辽宁省沈阳市2018-2019高三一模理科数学试卷（PDF版） 11页

2019 年沈阳市高中三年级教学质量监测（一） 数学（理科）参考答案与评分标准 说明： 一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比 照评分标准制订相应的评分细则. 二、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 三、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分. 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1. B 2. A 3. A 4. C 5. A 6. C 7. B 8. A 9. D 10. D 11. D 12. A 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 1. 1 3 2. 1010 3. 3 3 4. ①②③ 一. 选择题: 1.答案：B 解析：将元素按要求填入相应区域可得阴影区域表示的集合为{ }7 ，故选 B. 2.答案：A 解析： 1 1 1 1 1 2 2 2 iz i i + = = = + - ，故选 A. 3.答案：A 解析： 1 1 2 f æ ö = -ç ÷ è ø ，故选 A． 4.答案：C 解析：根据全称量词命题的否定是存在性量词命题可知，正确答案选择 C. 5.答案：A 解析：令等比数列{ }na 的公比为q，由已知得 4 2 27 5 3 3 4 2 4aq q a a q a = = = = = ，故选 A. 6.答案：C 解析：法 1：由定义可知为偶函数，所以排除选项 A，B， ( ) 2 32 1f e = < ，比较可得 C. 法 2：由定义可知为偶函数，所以排除选项 A， B，当 0x < 时， ( ) ( )2 1 xf x x e= - ，则 ( ) ( )2' 2 1 xf x x x e= + - ，所以 ( )f x 在 ( ),0-¥ 上有极大值，故选 C. 7. 答案：B 解析：法一： 1 2 2 2 1 1 4 p C A = = ； 法二：满足题意的字母组合有四种，分别是eka ，ake，eak ，aek ，拼写正确的组合只有一种eak ， 页 2第 所以概率为 1 4 p = . 8.答案：A 解析：由已知，双曲线的渐进线方程为 0bx ay± = ，又点 ( )3,0 到渐近线 0bx ay± = 的距离为 2 ，所 以 2 2 3 0 3 0 2 b a b a ca b ± × ± × = = + ，即 2 23 2b c= ，又 2 2 2b c a= - ，所以 3e = ，故选 A. 9.答案：D 解析：令 ( )32 2 2 2 4 2 k x k k Zp p pp p+ £ - £ + Î ，解得 ( )3 7 8 8 k x k k Zp pp p+ £ £ + Î ，所以函数 ( )y f x= 的 递 减 区 间 为 ( )3 7, 8 8 k k k Zp pp pé ù+ + Îê úë û ， 选 项 A 错 误 ； 由 于 sin 2 sin 2 4 8 x xp pé ùæ ö æ ö- = -ç ÷ ç ÷ê úè ø è øë û ，所以函数 ( )y f x= 的图象是由 sin 2y x= 的图象向右平移 8 p 得到的， 选项 B 错误；令 ( )2 4 2 x k k Zp pp- = + Î ，解得 ( )3 2 8 kx k Zp p = + Î .所以函数 ( )y f x= 的图象的对 称轴方程为 ( )3 2 8 kx k Zp p = + Î ，选项 C 错误；由于 7 , 24 2 x p pé ùÎ ê úë û ，所以 32 , 4 3 4 x p p pé ù- Îê úë û ，当 32 4 4 x p p - = 时， ( )min 2 2 f x = ，当2 4 2 x p p - = 时， ( )max 1f x = .故选 D. 10.答案：D 解析：以 A 为原点，直线 AB 为 x 轴建立平面直角坐标系，则 ( )3,0B . 设 ( ),M x y ，依题意有， ( ) 2 2 2 2 2 3 x y x y + = - + ，化简整理得， 2 2 8 12 0x y x+ - + = ，即 ( )2 24 4x y- + = ，圆的面积为4p .故选 D. 11.答案：D 2=R ．解析：因为球 O 的表面积是 p16 ，所以 24 16S Rp p= = ，解得 如图，四棱锥 P ABCD- 底面为矩形且矩形的四个顶点 , , ,A B C D 在球 O 的 同一个大圆上， 设矩形的长宽为 yx, ,则 ( ) xyRyx 22 222 ³=+ ，当且仅当 yx = 时上式取 等号， 即底面为正方形时，底面面积最大，此时 22 8正方形ABCDS R= = ．