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- 2021-06-23 发布
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南京市、盐城市2020届高三年级第一次模拟考试
数 学 理 试 题
(总分160分,考试时间120分钟)
注意事项:
1.本试卷考试时间为120分钟,试卷满分160分,考试形式闭卷.
2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置,否则不给分.
3.答题前,务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.
参考公式:
柱体体积公式:,锥体体积公式:,其中为底面积,为高.
样本数据的方差,其中.
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分. 不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上)
1.已知集合,全集,则ðUA= ▲ .
(第5题图)
2.设复数,其中为虚数单位,则 ▲ .
3.学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查,则甲被选中的概率为 ▲ .
4.命题“,”的否定是 ▲ 命题.(填“真”或“假”)
5.运行如图所示的伪代码,则输出的的值为 ▲ .
6.已知样本的平均数是,且,则此样本的方差是
▲ .
7.在平面直角坐标系中,若抛物线上的点到其焦点的距离为,则点到点的距离为 ▲ .
8.若数列是公差不为0的等差数列,、、成等差数列,则的值为 ▲ .
9.在三棱柱中,点是棱上一点,记三棱柱与四棱锥
·13·
的体积分别为与,则 ▲ .
10.设函数()的图象与轴交点的纵坐标为,
轴右侧第一个最低点的横坐标为,则的值为 ▲ .
11.已知是△的垂心(三角形三条高所在直线的交点),,
则的值为 ▲ .
12.若无穷数列是等差数列,则其前10项的和为 ▲ .
13.已知集合,集合,
若,则的最小值为 ▲ .
14.若对任意实数,都有成立,则实数的值为 ▲ .
二、解答题(本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内)
15.(本小题满分14分)
已知满足.
(1)若,,求;
(2)若,且,求.
16.(本小题满分14分)
如图,长方体中,已知底面是正方形,点是侧棱上的一点.
(1)若//平面,求的值;
(2)求证:.
(第16题图)
·13·
17.(本小题满分14分)
如图,是一块半径为4米的圆形铁皮,现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶.具体做法是从中裁剪出两块全等的圆形铁皮与,做圆柱的底面,裁剪出一个矩形做圆柱的侧面(接缝忽略不计),为圆柱的一条母线,点、在上,点、在的一条直径上,、分别与直线、相切,都与内切.
(1)求圆形铁皮半径的取值范围;
(2) 请确定圆形铁皮与半径的值,使得油桶的体积最大.(不取近似值)
(第17题图)
y
18.(本小题满分16分)
设椭圆的左右焦点分别为,离心率是,动点在椭圆上运动,当轴时,,.
(1)求椭圆的方程;
(2)延长分别交椭圆于点(不重合),设,,求的最小 (第18题图)
19.(本小题满分16分)
定义:若无穷数列满足是公比为的等比数列,则称数列为“数列”.设数列中,.
(1)若,且数列是“数列”,求数列的通项公式;
(2)设数列的前项和为,且,请判断数列是否为
“数列”,并说明理由;
(3)若数列是“数列”,是否存在正整数使得?若存在,请求出所有满足条件的正整数;若不存在,请说明理由.
·13·
20.(本小题满分16分)
若函数为奇函数,且时有极小值.
(1)求实数的值;
(2)求实数的取值范围;
(3)若恒成立,求实数的取值范围.
南京市、盐城市2020届高三年级第一次模拟考试
数学附加题部分
(本部分满分40分,考试时间30分钟)
21.[选做题](在A、B、C三个小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内)
A.(选修4-2:矩阵与变换)
已知圆经矩阵变换后得到圆,求实数的值.
B.(选修4-4:坐标系与参数方程)
在极坐标系中,直线被曲线截得的弦为,当是最长弦时,求实数的值.
C.(选修4-5:不等式选讲)
已知正实数满足,求的最小值.
·13·
[必做题](第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内)
22.(本小题满分10分)
如图,、是圆柱的两条母线, 、分别经过上下底面圆的圆心、,是下底面与垂直的直径,.
(1)若,求异面直线与所成角的余弦值;
(2)若二面角的大小为,求母线的长.
23.(本小题满分10分)
设(),记.
(1)求;
(2)记,求证:恒成立.
·13·
南京市、盐城市2020届高三年级第一次模拟考试
数学参考答案
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,计70分.
1. 2. 3. 4.真 5. 6. 7.
8. 9. 10. 11. 12.10 13. 14.
二、解答题:本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.
15.解:(1)由可知,
移项可得,又,故, ………………………………………2分
又由,可知, ………………………4分
故在中,由正弦定理可得 ,所以. …………7分
(2)由(1)知,所以时,,
由即可得 , ……………10分
∴.…14分
16.(1)证明:连结交于点,连结,
又因为平面,平面
平面平面,所以 ……………3分
因为四边形是正方形,对角线交于点 ,
所以点是的中点,所以,
所以在中,. ……………6分
(2)证明:连结.
