ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6. 设 α ， β ， γ 是三个不同的平面， m ， n 是两条不同的直线，在命题 “ α ∩ β ＝ m ， n ⊂ γ ，且 ________ ，则 m ∥ n ” 中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题 . ① α ∥ γ ， n ⊂ β ； ② m ∥ γ ， n ∥ β ； ③ n ∥ β ， m ⊂ γ . 可以填入的条件有 ________. 答案 解析 ① 或 ③ 由面面平行的性质定理可知， ① 正确 ； 当 n ∥ β ， m ⊂ γ 时， n 和 m 在同一平面内，且没有公共点，所以平行， ③ 正确 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7. 在正四棱柱 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中， O 是底面 ABCD 的中心， P 是 DD 1 的中点，设 Q 是 CC 1 上的点，则点 Q 满足条件 _______________ 时 ，有平面 D 1 BQ ∥ 平面 PAO . 答案 解析 Q 为 CC 1 的中点 假设 Q 为 CC 1 的中点 . 因为 P 为 DD 1 的中点， 所以 QB ∥ PA . 连接 DB ，因为 O 是底面 ABCD 的中心， 所以 D 1 B ∥ PO ， 又 D 1 B ⊄ 平面 PAO ， QB ⊄ 平面 PAO ，且 PA ∩ PO 于 P ， 所以 D 1 B ∥ 平面 PAO ， QB ∥ 平面 PAO ， 又 D 1 B ∩ QB 于 B ，所以平面 D 1 BQ ∥ 平面 PAO . 故点 Q 满足条件， Q 为 CC 1 的中点时，有平面 D 1 BQ ∥ 平面 PAO . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8. 将一个真命题中的 “ 平面 ” 换成 “ 直线 ” 、 “ 直线 ” 换成 “ 平面 ” 后仍是真命题，则该命题称为 “ 可换命题 ”. 给出下列四个命题： ① 垂直于同一平面的两直线平行； ② 垂直于同一平面的两平面平行； ③ 平行于同一直线的两直线平行； ④ 平行于同一平面的两直线平行 . 其中是 “ 可换命题 ” 的是 ________.( 填命题的序号 ) 答案 解析 ①③ 由线面垂直的性质定理可知 ① 是真命题，且垂直于同一直线的两平面平行也是真命题，故 ① 是 “ 可换命题 ” ； 因为 垂直于同一平面的两平面可能平行或相交，所以 ② 是假命题，不是 “ 可换命题 ” ； 由 公理 4 可知 ③ 是真命题，且平行于同一平面的两平面平行也是真命题，故 ③ 是 “ 可换命题 ” ； 因为 平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，故 ④ 是假命题，故 ④ 不是 “ 可换命题 ”. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9 . 如图， 空间 四边形 ABCD 的两条对棱 AC 、 BD 的长分别为 5 和 4 ，则平行于两条对棱的截面四边形 EFGH 在平移 过程中 ，周长的取值范围是 ________. 答案 解析 (8,10) ∴ GH ＝ 5 k ， EH ＝ 4(1 － k ) ， ∴ 周长＝ 8 ＋ 2 k . 又 ∵ 0< k <1 ， ∴ 周长的取值范围为 (8,10). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 *10. 在三棱锥 S － ABC 中， △ ABC 是边长为 6 的正三角形， SA ＝ SB ＝ SC ＝ 15 ，平面 DEFH 分别与 AB ， BC ， SC ， SA 交于点 D ， E ， F ， H . D ， E 分别是 AB ， BC 的中点，如果直线 SB ∥ 平面 DEFH ，那么四边形 DEFH 的 面积 为 ________. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 如图，取 AC 的中点 G ， 连接 SG ， BG . 易知 SG ⊥ AC ， BG ⊥ AC ， SG ∩ BG ＝ G ， 故 AC ⊥ 平面 SGB ， 所以 AC ⊥ SB . 因为 SB ∥ 平面 DEFH ， SB ⊂ 平面 SAB ，平面 SAB ∩ 平面 DEFH ＝ HD ， 则 SB ∥ HD . 