高考数学模拟试卷3 (14) 17页

- 1 - 高考数学训练题（第 50 套） 1. 已知集合 ， ，则 为（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数 （ 是虚数单位），则 （ ） A. B. C. D. 3. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为 1 的两个全等的等腰直角三 角形，若该几何体的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积是（ ） A. B. C. D. 4. 天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支．十天干即甲、乙、丙、丁、 戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天 干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干 由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙 寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”， 然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推．已知 1949 年为“己丑”年，那么到 中华人民共和国成立 80 年时为（ ）年 A. 丙酉 B. 戊申 C. 己申 D. 己酉 5. 下列说法正确的是（ ） A. “ ”是“ ”的充分不必要条件 B. 命题“ ， ”的否定是“ ， ” C. 命题“若 ，则 ”的逆命题为真命题 D. 命题“若 ，则 或 ”为真命题 - 2 - 6. 若 的展开式中常数项为 ，则 的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 设函数 ，则下列命题正确的是（ ） A. 的图象关于直线 对称 B. 的图象关于点 对称 C. 的最小正周期为 ，且在 上为增函数 D. 把 的图象向右平移 个单位，得到一个偶函数的图象 8. 我们可以用随机模拟的方法估计 的值，如图程序框图表示其基本步骤（函数 是产生 随机数的函数，它能随机产生 内的任何一个实数）．若输出的结果为 521，则由此可估计 的近似值为（ ） A. B. C. D. 9. 已知定义在 上的奇函数 满足 ，当 时， ，则（ ） A. B. C. D. 10. 平行四边形 中， ， ， ， 是平行四边形 内一点，且 ，如 ，则 的最大值为（ ） - 3 - A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11. 已知 、 是双曲线 的左右焦点，过点 与双曲线的一条渐近线平行 的直线交双曲线另一条渐近线于点 ，若点 在以线段 为直径的圆外，则双曲线离心率的 取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数 ，设关于 的方程 有 个不同的实数解，则 的所有可能的值为（ ） A. 3 B. 1 或 3 C. 4 或 6 D. 3 或 4 或 6 13. 已知 ， ， 分别是 内角 ， ， 的对边， ， ， ，则 __________． 14. 过抛物线 的焦点 的直线交该抛物线于 ， 两点，若 ，则 __________． 15. 已知约束条件 表示的可行域为 ，其中 ，点 ，点 ， 若 与 的最小值相等，则实数 等于__________． 16. 已知 ，则 __________． 17. 设 是数列 的前 项和，已知 ， ． （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和 ． 18. 某校高三年级有 1000 人，某次数学考试不同成绩段的人数 ． （1）求该校此次数学考试平均成绩； （2）计算得分超过 141 的人数； （3）甲同学每次数学考试进入年级前 100 名的概率是 ，若本学期有 4 次考试， 表示进入前 100 名的次数，写出 的分布列，并求期望与方差． 19. 已知在直角梯形 中， ， ， ，将 沿 起至 ， 使二面角 为直角． - 4 - （1）求证：平面 平面 ； （2）若点 满足 ， ，当二面角 为 时，求 的值. 20. 已知椭圆 ： 的离心率为 ，短轴长为 2． （1）求椭圆 的标准方程； （2）若圆 ： 的切线 与曲线 相交于 、 两点，线段 的中点为 ，求 的最大 值． 21. ， ， ． （1）证明：存在唯一实数 ，使得直线 和曲线 相切； （2）若不等式 有且只有两个整数解，求 的范围． 22. 在直角坐标系 中，直线 （ 为参数），以原点 为极点， 轴正半轴为极轴 建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ． （1）写出曲线 的直角坐标方程； （2）已知点 ，直线 与曲线 相交于点 、 ，求 的值； 23. 已知函数 ， ． （1）解不等式 ； （2）若对任意 ，都存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围. - 5 - 1. 【答案】B 【解析】由题意可得： ， .............................. ∴ 故选：B 2. 【答案】A 【解析】∵ = ， ∴ ， 故选：A． 3. 【答案】C 【解析】该几何体的直观图如图 1 所示，它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥． 其中底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，高为 CC1=1， 该几何体的所有顶点都是棱长为 1 的正方体的顶点， 故几何体的外接球，即为棱长为 1 的正方体的外接球， 故球的直径 R 满足：2R= = ， ∴R= ， ∴球的表面积是 4π×（ ）2=3π 故选：C． 