点在球面上， 当 PO ^底面 ABCD时， PO R= ，即 Rh =max ，则四棱锥 ABCDP - 体积的最大值为 3 16 . 12.答案：A D C A B P 解析： ( ) 2x xf e ax e= - ，所以 ( ) xeaxxf 21 ->+ 在 ( )0,+¥ 上恒成立， 等价于 ( ) )(1 xefxf >+ 在 (0, )+¥ 上恒成立，因为 ( )+¥Î ,0x 时，1< 1 xx e+ < ，所以只需 ( )f x 在 (1, )+¥ 上递减，即 1x > ， ' ( ) 0f x £ 恒成立，即 1x > 时， 2a x £ 恒成立， 2a x£ ，所以 2a £ . 二. 填空题： 13. 答案： 1 3 解析： 由于向量 a 与 b 垂直，所以它们的数量积为 0，即3 1 0x - = ，解得 1 3 x = . 14. 答案：1010 解析：设等差数列{ }na 公差为d ， 3 2 13 3( )S a a d= = + ， ( )3 1 1 4d d + = + ， 2d = ， 1 ( 1) 2 1ma a m d m= + - = - ， 2 1 2019m - = ， 1010m = . 15. 答案：3 3 解析：由题意知，焦点坐标为 3( ,0) 2 ，准线方程为 3 2 x = - ， 1 1( , )M x y 到焦点距离等于到准线距离，所以 1 1 3 9 , 3 2 2 x x+ = = ， 2 1 18y = ， 2 2 1 1| | 3 3OM x y= + = . 16. 答案：①②③ 解析： ①∵ 1 1/ /BD B D ， 1 1B D Ì平面 1 1CB D ，BD Ë平面 1 1CB D ∴ BD // 平 面 1 1CB D ，①正确；②∵ 1AA ^ 平面 1 1 1 1A B C D ，∴ 1 1 1AA B D^ ， 又∵ 1 1 1 1AC B D^ ，∴ 1 1B D ^平面 1 1AA C ，∴ 1 1B D ^ 1AC ， 同 理 1 1B C AC^ ， ∴ 1AC ^ 平 面 1 1CB D ， ② 正 确 ； ③ 1 1/ /AC AC ， 1 1AC BD 为等边三角形，则异面直线 AC 与 1A B 成60°角，③正确；④ 1C ACÐ 为 1AC 与平面 ABCD所成 的角， 1tan C ACÐ = 1 1 1 2 22 ＝ ＝ CC CC AC CC ，④错误.故填①②③ 三. 解答题： 17. 解析：（1）根据题意，由 2 2 2b c a bc+ = + 可知， 2 2 2 1 2 2 b c a bc + - = —————2 分 根据余弦定理可知， 1cos 2 A = ， ———————————4 分 C1D1 B1 A1 CD A B 又角 A为 ABCD 的内角，所以 3 A p = ； ———————————6 分 （2）法一： ABCD 为等边三角形. ———————————7 分 由三角形内角和公式得， ( )A B Cp= - + ， 故 ( )sin sinA B C= + ————————8 分 根据已知条件，可得 ( )sin 2sin cosB C B C+ = ， 整理得sin cos cos sin 0B C B C- = ———————————9 分 所以 ( )sin 0B C- = ， ———————————10 分 又 ( ),B C p p- Î - ， 所以B C= ， ———————————11 分 又由（1）知 3 A p = ，所以 ABCD 为等边三角形. ———————————12 分 法二： ABCD 为等边三角形. ———————————7 分 由正弦定理和余弦定理，得 2 2 2 2 2 a b ca b ab + - = ´ ， ———————————8 分 整理得 2 2b c= ，即b c= ———————————10 分 又由（1）知 3 A p = ，所以 ABCD 为等边三角形. ———————————12 分 18.