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- 2021-06-23 发布
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1.1.1 构成空间几何体的基本元素
【基本知识】
1.几何体与长方体
(1)只考虑一个物体占有空间部分的 和 ,而不考虑其他因素,则这个空间部分叫做一个几何体.
(2)长方体:
长方体可以看作由 所围成的几何体(包括它的内部).
①长方体的面:围成长方体的 ,叫做长方体的面,它共有 个面.
②长方体的棱:相邻两个面的公共边,叫做长方体的棱,它共有 条棱.
③长方体的顶点:棱和棱的 ,叫做长方体的顶点,它共有 个顶点.
2.构成空间几何体的基本元素
(1)构成空间几何体的基本元素:
、 、 是构成空间几何体的基本元素.
(2)平面及其表示方法:
①平面的概念:
平面是处处 的面,它是向四面八方无限延展的.
②平面的表示方法:
图形表示
在立体几何中,通常画 表示一个平面,并把它想象成无限延展的
符号表示
平面一般用希腊字母 …来命名,还可以用表示它的平行四边形 的字母来命名
(3)用运动的观点理解空间基本图形之间的关系:
③面动成体:面运动的轨迹(经过的空间部分)可以形成一个几何体.
3.空间中点、线、面之间的位置关系
(1)空间中直线与直线的位置关系:
空间中直线与直线有 、 与 三种位置关系.
(2)空间中直线与平面的位置关系:
①直线在平面内;
②直线与平面平行:直线与平面 公共点;
③直线与平面相交:直线与平面 公共点.
(i)直线与平面垂直:
如右图,观察直线和平面,我们看到直线和平面内的两条相交直线和都垂直,容易想象,当在平面内绕点旋转到任何位置时,都会与垂直.直线给我们与平面垂直的形象,这时我们说直线和平面垂直,点为
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,记作 .直线称作平面的垂线,平面称作直线的垂面.
(ii)点到平面的距离:
在上图中,容易验证,线段为点到平面内的点所连线段中 的一条. 称作点到平面的距离.
(3)空间中平面与平面的位置关系:
①两个平面相交:
两个平面相交于 ,此时我们说这两个平面相交.如果两个平面相交,并且其中一个平面通过另一个平面的 ,这两个平面就给我们互相垂直的形象,这时,我们就说两个平面互相垂直.
②两个平面平行:
如果两个平面 ,则说这两个平面平行.
在长方体中,如果面和面分别作为长方体的底面,则棱,,,都与底面 ,我们知道它们都是这个底面上的高,它们的 称作两个底面间的距离.
【归纳·升华·领悟】
1.立体几何中的平面与平面几何中的平面图形是有区别的.平面图形如三角形、正方形、梯形等是有大小之分的;而立体几何中所说的平面是无大小、厚薄之分的,它类似于以前我们学过的直线,它可以无限延伸,是不可度量的.
2.空间线面位置关系的知识网络图
二、典型例题
考点一 识别构成空间几何体的基本元素
【例1】如图所示,是某同学的课桌的大致轮廓,请你从这个几何体里面寻找一些点、线、面,并将它们列举出来.
考点二 从运动的观点来认识几何图形
【例2】 画出(1)、(2)中围绕旋转一周形成的空间几何体.
考点三 直观判断空间中点、线、面的位置关系
【例3】 如图,正方体中,请写出:
(1)三对平行的平面;
(2)三对垂直的平面;
(3)直线与平面的位置关系;
(4)直线与平面的位置关系.
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【习题跟踪】
1.下列不属于构成空间几何体的基本元素的是( )
A.点 B.线段 C.曲面 D.多边形(不包括内部的点)
2.下列说法:
①任何一个几何体都必须有顶点、棱和面;②一个几何体可以没有顶点;③一个几何体可以没有棱;④一个几何体可以没有面.其中正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.如图所示,请指出该几何体是由多少个平面所围成的,有多少个顶点和棱?
4.线段长为,在水平面上向右移动后记为,将沿铅垂线方向向下移动后记为,再将沿水平方向向左移动后记为,依次连接构成长方体.
(1)该长方体的高为 ;
(2)平面与平面间的距离为 ;
(3)到平面的距离为 .
5.画出以为旋转轴的旋转面.如图所示.
6.如图所示,长方体可以看成是由哪些面进行怎样的移动而得到的?
7.下列关于长方体中点、线、面位置关系的说法正确的是 .
①直线与直线平行; ②直线与平面相交;
③直线与平面垂直; ④点与点到平面的距离相等.
8.一个正方体表面的一种展开图(如图所示),图中的4条线段,,和在原正方体中不在同一平面内的有 对.
【方法·规律·小结】
1.几何体的本质
(1)几何体不仅包括它的外表面,还包括外表面围起的内部部分,如长方体形的盒子外表面不是长方体,而外表面加上它所占据的空间才是长方体.
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(2)数学上的几何体是一个抽象概念,只需考虑它的形状和大小,研究它的结构特征和构成元素间的逻辑关系等.
2.两个特殊的空间位置关系
(1)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情形;
(2)平面和平面垂直是两个平面相交的特殊情形.
3.点到平面的距离:点与平面内任一点连线中最短的一条线段的长度,特别地,当点在平面时,点到平面的距离为0;
4.两个平行平面间的距离:可转化为其中一个平面内任一点到另一个平面的距离.
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