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- 2021-06-23 发布
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高考专题突破三
高考中的数列问题
考点自测
课时作业
题型分类 深度剖析
内容索引
考点自测
1.(2017·广州质检)数列{an}是公差不为0的等差数列,且a1,a3,a7为等比
数列{bn}中连续的三项,则数列{bn}的公比为 答案 解析
答案 解析
设等差数列{an}的首项为a1,公差为d.
∵a5=5,S5=15,
∴an=a1+(n-1)d=n.
3.等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S1,2S2,3S3成等差数列,则等比
数列{an}的公比为________. 答案 解析
设等比数列{an}的公比为q(q≠0),
由4S2=S1+3S3,得4(a1+a1q)=a1+3(a1+a1q+a1q2),
即3q2-q=0,又q≠0,∴q= .
4.(2015·课标全国Ⅱ)设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1
,
则Sn=_________.
答案 解析
由题意,得S1=a1=-1,又由an+1=SnSn+1,得Sn+1-Sn=SnSn+1,
答案 解析4
∴an=-2an-1,
又a1=-1,
∴{an}是以-1为首项,以-2为公比的等比数列,∴an=-(-2)n-1,
由10,n∈N*.
(1)若a2,a3,a2+a3成等差数列,求数列{an}的通项公式;
题型一 等差数列、等比数列的综合问题
解答
由已知,Sn+1=qSn+1,得Sn+2=qSn+1+1,两式相减得an+2=qan+1,
n≥1.
又由S2=qS1+1得a2=qa1,故an+1=qan对所有n≥1都成立.
所以,数列{an}是首项为1,公比为q的等比数列.
从而an=qn-1.由a2,a3,a2+a3成等差数列,可得2a3=a2+a2+a3,
所以a3=2a2,故q=2.
所以an=2n-1(n∈N*).
解答
由(1)可知,an=qn-1,
=n+[1+q2+…+q2(n-1)]
等差数列、等比数列综合问题的解题策略
(1)分析已知条件和求解目标,为最终解决问题设置中间问题,例如求
和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等,确定解题
的顺序.
(2)注意细节:在等差数列与等比数列综合问题中,如果等比数列的公
比不能确定,则要看其是否有等于1的可能,在数列的通项问题中第一
项和后面的项能否用同一个公式表示等,这些细节对解题的影响也是
巨大的.
思维升华
跟踪训练1 已知首项为 的等比数列{an}不是递减数列,其前n项和为
Sn(n∈N*),且S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式; 解答
设等比数列{an}的公比为q,
因为S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列,
所以S5+a5-S3-a3=S4+a4-S5-a5,即4a5=a3,
(2)设Tn=Sn- (n∈N*),求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值.
解答
当n为奇数时,Sn随n的增大而减小,
当n为偶数时,Sn随n的增大而增大,
题型二 数列的通项与求和
例2 已知数列{an}的前n项和为Sn,在数列{bn}中,b1=a1,bn=
an-an-1(n≥2),且an+Sn=n.
(1)设cn=an-1,求证:{cn}是等比数列; 证明
∵an+Sn=n, ①
∴an+1+Sn+1=n+1. ②
②-①,得an+1-an+an+1=1,
∴2an+1=an+1,∴2(an+1-1)=an-1,
∵首项c1=a1-1,又a1+a1=1.
又cn=an-1,
解答(2)求数列{bn}的通项公式.
∴当n≥2时,bn=an-an-1
(1)一般求数列的通项往往要构造数列,此时要从证的结论出发,这是
很重要的解题信息.
(2)根据数列的特点选择合适的求和方法,常用的有错位相减法,分组
求和法,裂项求和法等.
思维升华
跟踪训练2 已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1= ,an+1= an.
(1)证明:数列{ }是等比数列; 证明
(2)求数列{an}的通项公式与前n项和Sn. 解答
题型三 数列与其他知识的交汇
解答
命题点1 数列与函数的交汇
f′(x)=2ax+b,由题意知b=2n,
16n2a-4nb=0,
又f′(x)=x+2n,
当n=1时,a1=4也符合,
解答
∴Tn=b1+b2+…+bn
解答
命题点2 数列与不等式的交汇
令n=1代入得a1=2(负值舍去).
解答(2)求数列{an}的通项公式;
得[Sn-(n2+n)](Sn+3)=0.
又已知数列{an}各项均为正数,故Sn=n2+n.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n,
当n=1时,a1=2也满足上式,
∴an=2n,n∈N*.
证明
∵k∈N*,4k2+2k-(3k2+3k)=k2-k=k(k-1)≥0,
∴4k2+2k≥3k2+3k,
∴不等式成立.
