高科数学专题复习课件：6_3　等比数列及其前n项和 59页

§6.3 　等比数列及其前 n 项和 基础知识 　 自主学习 课时 作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 基础知识　自主学习 一般地，如果一个 数列 ， 那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列 的 ， 通常用 字母 表示 ( q ≠ 0). 1. 等比数列的定义 知识梳理 2. 等比数列的通项公式 设等比数列 { a n } 的首项为 a 1 ，公比为 q ，则它的通项 a n ＝ . 从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一 常 数 公比 q a 1 · q n － 1 如果在 a 与 b 中间插入一个数 G ，使 a ， G ， b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的 . 3. 等比中项 4. 等比数列的常用性质 (1) 通项公式的推广： a n ＝ a m · ( n ， m ∈ N * ). (2) 若 { a n } 为等比数列，且 k ＋ l ＝ m ＋ n ( k ， l ， m ， n ∈ N * ) ，则 . 等比中项 q n － m a k · a l ＝ a m · a n 公比不为－ 1 的等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，则 S n ， S 2 n － S n ， S 3 n － S 2 n 仍成等比数列，其公比 为 . 5. 等比数列的前 n 项和公式 6. 等比数列前 n 项和的性质 q n 等比数列 { a n } 的单调性 知识 拓展 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1) 满足 a n ＋ 1 ＝ qa n ( n ∈ N * ， q 为常数 ) 的数列 { a n } 为等比数列 . ( 　　 ) (2) G 为 a ， b 的等比中项 ⇔ G 2 ＝ ab . ( 　　 ) (3) 如果数列 { a n } 为等比数列， b n ＝ a 2 n － 1 ＋ a 2 n ，则数列 { b n } 也是等比数列 . ( 　　 ) (4) 如果数列 { a n } 为等比数列，则数列 {ln a n } 是等差数列 . ( 　　 ) 思考辨析 × × × × 1.( 教材改编 ) 已知 { a n } 是等比数列， a 2 ＝ 2 ， a 5 ＝ ， 则公比 q 等于 考点自测 答案 解析 2.(2015· 课标全国 Ⅱ ) 已知等比数列 { a n } 满足 a 1 ＝ 3 ， a 1 ＋ a 3 ＋ a 5 ＝ 21 ，则 a 3 ＋ a 5 ＋ a 7 等于 A.21 B.42 C.63 D.84 答案 解析 设等比数列 { a n } 的公比为 q ，则由 a 1 ＝ 3 ， a 1 ＋ a 3 ＋ a 5 ＝ 21 ， 得 3(1 ＋ q 2 ＋ q 4 ) ＝ 21 ，解得 q 2 ＝－ 3( 舍去 ) 或 q 2 ＝ 2 ， 于是 a 3 ＋ a 5 ＋ a 7 ＝ q 2 ( a 1 ＋ a 3 ＋ a 5 ) ＝ 2 × 21 ＝ 42 ，故选 B. 3. 设等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，若 S 2 ＝ 3 ， S 4 ＝ 15 ，则 S 6 等于 A.31 B.32 C.63 D.64 答案 解析 根据题意知，等比数列 { a n } 的公比不是－ 1. 由等比数列的性质，得 ( S 4 － S 2 ) 2 ＝ S 2 ·( S 6 － S 4 ) ，即 12 2 ＝ 3 × ( S 6 － 15) ，解得 S 6 ＝ 63. 故选 C. 4.( 教材改编 ) 在 9 与 243 中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为 ________. 答案 解析 27,81 设该数列的公比为 q ，由题意知， 243 ＝ 9 × q 3 ， q 3 ＝ 27 ， ∴ q ＝ 3. ∴ 插入的两个数分别为 9 × 3 ＝ 27,27 × 3 ＝ 81. 答案 解析 － 11 设等比数列 { a n } 的公比为 q ， ∵ 8 a 2 ＋ a 5 ＝ 0 ， ∴ 8 a 1 q ＋ a 1 q 4 ＝ 0. ∴ q 3 ＋ 8 ＝ 0 ， ∴ q ＝－ 2 ， 题型分类　深度剖析 题型一　等比数列基本量的运算 例 1 　 (1)(2015· 课标全国 Ⅱ ) 已知等比数列 { a n } 满足 a 1 ＝ ， a 3 a 5 ＝ 4( a 4 － 1) ，则 a 2 等于 答案 解析 由 { a n } 为等比数列，得 a 3 a 5 ＝ ， 又 a 3 a 5 ＝ 4( a 4 － 1) ， 所以 ＝ 4( a 4 － 1) ， 解得 a 4 ＝ 2. 