点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法 (1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为 平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解． (2)若球面上四点 P，A，B，C 构成的三条线段 PA，PB，PC 两两互相垂直，且 PA＝a，PB＝b， PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用 4R2＝a2＋b2＋c2 求解． 4. 【答案】D 【解析】天干是以 10 为构成的等差数列，地支是以 12 为公差的等差数列， 答案（第50套） - 6 - 从 1949 年到 2029 年经过 80 年，且 1949 年为“己丑”年，以 1949 年的天干和地支分别为首 项， 则 80÷10=8，则 2029 的天干为己， 80÷12=6 余 8，则 2029 的地支为酉， 故选：D 5. 【答案】D 【解析】对于 A，x=-1 时 ，不能得出 ， ∴充分性不成立，A 错误； 对于 B，命题“∀x＞0，2x＞1”的否定是： “ ”，B 错误； 对于 C，命题“若 a≤b，则 ac2≤bc2”的逆命题是： “若 ac2≤bc2，则 a≤b”是假命题，如 c=0 时，命题不成立； 对于 D，命题“若 a+b≠5，则 a≠2 或 b≠3”的逆否命题是： “若 a=2 且 b=3，则 a+b=5”是真命题，D 正确． 故选：D． 6. 【答案】D 【解析】∵（x+a）2=x2+2ax+a2 ∵ 展开式的通项为 ∴ 展开式的常数项为﹣C5 3+2aC5 4﹣a2 ∴﹣C5 3+2aC5 4﹣a2=﹣1 解得 a=1 或 9 故选：D． 7.【答案】C 【解析】试题分析：函数 的周期为 ，当 时， ，因此 在 上递增．故 C 正确． 考点：函数 的性质． 8. 【答案】B - 7 - 【解析】 发生的概率为 ， 当输出结果为 时， ， 发生的概率为 ， 所以 ，即 故选 B. 9.【答案】B 【解析】 由题意得，因为 ，则 ， 所以函数 表示以 为周期的周期函数， 又因为 为奇函数，所以 ， 所以 ， ， ， 所以 ，故选 B. 10. 【答案】B 【解析】∵ ， ∴ = =9x2+4y2+2xy×3×2×（﹣ ） =（3x+2y）2﹣3•3x•2y≥（3x+2y）2﹣ ×（3x+2y）2 = ×（3x+2y）2； 又 =1， 即 ×（3x+2y）2≤1， 所以 3x+2y≤2，当且仅当 3x=2y， 即 x= ，y= 时， 3x+2y 取得最大值 2． 故选：B． 11. 【答案】A 【解析】双曲线 ﹣ =1 的渐近线方程为 y= x， - 8 - 不妨设过点 F2 与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为 y= （x﹣c）， 与 y=﹣ x 联立，可得交点 M（ ，﹣ ）， ∵点 M 在以线段 F1F2 为直径的圆外， ∴|OM|＞|OF2|，即有 + ＞c2， ∴ ＞3，即 b2＞3a2， ∴c2﹣a2＞3a2，即 c＞2a． 则 e= ＞2． ∴双曲线离心率的取值范围是（2，+∞）． 故选：A． 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 a，b，c 的方 程或不等式，再根据 a，b，c 的关系消掉 b 得到 a，c 的关系式，建立关于 a，b，c 的方程或 不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 12. 【答案】A 【解析】 在 和 上单增， 上单减，又当 时， 时， 故 的图象大致为： 令 ，则方程 必有两个根， 且 ，不仿设 ，当 时，恰有 ，此时 ，有 个根， ，有 个根，当 时必有 ，此时 无根， 有 个根，当 时必有 ，此时 有 个根， ，有 个根， 综上，对任意 ，方程均有 个根，故选 A. 【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法， - 9 - 直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法， 先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一 平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数 的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转 化为 的交点个数的图象的交点个数问题 . 13.【答案】 【解析】∵△ABC 中，a=4，b=5，c=6， ∴cosC= = ， ∴sinC= ，∴ 故答案为： 14. 【答案】 【解析】试题分析：设点 A 在第一象限，根据焦半径公式 ,所以 , ,所以直线 的斜率为 ，所以直线方程设为 ，与抛物线方程联立整理为 ， ,所以 , 那么 ,故填： . 考点：直线与抛物线的位置关系 15. 【答案】2 【解析】先根据约束条件画出可行域， - 10 - 设 z1= = ， 将 z1 的值转化可行域内的 Q 点与点 P（0，﹣1）连线的斜率的值， 当 Q 点在可行域内的 B（a，3﹣a）时，斜率最小，最小值为 = ， 设 z2=3x﹣y， 当 z2=3x﹣y 过点 A（1，2）时 3x0﹣y0 的值最小，最小值为 3×1﹣2=1， ∵3x0﹣y0 与 的最小值相等， ∴ =1， 解得 a=2， 故答案为：2 点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形 结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要 注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的 最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得. 16. 