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  • 2021-06-23 发布

江苏省南京市、盐城市2020届高三第一次模拟考试(1月) 数学(理)

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南京市、盐城市2020届高三年级第一次模拟考试 数 学 理 试 题 ‎ (总分160分,考试时间120分钟)‎ 注意事项:‎ ‎  1.本试卷考试时间为120分钟,试卷满分160分,考试形式闭卷.‎ ‎  2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置,否则不给分.‎ ‎  3.答题前,务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.‎ 参考公式:‎ 柱体体积公式:,锥体体积公式:,其中为底面积,为高.‎ 样本数据的方差,其中.‎ 一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分. 不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上)‎ ‎1.已知集合,全集,则ðUA= ▲ .‎ ‎(第5题图)‎ ‎2.设复数,其中为虚数单位,则 ▲ .‎ ‎3.学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查,则甲被选中的概率为 ▲ .‎ ‎4.命题“,”的否定是 ▲ 命题.(填“真”或“假”)‎ ‎5.运行如图所示的伪代码,则输出的的值为 ▲ .‎ ‎6.已知样本的平均数是,且,则此样本的方差是 ▲ .‎ ‎7.在平面直角坐标系中,若抛物线上的点到其焦点的距离为,则点到点的距离为 ▲ .‎ ‎8.若数列是公差不为0的等差数列,、、成等差数列,则的值为 ▲ .‎ ‎9.在三棱柱中,点是棱上一点,记三棱柱与四棱锥 ‎·13·‎ 的体积分别为与,则 ▲ .‎ ‎10.设函数()的图象与轴交点的纵坐标为, 轴右侧第一个最低点的横坐标为,则的值为 ▲ .‎ ‎11.已知是△的垂心(三角形三条高所在直线的交点),, 则的值为 ▲ .‎ ‎12.若无穷数列是等差数列,则其前10项的和为 ▲ .‎ ‎13.已知集合,集合, 若,则的最小值为 ▲ .‎ ‎14.若对任意实数,都有成立,则实数的值为 ▲ .‎ 二、解答题(本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内)‎ ‎15.(本小题满分14分)‎ ‎ 已知满足.‎ ‎(1)若,,求;‎ ‎(2)若,且,求.‎ ‎16.(本小题满分14分)‎ 如图,长方体中,已知底面是正方形,点是侧棱上的一点.‎ ‎(1)若//平面,求的值;‎ ‎(2)求证:.‎ ‎(第16题图) ‎ ‎·13·‎ ‎17.(本小题满分14分)‎ 如图,是一块半径为4米的圆形铁皮,现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶.具体做法是从中裁剪出两块全等的圆形铁皮与,做圆柱的底面,裁剪出一个矩形做圆柱的侧面(接缝忽略不计),为圆柱的一条母线,点、在上,点、在的一条直径上,、分别与直线、相切,都与内切.‎ ‎(1)求圆形铁皮半径的取值范围;‎ (2) 请确定圆形铁皮与半径的值,使得油桶的体积最大.(不取近似值)‎ ‎(第17题图) ‎ y ‎18.(本小题满分16分)‎ 设椭圆的左右焦点分别为,离心率是,动点在椭圆上运动,当轴时,,.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)延长分别交椭圆于点(不重合),设,,求的最小 (第18题图)‎ ‎19.(本小题满分16分)‎ 定义:若无穷数列满足是公比为的等比数列,则称数列为“数列”.设数列中,.‎ ‎(1)若,且数列是“数列”,求数列的通项公式;‎ ‎(2)设数列的前项和为,且,请判断数列是否为 “数列”,并说明理由;‎ ‎(3)若数列是“数列”,是否存在正整数使得?若存在,请求出所有满足条件的正整数;若不存在,请说明理由.‎ ‎·13·‎ ‎20.(本小题满分16分)‎ 若函数为奇函数,且时有极小值.