同理 SB ∥ FE . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 又 D ， E 分别为 AB ， BC 的中点， 则 H ， F 也为 AS ， SC 的中点， 所以四边形 DEFH 为平行四边形 . 又 AC ⊥ SB ， SB ∥ HD ， DE ∥ AC ， 所以 DE ⊥ HD ， 所以四边形 DEFH 为矩形， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11. 如图， E 、 F 、 G 、 H 分别是正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 的棱 BC 、 CC 1 、 C 1 D 1 、 AA 1 的中点 . 求证： (1) EG ∥ 平面 BB 1 D 1 D ； 证明 取 B 1 D 1 的中点 O ，连接 GO ， OB ， 易证四边形 BEGO 为平行四边形，故 OB ∥ EG ， 由线面平行的判定定理即可证 EG ∥ 平面 BB 1 D 1 D . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 平面 BDF ∥ 平面 B 1 D 1 H . 证明 由题意可知 BD ∥ B 1 D 1 . 如图，连接 HB 、 D 1 F ， 易证四边形 HBFD 1 是平行四边形，故 HD 1 ∥ BF . 又 B 1 D 1 ∩ HD 1 ＝ D 1 ， BD ∩ BF ＝ B ， 所以平面 BDF ∥ 平面 B 1 D 1 H . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12. 如图，四棱锥 P － ABCD 中， PD ⊥ 平面 ABCD ，底面 ABCD 为正方形， BC ＝ PD ＝ 2 ， E 为 PC 的中点， CB ＝ 3 CG . (1) 求证： PC ⊥ BC ； 证明 因为 PD ⊥ 平面 ABCD ， BC ⊂ 平面 ABCD ， 所以 PD ⊥ BC . 因为四边形 ABCD 是正方形，所以 BC ⊥ CD . 又 PD ∩ CD ＝ D ，所以 BC ⊥ 平面 PCD . 因为 PC ⊂ 平面 PDC ，所以 PC ⊥ BC . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) AD 边上是否存在一点 M ，使得 PA ∥ 平面 MEG ？若存在，求 AM 的长；若不存在，请说明理由 . 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 连接 AC ， BD 交于点 O ，连接 EO ， GO ， 延长 GO 交 AD 于点 M ，连接 EM ，则 PA ∥ 平面 MEG . 证明如下：因为 E 为 PC 的中点， O 是 AC 的中点， 所以 EO ∥ PA . 因为 EO ⊂ 平面 MEG ， PA ⊄ 平面 MEG ， 所以 PA ∥ 平面 MEG . 因为 △ OCG ≌△ OAM ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 *13. 如图所示，斜三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 中，点 D ， D 1 分别为 AC ， A 1 C 1 上的点 . 解答 连接 A 1 B ，交 AB 1 于点 O ，连接 OD 1 . 由棱柱的性质知，四边形 A 1 ABB 1 为平行四边形， ∴ 点 O 为 A 1 B 的中点 . 在 △ A 1 BC 1 中，点 O ， D 1 分别为 A 1 B ， A 1 C 1 的中点， ∴ OD 1 ∥ BC 1 . 又 ∵ OD 1 ⊂ 平面 AB 1 D 1 ， BC 1 ⊄ 平面 AB 1 D 1 ， ∴ BC 1 ∥ 平面 AB 1 D 1 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 由平面 BC 1 D ∥ 平面 AB 1 D 1 ， 且平面 A 1 BC 1 ∩ 平面 BC 1 D ＝ BC 1 ， 平面 A 1 BC 1 ∩ 平面 AB 1 D 1 ＝ D 1 O ， 得 BC 1 ∥ D 1 O ，同理 AD 1 ∥ DC 1 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13