已知 ，则 __________． 【答案】 【解析】：cos（ +α）=3sin（α+ ）， ∴﹣sinα=﹣3sin（α+ ）， - 11 - ∴sinα=3sin（α+ ）=3sinαcos +3cosαsin = sinα+ cosα， ∴tanα= ； 又 tan =tan（ ﹣ ）= = =2﹣ ， ∴tan（ +α）= = =2 ﹣4． 故答案为：2 ﹣4． 17. 【答案】（1） ；（2） 【解析】试题分析：（1）由 的关系明确数列 的通项公式；（2） ，利用 并项法求出数列 的前 项和 ． 试题解析： （1）∵ ， ， ∴当 时， ，得 ； 当 时， ， ∴当 时， ，即 ， 又 ， ∴ 是以 为首项， 为公比的等比数列． ∴数列 的通项公式为 ． （2）由（1）知， ， ， 当 为偶数时， ； - 12 - 当 为奇数时， ， ∴ 18. 【答案】（1）23；（2）见解析 【解析】试题分析：（1）由不同成绩段的人数服从正态分布 ，可知平均成绩；（2） ，141 分以上的人数为 ；（3） 的取值范围为 0,1,2,3,4，求出相应的概率值，得到分布列及期望与方差． 试题解析： （1）由不同成绩段的人数服从正态分布 ，可知平均成绩 . （2） ， 故 141 分以上的人数为 人． （3） 的取值范围为 0,1,2,3,4， ， ， ， ， ， 故 的分布列为： 0 1 2 3 4 期望 ， 方差 ． 点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为： 第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义； 第二步是:“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几 何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等）， 求出随机变量取每个值时的概率； 第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布 - 13 - 列或事件的概率是否正确； 第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些 实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布 X～B(n，p))， 则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得. 19.【答案】（1）见解析；（2） 【解析】试题分析：（1）要证平面 平面 ，转证 平面 即可；（2）建立空间 直角坐标系计算平面的法向量，利用二面角 为 45°建立等量关系求出 的值. 试题解析： (1)梯形 中， ∵ ∴ . 又∵ , ∴ ,∴ . ∴ . 折起后，∵二面角 为直角， ∴平面 平面 . 又平面 平面 , ∴ 平面 . 又 平面 ， ∴ . 又∵ , ∴ 平面 . 又∵ 平面 ，∴平面 平面 . (2)由(1)知， 平面 ，∴以 为原点， 方向分别为 轴、 轴、 轴 正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 . - 14 - 则 , 设 ，由 , 得 ，得 . 取线段 的中点 ，连结 ， 则 , ∵ ,∴ . 又∵ , ∴ 平面 . ∴平面 的一个法向量为 . 设平面 的一个法向量为 ， 则 取 ，则 . ∴ ， 即 或 . ∵ ，∴ . 20. 【答案】（1） ；（2） 【解析】试题分析:(1)待定系数法求椭圆方程;(2)借助韦达定理表示 的最大值,利用二次 函数求最值. - 15 - 试题解析: （I） ，所以 ,又 ，解得 ． 所以椭圆 的标准方程 ． （II）设 ， ， ，易知直线 的斜率不为 ，则设 ． 因为 与圆 相切，则 ，即 ； 由 消去 ，得 ， 则 ， ， ， ，即 ， ， 设 ，则 ， ， 当 时等号成立，所以 的最大值等于 ． 21.【答案】（1）见解析；（2） 【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，设切点为（x0，y0），得到 +x0﹣2=0．设 h（x） =ex+x﹣2，根据函数的单调性求出 x0 的值，判断结论即可； （2）根据 a（x﹣ ）＜1，令 ，根据函数的单调性求出 的最小值，通过讨 论 a 的范围，求出满足条件的 a 的范围即可． 试题解析： （1）设切点为 ， 则 ， ，① 和 相切，则 ， ，② 所以 ， 即 ，令 ， ，所以 单增， - 16 - 又因为 ， ，所以，存在唯一实数 ，使得 ，且 ， 所以只存在唯一实数 ，使①②成立，即存在唯一实数 使得 和 相切． （2）令 ，则 ，所以 ， 令 ，则 ，由（Ⅰ）可知， 在 上单减，在 单增， 且 ，故当 时， ，当 时， ． 当 时，因为要求整数解，所以 在 时， ，所以 有无穷多整数解，舍 去； 当 时， ，又 ， ，所以两个整数解为 0,1，即 所以 ，即 ； 当 时， ，因为 ， 在 内大于或等于 1，所以 无整数解，舍去． 综上， ． 22.【答案】（1） ；（2）4 【解析】试题分析：（1）根据 x=ρcosθ，y=ρsinθ，求出曲线 C 的直角坐标方程即可；（2） 先把直线方程化为标准形式，然后将直线 l 的方程带入曲线 C 的方程，借助韦达定理及 t 的 几何意义求出 + 的值即可． 试题解析： （1） ，即 ，即 ． （2）因为直线 的参数方程为标准形式： （ 为参数）， 代入曲线 的方程得 ， 则 ． 23.【答案】（1） ；（2） 或 - 17 - 【解析】试题分析：（1） ，得 ，进而得解； （2）由题意知 ，分别求值域即可. 试题解析： （Ⅰ）由 ，得 （Ⅱ）由题意知 又 所以 或