‎ ‎(1)求实数的值;‎ ‎(2)求实数的取值范围;‎ ‎(3)若恒成立,求实数的取值范围.‎ 南京市、盐城市2020届高三年级第一次模拟考试 数学附加题部分 ‎(本部分满分40分,考试时间30分钟)‎ ‎21.[选做题](在A、B、C三个小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内)‎ A.(选修4-2:矩阵与变换)‎ 已知圆经矩阵变换后得到圆,求实数的值.‎ B.(选修4-4:坐标系与参数方程)‎ 在极坐标系中,直线被曲线截得的弦为,当是最长弦时,求实数的值.‎ C.(选修4-5:不等式选讲)‎ 已知正实数满足,求的最小值.‎ ‎ ‎ ‎·13·‎ ‎[必做题](第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内)‎ ‎22.(本小题满分10分)‎ 如图,、是圆柱的两条母线, 、分别经过上下底面圆的圆心、,是下底面与垂直的直径,.‎ ‎(1)若,求异面直线与所成角的余弦值;‎ ‎(2)若二面角的大小为,求母线的长.‎ ‎23.(本小题满分10分)‎ 设(),记.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)记,求证:恒成立.‎ ‎·13·‎ 南京市、盐城市2020届高三年级第一次模拟考试 数学参考答案 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,计70分.‎ ‎1. 2. 3. 4.真 5. 6. 7.‎ ‎8. 9. 10. 11. 12.10 13. 14. 二、解答题:本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.‎ ‎15.解:(1)由可知,‎ 移项可得,又,故, ………………………………………2分 又由,可知, ………………………4分 故在中,由正弦定理可得 ,所以. …………7分 ‎(2)由(1)知,所以时,,‎ 由即可得 , ……………10分 ‎∴.…14分 ‎16.(1)证明:连结交于点,连结, ‎ 又因为平面,平面 平面平面,所以 ……………3分 因为四边形是正方形,对角线交于点 ,‎ 所以点是的中点,所以,‎ 所以在中,. ……………6分 ‎(2)证明:连结.‎ 因为为直四棱柱,所以侧棱垂直于底面,‎ 又平面,所以.…………………………………………………………8分 因为底面是正方形,所以. ……………………………………………10分 ‎·13·‎ 又,面, 面,‎ 所以面. ……………………………………………………………………………12分 又因为,所以,又因为,‎ 所以A1PÌ面ACC1A1,所以. ………………………………………14分 ‎17.解:(1)设半径为,则,‎ 所以的周长, ………………………………………4分 解得 ,故半径的取值范围为. …………………………………6分 ‎(2)在(1)的条件下,油桶的体积, ……………………………8分 设函数,‎ 所以,由于 ,‎ 所以在定义域上恒成立,‎ 故在定义域上单调递增,‎ 即当时,体积取到最大值. ………………………………………13分 答:半径的取值范围为,当时,体积取到最大值. ………………14分 ‎18.解:(1)由当轴时,可知, …………………………………………2分 将,代入椭圆方程得(※),‎ 而,,代入(※)式得,‎ 解得,故,∴椭圆的方程为.…………………………………………4分 ‎(2)方法一:设,由得,故,‎ 代入椭圆的方程得(#), ………………………………………8分 又由得,代入(#)式得,‎ 化简得,即,显然,‎ ‎∴,故.……………………………………………………………12分 ‎·13·‎ 同理可得,故,‎ 当且仅当时取等号,故的最小值为. ………………………………………16分 方法二:由点,不重合可知直线与轴不重合,故可设直线的方程为,‎ 联立,消去得(☆),‎ 设,则与为方程(☆)的两个实根,‎ 由求根公式可得,故,则,……………8分 将点代入椭圆的方程得,‎ 代入直线的方程得,∴,‎ 由得,故 ‎.…………………………………………12分 同理可得,故,‎ 当且仅当时取等号,故的最小值为. ………………………………………16分 注:(1)也可设得,其余同理.