解析：（1）“送达时间”的平均数： 28 29 32 34 34 35 36 38 41 43 35 10 + + + + + + + + + = （分钟），（不写单位不扣分） ——2 分 方差为: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 27 6 3 1 1 0 1 3 6 8 20.6 10 + + + + + + + + + = ——————————4 分 （2） 6A = ， 4B = ， 0.6C = ， 0.4D = . ——————————6 分 （3）由已知人数 X 的可能取值为：0，1，2，3 ( ) 0 0 3 30 0.6 0.4 0.064P X C= = ´ ´ = ； ( ) 1 1 2 31 0.6 0.4 0.288P X C= = ´ ´ = ； ( ) 2 2 1 32 0.6 0.4 0.432P X C= = ´ ´ = ； ( ) 3 3 0 33 0.6 0.4 0.216P X C= = ´ ´ = . （错一个扣 1 分）——————————8 分 X 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216 ——————————10 分 X 服从二项分布 ( )3,0.6B ( ) 3 0.6 1.8E X = ´ = . ——————————12 分 19.解析：Q面 ABCD ^面 BEFC ， ÌDC 面 ABCD，且 BCDC ^ DC ^面 BEFC . 由此可得，以点C为坐标原点，以CB ，CF 和CD分别作为 x轴，y 轴和轴，建立空间直角坐标系C xyz- ． 设 aAB = ,则 (0 0 0)C ，， ， ( )aA ,0,3 ， ( 3 0 0)B ，， ， )0,3,3(E ， )0,4,0(F ， ),0,0( aD ． —— —————————2 分 （1）证明： ( )aAE -= ,3,0 ， ( )0,0,3=CB ， ( )0,3,0=BE ， 所以 0=×CDCB ， 0=×CFCB ， 又CD CF C= 所以CB ^平面CDF ．即CB 为平面CDF 的法向量. ———————————4 分 又 0=× AECB ， CB AE ^ ，又 AE Ë平面CDF 所以 / /AE 平面 DCF ． — ————————6 分 （ 2 ） 设 ( ), ,n x y z= 与 平 面 AEF 垂 直 ， 则 ( )aAE -= ,3,0 ， ( )0,1,3-=EF ， 由 0 0 n EF n AE ì × =ï í × =ïî ，得 î í ì =- =+ 03 03- azy yx 解得 3 31, 3,n a æ ö = ç ÷ç ÷ è ø . ———————————8 分 又因为BA^平面 BEFC ， ( )0,0,BA a= ， 所以 2 3 3 1cos , 2274 BA n n BA BA n a a × = = = × + ， ———————————10 分 得到 9 2 a = ． 所以当 9 2 AB = 时，二面角 A EF C- - 的大小为60 ． ————————12 分 D FE O（C） B A x z y 20. 解析：（1）将 x c= 代入 2 2 2 2 1x y a b + = 中，由 2 2 2a c b- = 可得 4 2 2 by a = ， 所以弦长为 22b a ， ———————————2 分 故有 2 2 2 2 2 1 3 2 b a c a a b c ì =ï ï ï =í ï ï = + ï î ，解得 2 1 a b =ì í =î ， 所以椭圆C 的方程为： 2 2 1 4 x y+ = ． ——————————4 分 （2）法一：设点 ( )00 , yxP ( )00 ¹y ，又 ( ) ( )0,3,0,3 21 FF - ，则直线 21, PFPF 的方程分别为 ( ) 033: 0001 =++- yyxxyl ； ( ) 033: 0002 =--- yyxxyl ． 由题意可知 ( ) ( )20 2 0 00 2 0 2 0 00 3 3 3 3 -+ - = ++ + xy ymy xy ymy ． ———————————6 分 由于点 P 为椭圆C 上除长轴外的任一点，所以 1 4 2 0 2 0 =+ yx ， 所以 2 0 2 0 2- 2 3 3- 2 2 3 3 ÷÷ ø ö çç è æ = ÷÷ ø ö çç è æ + + x m x m ， —————————8 分 因为 33- << m ， 22 0 <<- x ， 所以 0 0 3 3 3 32 2 2 2 - m m x x + - = + ，即 04 3 xm = —————————10 分 因此， 2 3 2 3 <<- m ． ————————12 分 法二：设 tPF =1 ， 在 MPF1D 中，由正弦定理得 11 sin 3 sin MPF m PMF t Ð + = Ð y xO MF1 F2 P 在 MPF2D 中，由正弦定理得 22 sin 3 sin 4 MPF m PMF t Ð - = Ð - —————————6 分 因为 1 2PMF PMF pÐ +Ð = ， 1 2MPF MPFÐ =Ð ， 所以 m m t t - + = - 3 3 4 ，解得 ( )3432 4 1 -= tm ， —————————8 分 因为 ( )cacat +-Î , ，即 ( )32,32 +-Ît ， —————————10 分 所以 2 3 2 3 <<- m ． ————————12 分 21. 