2011高考数学专题复习：《直线、平面垂直的判定及其性质》专题训练一 11页

‎2011年《直线、平面垂直的判定及其性质》专题训练一 一、选择题 ‎1、如图‎4 -3 -9‎，已知六棱锥的底面是正六边形， 平面，，则下列结论正确的是 ‎ A．‎ B．平面 ‎ C．‎ ‎ D．直线与平面所成的角为 ‎2、已知直线和平面,，且，，那么是的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3、设、、是三个不重合的平面，是两条不重合的直线，给出下列命题：‎ ‎ ①若 ，，则；‎ ‎ ②若//,//，//,则//;‎ ‎ ③若//，//,则//;‎ ‎ ④若、在内的射影互相垂直，则 ．‎ ‎ 其中错误命题的个数为 ‎ A.O B．1 C．2 D.3‎ ‎4、已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为△的中心，则与底面所成角的正弦值等于 ‎ ‎ ‎5、设，是两条直线，，是两个平面，则的一个充分条件是 ‎6、已知，表示两个不同的平面，为平面内的一条直线，则“”是“”的 ‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎7、如图‎4 -3 -8‎，在三棱锥中，若，的中点， 则下列命题中正确的是 ‎ A．平面平面 ‎ B．平面平面 ‎ C．平面平面，且平面平面 D．平面平面，且平面平面 二、填空题 ‎8、设直线与平面相交但不垂直，给出以下说法：‎ ‎ ①在平面内有且只有一条直线与直线垂直；‎ ‎ ②过直线有且只有一个平面与平面垂直；‎ ‎ ③与直线垂直的直线不可能与平面平行；‎ ‎ ④与直线平行的平面不可能与平面垂直，‎ ‎ 其中错误的是___．‎ ‎9、设和为不重合的两个平面，给出下列命题：‎ ‎ (1)若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；‎ ‎ (2)若外一条直线与内的一条直线平行，则和平行；‎ ‎ (3)设和相交于直线，若内有一条直线垂直于，则和垂直；‎ ‎ (4)直线与“垂直的充分必要条件是与内的两条直线垂直．‎ ‎ 上面命题中，真命题的序号是．（写出所有真命题的序号）‎ ‎10、如图‎4 -3 -10‎所示，在四棱锥中，上底面，且底面各边都相等，上的一动点，当点满足___时，（只要填写一个你认为是正确的条件即可）‎ 三、解答题 ‎11、如图‎4 -3 -17‎，四棱锥中，底面是的菱形，侧面为正三角形，其所在的平面垂直于底面．‎ ‎(1)求证：：‎ ‎(2)若的中点，能否在棱上找到一点F，使平面平面?并 ‎ 证明你的结论．‎ ‎12、如图‎4-3 -11‎，已知三棱锥中， ，的中点，的中点，且△为正三角形．‎ ‎ (1)求证：；‎ ‎ (2)求证：；‎ ‎ (3)若，求三棱锥的体积 ‎13、如图‎4-3 -3‎，在直角梯形中，将△沿折起，使平面平面，得到几何体，如图‎4 -3 -4‎所示．‎ ‎(1)求证： 平面；‎ ‎(2)求几何体的体积．‎ ‎14、已知四棱锥（如图4—3-12）的三视图如图‎4-3 -13‎所示，是侧棱上的动点． ‎ ‎ (1)求四棱锥的体积；‎ ‎ (2)若是的中点，求证：； ‎ ‎ (3)不论点在何位置，是否都有?证明你的结论．‎ ‎15、如图‎4-3 -14‎，在四棱锥中，平面平面，，△是等边三角形，已知 ‎(1)设是上一点，证明：平面平面;‎ ‎(2)求四棱锥的体积．‎ ‎16、如图‎4-3 -15‎，四棱锥的底面是正方形， 底面点在棱上．‎ ‎ (1)求证：平面平面：‎ ‎ (2)当=的中点时，求所成的角的大小.‎ ‎17、如图‎4 -3 -16‎，在三棱锥中， 底面 ‎，点分别在棱上，且。‎ ‎ (I)求证： 平面:‎ ‎(Ⅱ)是否存在点E使得平面平面?并说明理由．‎ ‎18、如图‎4-3 -7‎，在直三棱柱 中，分别是，的中点，点D在上，．求证：‎ ‎(1) ；‎ ‎(2)平面上平面.‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、 解析与在平面内的射影不垂直，．不成立；又平面平面，平面平面也不成立； //，‎ ‎ //平面 直线∥平面也不成立，在中，，， 正确．