设等比数列 { a n } 的公比为 q ， 则由 a 4 ＝ a 1 q 3 ，得 2 ＝ q 3 ，解得 q ＝ 2 ， 所以 a 2 ＝ a 1 q ＝ . 故选 C. 答案 解析 2 n － 1 思维 升华 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量 a 1 ， n ， q ， a n ， S n ，一般可以 “ 知三求二 ” ，通过列方程 ( 组 ) 可迎刃而解 . 跟踪训练 1 　 (1) 设 { a n } 是由正数组成的等比数列， S n 为其前 n 项和 . 已知 a 2 a 4 ＝ 1 ， S 3 ＝ 7 ，则 S 5 等于 答案 解析 (2)(2015· 湖南 ) 设 S n 为等比数列 { a n } 的前 n 项和，若 a 1 ＝ 1 ，且 3 S 1 ， 2 S 2 ， S 3 成 等差数列，则 a n ＝ ______. 答案 解析 3 n － 1 由 3 S 1 ， 2 S 2 ， S 3 成等差数列知， 4 S 2 ＝ 3 S 1 ＋ S 3 ， 可得 a 3 ＝ 3 a 2 ，所以公比 q ＝ 3 ， 故等比数列通项 a n ＝ a 1 q n － 1 ＝ 3 n － 1 . 题型二　等比数列的判定与证明 例 2 　设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，已知 a 1 ＝ 1 ， S n ＋ 1 ＝ 4 a n ＋ 2. (1) 设 b n ＝ a n ＋ 1 － 2 a n ，证明：数列 { b n } 是等比数列； 证明 由 a 1 ＝ 1 及 S n ＋ 1 ＝ 4 a n ＋ 2 ， 得 a 1 ＋ a 2 ＝ S 2 ＝ 4 a 1 ＋ 2. ∴ a 2 ＝ 5 ， ∴ b 1 ＝ a 2 － 2 a 1 ＝ 3. 由 ① － ② ，得 a n ＋ 1 ＝ 4 a n － 4 a n － 1 ( n ≥ 2) ， ∴ a n ＋ 1 － 2 a n ＝ 2( a n － 2 a n － 1 )( n ≥ 2). ∵ b n ＝ a n ＋ 1 － 2 a n ， ∴ b n ＝ 2 b n － 1 ( n ≥ 2) ， 故 { b n } 是首项 b 1 ＝ 3 ，公比为 2 的等比数列 . (2) 求数列 { a n } 的通项公式 . 解答 由 (1) 知 b n ＝ a n ＋ 1 － 2 a n ＝ 3·2 n － 1 ， 故 a n ＝ (3 n － 1)·2 n － 2 . 引申 探究 若 将 本例 中 “ S n ＋ 1 ＝ 4 a n ＋ 2 ” 改为 “ S n ＋ 1 ＝ 2 S n ＋ ( n ＋ 1) ” ，其他不变，求数列 { a n } 的通项公式 . 解答 由已知得 n ≥ 2 时， S n ＝ 2 S n － 1 ＋ n . ∴ S n ＋ 1 － S n ＝ 2 S n － 2 S n － 1 ＋ 1 ， ∴ a n ＋ 1 ＝ 2 a n ＋ 1 ， ∴ a n ＋ 1 ＋ 1 ＝ 2( a n ＋ 1) ， n ≥ 2 ， (*) 又 a 1 ＝ 1 ， S 2 ＝ a 1 ＋ a 2 ＝ 2 a 1 ＋ 2 ，即 a 2 ＋ 1 ＝ 2( a 1 ＋ 1) ， ∴ 当 n ＝ 1 时 (*) 式也成立， 故 { a n ＋ 1} 是以 2 为首项，以 2 为公比的等比数列， ∴ a n ＋ 1 ＝ 2·2 n － 1 ＝ 2 n ， ∴ a n ＝ 2 n － 1. 思维 升华 (1) 证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可 . ( 2) 利用递推关系时要注意对 n ＝ 1 时的情况进行验证 . 证明 跟踪训练 2 　 已知数列 { a n } 满足 a 1 ＝ 1 ， a n ＋ 1 ＝ 3 a n ＋ 1. (1) 证明： { a n ＋ } 是等比数列，并求 { a n } 的通项公式； 证明 题型三　等比数列性质的应用 例 3 　 (1) 若 等比数列 { a n } 的各项均为正数，且 a 10 a 11 ＋ a 9 a 12 ＝ 2e 5 ， 则 ln a 1 ＋ ln a 2 ＋ … ＋ ln a 20 ＝ _____. 答案 解析 50 因为 a 10 a 11 ＋ a 9 a 12 ＝ 2 a 10 a 11 ＝ 2e 5 ， 所以 a 10 a 11 ＝ e 5 . 所以 ln a 1 ＋ ln a 2 ＋ … ＋ ln a 20 ＝ ln( a 1 a 2 … a 20 ) ＝ ln [ ( a 1 a 20 )·( a 2 a 19 )·…·( a 10 a 11 ) ] ＝ ln( a 10 a 11 ) 10 ＝ 10ln( a 10 a 11 ) ＝ 10ln e 5 ＝ 50ln e ＝ 50. 