命题点3 数列应用题
例5 (2016·长沙模拟)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该
企业第一年年初有资金2 000万元,将其投入生产,到当年年底资金增
长了50%.预计以后每年年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一
年开始,每年年底上缴资金d万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.
设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.
(1)用d表示a1,a2,并写出an+1与an的关系式; 解答
由题意,得
a1=2 000(1+50%)-d=3 000-d,
(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元,试确定企
业每年上缴资金d的值(用m表示). 解答
=…
整理,得
由题意,得am=4 000,
数列与其他知识交汇问题的常见类型及解题策略
(1)数列与函数的交汇问题
①已知函数条件,解决数列问题,此类问题一般利用函数的性质、图象
研究数列问题;
②已知数列条件,解决函数问题,解决此类问题一般要充分利用数列的
范围、公式、求和方法对式子化简变形.另外,解题时要注意数列与函数
的内在联系,灵活运用函数的思想方法求解,在问题的求解过程中往往
会遇到递推数列,因此掌握递推数列的常见解法有助于该类问题的解决.
思维升华
(2)数列与不等式的交汇问题
①函数方法:即构造函数,通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的
不等式,通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式;
②放缩方法:数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到;
③比较方法:作差或者作商比较.
(3)数列应用题
①根据题意,确定数列模型;
②准确求解模型;
③问题作答,不要忽视问题的实际意义.
跟踪训练3 设等差数列{an}的公差为d,点(an,bn)在函数f(x)=2x的图象
上(n∈N*).
(1)若a1=-2,点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上,求数列{an}的前n项和Sn;
解答
由已知,得b7= ,b8= =4b7,
有 =4× = .
解得d=a8-a7=2.
解答
f′(x)=2xln 2,f′(a2)= ln 2,
故函数 f(x)=2x在(a2,b2)处的切线方程为y- = ln 2(x-a2),
解得a2=2.
所以d=a2-a1=1.
从而an=n,bn=2n.
课时作业
1.(2016·北京)已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且b2=3,b3=9,
a1=b1,a14=b4.
(1)求{an}的通项公式; 解答
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设数列{an}的公差为d,{bn}的公比为q,
∴{bn}的通项公式bn=b1qn-1=3n-1,
又a1=b1=1,a14=b4=34-1=27,
∴1+(14-1)d=27,解得d=2.
∴{an}的通项公式an=a1+(n-1)d=1+(n-1)×2=2n-1(n=1,2,3,
…).
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解答(2)设cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和.
设数列{cn}的前n项和为Sn.
∵cn=an+bn=2n-1+3n-1,
∴Sn=c1+c2+c3+…+cn
=2×1-1+30+2×2-1+31+2×3-1+32+…+2n-1+3n-1
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2.(2016·全国甲卷)等差数列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6.
(1)求{an}的通项公式; 解答
设数列{an}的首项为a1,公差为d,
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(2)设bn=[an],求数列{bn}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,
如[0.9]=0,[2.6]=2. 解答
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所以数列{bn}的前10项和为
1×3+2×2+3×3+4×2=24.
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3.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an+(-1)n(n∈N*).
(1)求数列{an}的前三项a1,a2,a3; 解答
在Sn=2an+(-1)n(n∈N*)中分别令n=1,2,3,
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(2)求证:数列{an+ (-1)n}为等比数列,并求出{an}的通项公式. 证明
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由Sn=2an+(-1)n(n∈N*),得
Sn-1=2an-1+(-1)n-1(n≥2),两式相减,得
an=2an-1-2(-1)n(n≥2),
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4.已知正项数列{an}中,a1=1,点( ,an+1)(n∈N*)在函数y=x2+1的
图象上,数列{bn}的前n项和Sn=2-bn.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式; 解答
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∴an+1=an+1,∴数列{an}是公差为1的等差数列.
∵a1=1,∴an=1+(n-1) ×1=n,
∵Sn=2-bn,∴Sn+1=2-bn+1,
两式相减,得bn+1=-bn+1+bn,
由S1=2-b1,即b1=2-b1,得b1=1.
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解答
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5.在等比数列{an}中,an>0(n∈N*),公比q∈(0,1),且a1a5+2a3a5+a2a8
=25,又a3与a5的等比中项为2.
(1)求数列{an}的通项公式; 解答
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又an>0,∴a3+a5=5,
又a3与a5的等比中项为2,
∴a3a5=4,而q∈(0,1),
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(2)设bn=log2an,求数列{bn}的前n项和Sn; 解答
∵bn=log2an=5-n,∴bn+1-bn=-1,
b1=log2a1=log216=log224=4,
∴{bn}是以b1=4为首项,-1为公差的等差数列,
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解答
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