解析： （1）当 2m = 时， ( ) ( )21 2lnf x x x= - + ，其导数 ( ) 2( ) 2 1f x x x ¢ = - + ， ———1 分 所以 ( )' 1 2f = ，即切线斜率为2， ——————————2 分 又切点为 ( )1,0 ，所以切线的方程为2 2 0x y- - = ． ————————4 分 （2）函数 ( )f x 的定义域为 ( )0,+¥ ， ( ) ( ) 22 2' 2 1 m x x mf x x x x - + = - + = ， ———5 分 因为 1 2,x x 为函数 ( )f x 的两个极值点，所以 1 2,x x 是方程 22 2 0x x m- + = 的两个不等实根，由根与系数 的关系知 1 2 1 21, 2 mx x x x+ = = ， ( )* ————————6 分 又已知 1 2x x< ，所以 1 2 10 1 2 x x< < < < ， ( ) ( )2 2 2 2 1 1 1 lnf x x m x x x - + = ，将 ( )* 式代入得 ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 ln 1 2 ln 1 f x x x x x x x x x x - + - = = - + - ， ——————————8 分 令 ( ) 1 2 lng t t t t= - + ， 1 ,1 2 t æ öÎç ÷ è ø ， ——————————9 分 ( )' 2ln 1g t t= + ，令 ( )' 0g t = ，解得 1t e = ， —————————10 分 当 1 1, 2 x e æ öÎç ÷ è ø 时， ( )' 0g t < ， ( )g t 在 1 1, 2 e æ ö ç ÷ è ø 递减； 当 1 ,1x e æ öÎç ÷ è ø 时， ( )' 0g t > ， ( )g t 在 1 ,1 e æ ö ç ÷ è ø 递增； 所以 ( )min 1 2 21 1 eg t g ee e æ ö= = - = -ç ÷ è ø ， ( ) ( )1max , 1 2 g t g gì üæ ö< í ýç ÷ è øî þ ， ( )1 1 ln 2 0 1 2 2 g gæ ö = - < =ç ÷ è ø ， —————————11 分 即 ( )2 1 f x x 的取值范围是 21 ,0e e é ö - ÷ê ÷ ë ø ． —————————12 分 22．解析：（1）由 2 2 cos 3 0+r r q - = 可得： 2 2 2 3 0x y x+ + - = 化为 ( )2 21 4x y+ + = ． ————————4 分 （2）由已知得曲线 1C 的普通方程：2 7 0x y- - = ， 点Q 为曲线 2C 上动点，令点 ( )1 2cos ,2sinQ q q- + ， Rq Î —————————6 分 设点Q 到曲线 1C 的距离为d ， 所以 ( ) ( )2 5 cos 94cos 2sin 9 9 2 5 cos 9 5 2 55 5 5 d q jq q q j+ -- - - + = = = ³ - ， 其中 1tan 2 j = ， —————————8 分 即两点 P ，Q 之间的最短距离为 9 5 2 5 - ． —————————10 分 23．解析：（1）因为 0a b> > ，所以 40, 0a b a b - > > - ——————————1 分 根据均值不等式有 ( )22 2 4 4 4 a ba b a b a b a b a b - ++ = = - + ³ - - - ， —————————3 分 当且仅当 2 2 a b ab - =ì í =î ，即 3 1 3 1 a b ì = +ï í = -ïî 时取等， —————————4 分 所以 的值为 . ————————5 分 （2）当 1x £ - 时，原不等式等价于 ( ) ( )3 3 2 4x x- + + - > ，解得 5 4 x < - ；————6 分 当 1 2x- < < 时，原不等式等价于 ( ) ( )3 3 2 4x x+ + - > ，解得 1 2 2 x- < < ； ———7 分 当 2x ³ 时，原不等式等价于 ( ) ( )3 3 2 4x x+ + - > ，解得 2x ³ ； ————————8 分 综上所述原不等式解集为 5 1, , 4 2 æ ö æ ö-¥ - - +¥ç ÷ ç ÷ è ø è ø ． ————————————10 分