答案 解析 方法一 　 ∵ S 6 ∶ S 3 ＝ 1 ∶ 2 ， ∴ { a n } 的公比 q ≠ 1. ∴ S 3 ， S 6 － S 3 ， S 9 － S 6 也成等比数列，即 ( S 6 － S 3 ) 2 ＝ S 3 ·( S 9 － S 6 ) ， 思维 升华 等比数列常见性质的应用 等比数列性质的应用可以分为三类 ： ( 1) 通项公式的变形 ； ( 2) 等比中项的变形 ； ( 3) 前 n 项和公式的变形 . 根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口 . 答案 解析 跟踪训练 3 　 (1) 已知在等比数列 { a n } 中， a 1 a 4 ＝ 10 ，则数列 {lg a n } 的前 4 项和 等于 A.4 B.3 C.2 D.1 前 4 项和 S 4 ＝ lg a 1 ＋ lg a 2 ＋ lg a 3 ＋ lg a 4 ＝ lg( a 1 a 2 a 3 a 4 ) ， 又 ∵ 等比数列 { a n } 中， a 2 a 3 ＝ a 1 a 4 ＝ 10 ， ∴ S 4 ＝ lg 100 ＝ 2. (2) 设等比数列 { a n } 中，前 n 项和为 S n ，已知 S 3 ＝ 8 ， S 6 ＝ 7 ，则 a 7 ＋ a 8 ＋ a 9 等于 答案 解析 因为 a 7 ＋ a 8 ＋ a 9 ＝ S 9 － S 6 ，且公比不等于－ 1 ， 在 等比数列中， S 3 ， S 6 － S 3 ， S 9 － S 6 也成等比数列 ， 即 8 ，－ 1 ， S 9 － S 6 成等比数列 ， 所以 有 8( S 9 － S 6 ) ＝ ( － 1) 2 ， S 9 － S 6 ＝ ， 即 a 7 ＋ a 8 ＋ a 9 ＝ . 分类 讨论思想在等比数列中的应用 思想与方法系列 13 (1) 利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式； (2) 求出前 n 项和，根据函数的单调性证明 . 规范解答 思想方法指 导 ( 1) 解 　设等比数列 { a n } 的公比为 q ， 因为－ 2 S 2 ， S 3 ， 4 S 4 成等差数列， 所以 S 3 ＋ 2 S 2 ＝ 4 S 4 － S 3 ，即 S 4 － S 3 ＝ S 2 － S 4 ， 课时作业 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 2.(2016· 珠海模拟 ) 在等比数列 { a n } 中，若 a 1 <0 ， a 2 ＝ 18 ， a 4 ＝ 8 ，则公比 q 等于 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3. 在正项等比数列 { a n } 中，已知 a 1 a 2 a 3 ＝ 4 ， a 4 a 5 a 6 ＝ 12 ， a n － 1 a n a n ＋ 1 ＝ 324 ，则 n 等于 A.12 B.13 C.14 D.15 √ 答案 解析 因此 q 3 n － 6 ＝ 81 ＝ 3 4 ＝ q 36 ， 所以 n ＝ 14 ，故选 C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 *4.(2015· 福建 ) 若 a ， b 是函数 f ( x ) ＝ x 2 － px ＋ q ( p ＞ 0 ， q ＞ 0) 的两个不同的零点，且 a ， b ，－ 2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 p ＋ q 的值 等于 A.6 B.7 C.8 D.9 √ 答案 解析 由题意知： a ＋ b ＝ p ， ab ＝ q ， ∵ p ＞ 0 ， q ＞ 0 ， ∴ a ＞ 0 ， b ＞ 0. 在 a ， b ，－ 2 这三个数的 6 种排序中，成等差数列的情况有 a ， b ，－ 2 ； b ， a ，－ 2 ；－ 2 ， a ， b ；－ 2 ， b ， a ； 成 等比数列的情况有 a ，－ 2 ， b ； b ，－ 2 ， a . ∴ p ＝ 5 ， q ＝ 4 ， ∴ p ＋ q ＝ 9 ，故选 D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题： “ 三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还 . ” 其意思为：有一个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地，请问第二天走 了 A.192 里 B.96 里 C.48 里 D.24 里 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6.(2016· 铜仁质检 ) 在由正数组成的等比数列 { a n } 中，若 a 3 a 4 a 5 ＝ 3 π ，则 sin(log 3 a 1 ＋ log 3 a 2 ＋ … ＋ log 3 a 7 ) 的值 为 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7. 