‎ ‎2、 解析若，由容易推出，而，于是；若，则容易推出，故是的充要条件．‎ ‎3、 解析①错误，、平行；②错误，、可能异面；③正确，由平面平行的传递性可知；④错误，如正方体中，直线与在平面内的射影垂直，但是它们的夹角是．‎ ‎4、 解析设三棱柱的侧棱与底面边长均为，则，棱柱的高即点到底面的距离），故与底面所成角的正弦值为 ‎5、 解析 、中直线肯能平行，中直线平行，选．‎ ‎6、 解析由平面与平面垂直的判定定理知如果为平面内的一条直线，，则，反过来则不一定．所以“是“”的必要不充分条件．‎ ‎7、 解析因为，且是的中点，所以，同理有，于是平面.因为平面，所以平面平面,又由于平面，所以平面平面.所以选．‎ 二、填空题 ‎8、①③④ 解析因为直线是平面的斜线，在平面内，只要和直线的射影垂直的直线都和垂直，所以①错误；②正确；③错误，设，，∥， ，则//，；④错误，如正方体，是直线，平面是，则平面既与垂直，又与平行.‎ ‎9、(1)(2) 解析(1) 内两条相交直线分别平行于平面，则两条相交直线确定的平面平行于平面，正确．‎ ‎(2)平面外一条直线与内的一条直线平行，则平行于，正确．‎ ‎(3)如图，，，，但不一定有，错误．‎ ‎(4)直线与 “垂直的充分必要条件是与内的两条相交直线垂直，而该命题缺少“相交”两字，故为假命题．‎ 综上所述，真命题的序号为(1)(2)．‎ ‎10、 (或) 解析在底面上的射影为，且 ‎,．当（或）时，即有平面 ‎，而平面,平面平面.‎ 三、解答题 ‎11、解析 如图D‎4 -3 -3‎．‎ ‎(1)取的中点，连接,.‎ ‎△为等边三角形，，‎ 又平面平面，平面．‎ 在△中，，=，‎ ‎△为等边三角形，，‎ 平面，‎ ‎．‎ ‎(2)连接，与相交于点，‎ 在中柞，交于点，平面，‎ 平面平面，‎ 是的中点，是的中点，‎ 在上存在一点，，即为的中点，使得平面平面 ‎12、解析(1) 为的中点，为的中点，‎ ‎ ，叉平面，平面， ‎ ‎ ∥平面.‎ ‎ (2) △为正三角形，且为的中点，‎ ‎ ．‎ ‎ 又由(1)知，.‎ ‎ 又已知, 平面．‎ ‎ ．又．‎ ‎ 平面，平面平面.‎ ‎ (3) ，.‎ ‎13、解析(1)解法一在图‎4 -3 -3‎中，易得，从而．故.‎ ‎ 在图‎4 -3 -4‎中，取的中点，连接，则，又平面平面，平面平面=，平面，从而平面，‎ 平面，.‎ 又,=， ‎ 平面．‎ 解法二 在图‎4 -3 -3‎中，易得，从而，故.‎ 平面平面，平面平面 =,平面 平面.‎ ‎(2)由(1)可知为三棱锥的高，‎ 几何体的体积为 ‎14、解析(1)由三视图可知，四棱锥的底面是边长为l的正方形 侧棱底面，且．‎ 即四棱锥P -ABCD的体积为.‎ ‎(2)连接，设，连接.‎ 是正方形，是的中点，且是的中点，‎ 平面，平面，‎ ‎ ／／平面.‎ ‎ (3)不论点在何位置，都有.‎ ‎ 是正方形, .‎ ‎ 底面，且平面, .‎ ‎ 又= , 平面.‎ ‎ 不论点在何位置，都有平面，‎ 不论点在何位置，都有．‎ ‎15、解析(1)在△中，由于，所以，故．又平面平面，平面平面 =，平面，所以平面，又平面，故平面平面．‎ ‎(2)如图，过作交于，由于平面平面，平面平面 =，所以平面，因此为四棱锥的高，又△是边长为4的等边三角形，因此 在底面四边形中，．，所以四边形是梯形，‎ 在中，斜边边上的高为 此即为梯形的高，‎ 所以梯形的面积为 故 ‎16、解析(1) 四边形是正方形，，底面，‎ ‎ , 平面，‎ ‎ 平面平面.‎ ‎ (2)设 =，连接，由(1)知平面与．‎ ‎ 为与平面所成的角，‎ ‎ 分别为的中点，‎ ‎ ，，又平面，‎ ‎ 底面，，‎ 在 ‎，即与平面所成的角的大小为．‎ ‎17、解析 (I) 底面, .‎ ‎ 又,.‎ 平面 ‎ (Ⅱ)存在点使得平面平面，．又由(I)知，平面PAC，平面,‎ 又AE平面，PE平面，‎ ‎ ‎ ‎ 为二面角的平面角．‎ ‎ 底面ABC， .．‎ ‎ 在棱上存在一点，使得AEPC，这时 ‎ .‎ 本题寻找适合条件的点E，可以从出发，因为是二面角的平面角，所以，即，从而找到点E的位置．‎ ‎18、解析(1)因为分别是的中点，所以∥，又平面，平面，所以∥平面．‎ ‎ (2)因为是直三棱柱，所以，因为，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面．‎