‎ ‎(2)也可由运用基本不等式求解的最小值. ‎ ‎19.解:(1)∵,且数列是“数列”,‎ ‎∴,∴,∴,………………………2分 故数列是等差数列,公差为,‎ 故通项公式为,即. ………………………………………4分 ‎(2)由得,,故.‎ ‎·13·‎ 方法一:由得,‎ 两式作差得,即,‎ 又,∴,∴对恒成立,……………………6分 则,而,∴,∴,‎ ‎∴是等比数列, ………………………………………………………………………………8分 ‎∴,∴,∴,‎ ‎∴是公比为的等比数列,故数列是“数列”.………………………………10分 方法二:同方法一得对恒成立,‎ 则,两式作差得,而,‎ ‎∴,∴,以下同方法一. ……………………………10分 ‎(3)由数列是“数列”得,‎ 又,∴,∴,∴,∴,‎ ‎∴当时,‎ ‎,‎ 当时上式也成立,故, ……………………………12分 假设存在正整数使得,则,‎ 由可知,∴,又为正整数,∴,‎ 又,‎ ‎·13·‎ ‎∴,∴,∴,∴,‎ ‎∴,∴,∴,‎ 故存在满足条件的正整数,,. …………………………16分 ‎20.解:(1)由函数为奇函数,得在定义域上恒成立,‎ 所以 ,‎ 化简可得 ,所以. ……………………………………3分 ‎(2)法一:由(1)可得,‎ 所以,‎ 其中当时,由于恒成立,‎ 即恒成立,故不存在极小值. ………………………………………5分 当时,方程有两个不等的正根,‎ 故可知函数在上单调递增,‎ 在上单调递减,即在处取到极小值,‎ 所以,的取值范围是. ………………………………………9分 法二:由(1)可得,‎ 令,‎ 则,‎ 故当时,;当时,, …………………………………5分 故在上递减,在上递增,‎ ‎∴,‎ 若,则恒成立,单调递增,无极值点;‎ 所以,解得,‎ 取,则,‎ 又函数的图象在区间上连续不间断,故由函数零点存在性定理知在区间上,存在为函数的零点,为极小值.‎ 所以,的取值范围是. ………………………………………9分 ‎(3)由满足,‎ 代入, ‎ 消去m可得, ……………………………11分 构造函数,‎ 所以,当时, ,‎ ‎·13·‎ 所以当时,恒成立,故h(x)在[0,+)上为单调减函数,其中, 13分 则可转化为,‎ 故,由,设,‎ 可得当时,,在上递增,故,‎ 综上,的取值范围是 . ………………………………………16分 附加题答案 ‎21.(A)解:设圆上一点,经矩阵变换后得到圆上一点,‎ 所以,所以,………………………………………………5分 又圆,所以圆的方程为,‎ 化简得,‎ 所以,解得. ………………………………………………10分 ‎21.(B)解:以极点为原点,极轴为x轴的正半轴(单位长度相同)建立平面直角坐标系,‎ 由直线,可得直角坐标方程为,‎ 又曲线,所以,其直角坐标方程为, ………………5分 所以曲线是以为圆心,为半径的圆,‎ 为使直线被曲线(圆)截得的弦最长,所以直线过圆心,‎ 于是,解得. ……………………………………………………10分 ‎21.(C)解:因,所以,‎ 由柯西不等式得,‎ 即, …………………………………………………………………………………5分 当且仅当,即时取等号,解得,‎ ‎·13·‎ 所以当且仅当时,取最小值36. ……………………………………10分 ‎22.解:(1)以,,所在直线建立如图所示空间直角坐标系,‎ 由,,所以,,,,,,从而,,‎ 所以,‎ 所以异面直线与所成角的余弦值为. …………………………………4分 ‎(2)设,则,,‎ 所以,,,‎ 设平面的一个法向量,‎ 所以,‎ 所以,令,则,‎ 所以平面的一个法向量,‎ 同理可得平面的一个法向量,‎ 因为二面角的大小为,所以,‎ 解得或,‎ 由图形可知当二面角的大小为时, . …………………………10分 注:用传统方法也可,请参照评分.‎ ‎23.解:(1)令得,‎ 令得,‎ ‎·13·‎ 两式相加得,∴.…………………………3分 ‎(2)‎ ‎…………………………………………………………………………7分 要证,即证,只需证明,即证,‎ 当时,显然成立;‎ 当时,,即,‎ ‎∴对恒成立.‎ 综上,恒成立.……………………………………………………………………………10分 注:用数学归纳法或数列的单调性也可证明恒成立,请参照评分.‎ ‎·13·‎