设 S n 为等比数列 { a n } 的前 n 项和，已知 3 S 3 ＝ a 4 － 2 ， 3 S 2 ＝ a 3 － 2 ，则公比 q ＝ ______. 答案 解析 4 由 ① － ② ，得 3 a 3 ＝ a 4 － a 3 ，即 4 a 3 ＝ a 4 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8. 设各项都是正数的等比数列 { a n } ， S n 为前 n 项和且 S 10 ＝ 10 ， S 30 ＝ 70 ，那么 S 40 ＝ ________. 答案 解析 150 依题意，知数列 { a n } 的公比 q ≠ － 1 ，数列 S 10 ， S 20 － S 10 ， S 30 － S 20 ， S 40 － S 30 成等比数列 ， 因此 有 ( S 20 － S 10 ) 2 ＝ S 10 ( S 30 － S 20 ) ， 即 ( S 20 － 10) 2 ＝ 10(70 － S 20 ) ，故 S 20 ＝－ 20 或 S 20 ＝ 30 ； 又 S 20 >0 ，因此 S 20 ＝ 30 ， S 20 － S 10 ＝ 20 ， S 30 － S 20 ＝ 40 ， 故 S 40 － S 30 ＝ 80 ， S 40 ＝ 150. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9. 已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，且满足 a n ＋ S n ＝ 1( n ∈ N * ) ，则通项 a n ＝ ________. 答案 解析 ∵ a n ＋ S n ＝ 1 ， ① 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 024 ∴ a 4 ＝ b 1 b 2 b 3 ， … ， a n ＝ b 1 b 2 b 3 · … · b n － 1 ， ∴ a 21 ＝ b 1 b 2 b 3 · … · b 20 ＝ ( b 10 b 11 ) 10 ＝ 2 10 ＝ 1 024. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11. 已知 { a n } 是首项为 1 ，公差为 2 的等差数列， S n 表示 { a n } 的前 n 项和 . (1) 求 a n 及 S n ； 解 答 因为 { a n } 是首项 a 1 ＝ 1 ，公差 d ＝ 2 的等差数列 ， 所以 a n ＝ a 1 ＋ ( n － 1) d ＝ 2 n － 1. 故 S n ＝ 1 ＋ 3 ＋ … ＋ (2 n － 1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 设 { b n } 是首项为 2 的等比数列，公比 q 满足 q 2 － ( a 4 ＋ 1) q ＋ S 4 ＝ 0 ，求 { b n } 的通项公式及其前 n 项和 T n . 解 答 由 (1) 得 a 4 ＝ 7 ， S 4 ＝ 16. 因为 q 2 － ( a 4 ＋ 1) q ＋ S 4 ＝ 0 ，即 q 2 － 8 q ＋ 16 ＝ 0 ， 所以 ( q － 4) 2 ＝ 0 ，从而 q ＝ 4. 又因为 b 1 ＝ 2 ， { b n } 是公比 q ＝ 4 的等比数列， 所以 b n ＝ b 1 q n － 1 ＝ 2·4 n － 1 ＝ 2 2 n － 1 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.(2016· 全国丙卷 ) 已知各项都为正数的数列 { a n } 满足 a 1 ＝ 1 ， － (2 a n ＋ 1 － 1) a n － 2 a n ＋ 1 ＝ 0. (1) 求 a 2 ， a 3 ； 解 答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 求 { a n } 的通项公式 . 解 答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13. 已知数列 { a n } 中， a 1 ＝ 1 ， a n · a n ＋ 1 ＝ n ，记 T 2 n 为 { a n } 的前 2 n 项的和， b n ＝ a 2 n ＋ a 2 n － 1 ， n ∈ N * . (1) 判断数列 { b n } 是否为等比数列，并求出 b n ； 解 答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ∵ b n ＝ a 2 n ＋ a 2 n － 1 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 求 T 2 n . 解 答 ∴ T 2 n ＝ ( a 1 ＋ a 3 ＋ … ＋ a 2 n － 1 ) ＋ ( a 2 ＋ a 4 ＋ … ＋ a 2 n ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13