因为为直四棱柱,所以侧棱垂直于底面,
又平面,所以.…………………………………………………………8分
因为底面是正方形,所以. ……………………………………………10分
·13·
又,面, 面,
所以面. ……………………………………………………………………………12分
又因为,所以,又因为,
所以A1PÌ面ACC1A1,所以. ………………………………………14分
17.解:(1)设半径为,则,
所以的周长, ………………………………………4分
解得 ,故半径的取值范围为. …………………………………6分
(2)在(1)的条件下,油桶的体积, ……………………………8分
设函数,
所以,由于 ,
所以在定义域上恒成立,
故在定义域上单调递增,
即当时,体积取到最大值. ………………………………………13分
答:半径的取值范围为,当时,体积取到最大值. ………………14分
18.解:(1)由当轴时,可知, …………………………………………2分
将,代入椭圆方程得(※),
而,,代入(※)式得,
解得,故,∴椭圆的方程为.…………………………………………4分
(2)方法一:设,由得,故,
代入椭圆的方程得(#), ………………………………………8分
又由得,代入(#)式得,
化简得,即,显然,
∴,故.……………………………………………………………12分
·13·
同理可得,故,
当且仅当时取等号,故的最小值为. ………………………………………16分
方法二:由点,不重合可知直线与轴不重合,故可设直线的方程为,
联立,消去得(☆),
设,则与为方程(☆)的两个实根,
由求根公式可得,故,则,……………8分
将点代入椭圆的方程得,
代入直线的方程得,∴,
由得,故
.…………………………………………12分
同理可得,故,
当且仅当时取等号,故的最小值为. ………………………………………16分
注:(1)也可设得,其余同理.
(2)也可由运用基本不等式求解的最小值.
19.解:(1)∵,且数列是“数列”,
∴,∴,∴,………………………2分
故数列是等差数列,公差为,
故通项公式为,即. ………………………………………4分
(2)由得,,故.
·13·
方法一:由得,
两式作差得,即,
又,∴,∴对恒成立,……………………6分
则,而,∴,∴,
∴是等比数列, ………………………………………………………………………………8分
∴,∴,∴,
∴是公比为的等比数列,故数列是“数列”.………………………………10分
方法二:同方法一得对恒成立,
则,两式作差得,而,
∴,∴,以下同方法一. ……………………………10分
(3)由数列是“数列”得,
又,∴,∴,∴,∴,
∴当时,
,
当时上式也成立,故, ……………………………12分
假设存在正整数使得,则,
由可知,∴,又为正整数,∴,
又,
·13·
∴,∴,∴,∴,
∴,∴,∴,
故存在满足条件的正整数,,. …………………………16分
20.解:(1)由函数为奇函数,得在定义域上恒成立,
所以 ,
化简可得 ,所以. ……………………………………3分
(2)法一:由(1)可得,
所以,
其中当时,由于恒成立,
即恒成立,故不存在极小值. ………………………………………5分
当时,方程有两个不等的正根,
故可知函数在上单调递增,
在上单调递减,即在处取到极小值,
所以,的取值范围是. ………………………………………9分
法二:由(1)可得,
令,
则,
故当时,;当时,, …………………………………5分
故在上递减,在上递增,
∴,
若,则恒成立,单调递增,无极值点;
所以,解得,
取,则,
又函数的图象在区间上连续不间断,故由函数零点存在性定理知在区间上,存在为函数的零点,为极小值.
所以,的取值范围是. ………………………………………9分
(3)由满足,
代入,
消去m可得, ……………………………11分
构造函数,
所以,当时, ,
·13·
所以当时,恒成立,故h(x)在[0,+)上为单调减函数,其中, 13分
则可转化为,
故,由,设,
可得当时,,在上递增,故,
综上,的取值范围是 . ………………………………………16分
附加题答案
21.(A)解:设圆上一点,经矩阵变换后得到圆上一点,
所以,所以,………………………………………………5分
又圆,所以圆的方程为,
化简得,
所以,解得. ………………………………………………10分
21.(B)解:以极点为原点,极轴为x轴的正半轴(单位长度相同)建立平面直角坐标系,
由直线,可得直角坐标方程为,
又曲线,所以,其直角坐标方程为, ………………5分
所以曲线是以为圆心,为半径的圆,
为使直线被曲线(圆)截得的弦最长,所以直线过圆心,
于是,解得. ……………………………………………………10分
21.(C)解:因,所以,
由柯西不等式得,
即, …………………………………………………………………………………5分
当且仅当,即时取等号,解得,
·13·
所以当且仅当时,取最小值36. ……………………………………10分
22.解:(1)以,,所在直线建立如图所示空间直角坐标系,
由,,所以,,,,,,从而,,
所以,
所以异面直线与所成角的余弦值为. …………………………………4分
(2)设,则,,
所以,,,
设平面的一个法向量,
所以,
所以,令,则,
所以平面的一个法向量,
同理可得平面的一个法向量,
因为二面角的大小为,所以,
解得或,
由图形可知当二面角的大小为时, . …………………………10分
注:用传统方法也可,请参照评分.
23.解:(1)令得,
令得,
·13·
两式相加得,∴.…………………………3分
(2)
…………………………………………………………………………7分
要证,即证,只需证明,即证,
当时,显然成立;
当时,,即,
∴对恒成立.
综上,恒成立.……………………………………………………………………………10分
注:用数学归纳法或数列的单调性也可证明恒成立,请参照评分.
·13·
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