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- 2021-06-23 发布
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课时达标检测(六十五) 绝对值不等式
1．已知函数f(x)＝|x＋m|－|5－x|(m∈R)．
(1)当m＝3时，求不等式f(x)>6的解集；
(2)若不等式f(x)≤10对任意实数x恒成立，求m的取值范围．
解：(1)当m＝3时，f(x)>6，
即|x＋3|－|5－x|>6，不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集．
解得x≥5；
或解得46的解集为{x|x>4}．
(2)f(x)＝|x＋m|－|5－x|≤|(x＋m)＋(5－x)|＝|m＋5|，
由题意得|m＋5|≤10，则－10≤m＋5≤10，解得－15≤m≤5，
故m的取值范围为[－15,5]．
2．(2017·郑州模拟)设函数f(x)＝|x＋2|－|x－1|.
(1)求不等式f(x)>1的解集；
(2)若关于x的不等式f(x)＋4≥|1－2m|有解，求实数m的取值范围．
解：(1)函数f(x)可化为f(x)＝
当x≤－2时，f(x)＝－3<0，不合题意；
当－21，得x>0，
即01，即x≥1.
综上，不等式f(x)>1的解集为(0，＋∞)．
(2)关于x的不等式f(x)＋4≥|1－2m|有解等价于(f(x)＋4)max≥|1－2m|，
由(1)可知f(x)max＝3(也可由|f(x)|＝||x＋2|－|x－1||≤|(x＋2)－(x－1)|＝3，得f(x)max＝3)，
即|1－2m|≤7，解得－3≤m≤4.
故实数m的取值范围为[－3,4]．
3．(2017·长春模拟)已知函数f(x)＝|x－2|－|x＋1|.
(1)解不等式f(x)>1；
(2)当x>0时，函数g(x)＝(a>0)的最小值大于函数f(x)，试求实数a的取值范围．
解：(1)当x>2时，原不等式可化为x－2－x－1>1，解集是∅.
当－1≤x≤2时，原不等式可化为2－x－x－1>1，即－1≤x<0；
当x<－1时，原不等式可化为2－x＋x＋1>1，即x<－1.
综上，原不等式的解集是{x|x<0}．
(2)因为g(x)＝ax＋－1≥2－1，
当且仅当x＝时等号成立，所以g(x)min＝2－1，
当x>0时，f(x)＝所以f(x)∈[－3,1)，
所以2－1≥1，即a≥1，故实数a的取值范围是[1，＋∞)．
4．设函数f(x)＝|kx－1|(k∈R)．
(1)若不等式f(x)≤2的解集为，求k的值；
(2)若f(1)＋f(2)<5，求k的取值范围．
解：(1)由|kx－1|≤2，得－2≤kx－1≤2，
即－1≤kx≤3，所以－≤x≤1，
由已知，得＝1，所以k＝3.
(2)由已知，得|k－1|＋|2k－1|<5.当k≤时，－(k－1)－(2k－1)<5，得k>－1，此时－11时，(k－1)＋(2k－1)<5，得k<，此时10；
(2)若f(x)＋3|x＋4|≥|a－1|对一切实数x均成立，求a的取值范围．
解：(1)原不等式即为|2x－1|－|x＋4|>0，
当x≤－4时，不等式化为1－2x＋x＋4>0，解得x<5，
即不等式组的解集是.
当－40，
解得x<－1，即不等式组的解集是.
当x≥时，不等式化为2x－1－x－4>0，解得x>5，
即不等式组的解集是.
综上，原不等式的解集为.
(2)∵f(x)＋3|x＋4|＝|2x－1|＋2|x＋4|＝|1－2x|＋|2x＋8|≥|(1－2x)＋(2x＋8)|＝9.
∴由题意可知|a－1|≤9，解得－8≤a≤10，
故a的取值范围是.
7．已知函数f(x)＝|2x－a|＋a(其中a为常数)．
(1)若集合{x|－4≤x≤3}是关于x的不等式f(x)≤6的解集的子集，求实数a的取值范围；
(2)在(1)的条件下，若存在实数n使f(n)≤m－f(－n)成立，求实数m的取值范围．
解：(1)由|2x－a|＋a≤6得|2x－a|≤6－a，
∴a－6≤2x－a≤6－a，
即a－3≤x≤3，∴a－3≤－4，∴a≤－1.
即实数a的取值范围为(－∞，－1]．
(2)由题可知，只需m≥[f(n)＋f(－n)]min即可．
令φ(n)＝f(n)＋f(－n)，在(1)的条件下a≤－1，
则φ(n)＝|2n－a|＋|2n＋a|＋2a≥|(2n－a)－(2n＋a)|＋2a＝|2a|＋2a＝0，当且仅当(2n－a)(2n＋a)≤0，即a≤n≤－a时取等号．
∴φ(n)的最小值为0，故实数m的取值范围是[0，＋∞)．
8．已知函数f(x)＝|3x＋2|.
(1)解不等式f(x)<4－|x－1|；
(2)已知m＋n＝1(m，n>0)，若|x－a|－f(x)≤＋(a>0)恒成立，求实数a的取值范围．
解：(1)不等式f(x)<4－|x－1|，即|3x＋2|＋|x－1|<4.
当x<－时，即－3x－2－x＋1<4，解得－1时，即3x＋2＋x－1<4，无解．
综上所述，原不等式的解集为.
(2)＋＝(m＋n)＝1＋1＋＋≥4，
当且仅当m＝n＝时等号成立．
令g(x)＝|x－a|－f(x)＝|x－a|－|3x＋2|＝
∴x＝－时，g(x)max＝＋a，要使不等式恒成立，
只需g(x)max＝＋a≤4，即0
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