高考数学专题复习练习第5讲 双曲线 7页

第5讲 双曲线 一、选择题 ‎1．设双曲线－＝1(a＞0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为(　　)．‎ A．4 B．‎3 C．2 D．1‎ 解析　双曲线－＝1的渐近线方程为3x±ay＝0与已知方程比较系数得a＝2.‎ 答案　C ‎2．已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为 (　　)．‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ 解析　不妨设a>0，b>0，c＝.‎ 据题意，‎2c＝10，∴c＝5. ①‎ 双曲线的渐近线方程为y＝±x，且P(2,1)在C的渐近线上，∴1＝. ②‎ 由①②解得b2＝5，a2＝20，故正确选项为A.‎ 答案　A ‎3．已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为 (　　)．‎ A．－2 B．－ C．1 D．0‎ 解析　设点P(x，y)，其中x≥1.依题意得A1(－1,0)，F2(2,0)，则有＝x2－1，y2＝3(x2－1)，·＝(－1－x，－y)·(2－x，－y)＝(x＋1)(x－2)＋y2＝x2＋3(x ‎2－1)－x－2＝4x2－x－5＝42－，其中x≥1.因此，当x＝1时，·取得最小值－2，选A.‎ 答案　A ‎4．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F(－c,0)(c>0)作圆x2＋y2＝的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若＋＝2，则双曲线的离心率为 (　　)．‎ A. B. C. D. 解析　设双曲线的右焦点为A，则＝－，故＋＝－＝＝2，即OE＝AP.所以E是PF的中点，所以AP＝2OE＝2×＝a.所以PF＝‎3a.在Rt△APF中，a2＋(‎3a)2＝(‎2c)2，即‎10a2＝‎4c2，所以e2＝，即离心率为e＝ ＝，选C.‎ 答案　C ‎5．已知双曲线－＝1的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 (　　)．‎ A. B．‎4 ‎ C．3 D．5‎ 解析　易求得抛物线y2＝12x的焦点为(3,0)，故双曲线－＝1的右焦点为(3,0)，即c＝3，故32＝4＋b2，∴b2＝5，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，∴双曲线的右焦点到其渐近线的距离为＝.‎ 答案　A ‎6．如图，已知点P为双曲线－＝1右支上一点，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF‎1F2的内心，若S△IPF1＝S△IPF2＋λS△IF‎1F2成立，则λ的值为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. 解析 根据S△IPF1＝S△IPF2＋λS△IF‎1F2，即|PF1|＝|PF2|＋λ|F‎1F2|，‎ 即‎2a＝λ‎2c，即λ＝＝.‎ 答案 B 二、填空题 ‎7．双曲线－＝1的右焦点到渐近线的距离是________．‎ 解析 由题意得：双曲线－＝1的渐近线为y＝±x.‎ ‎∴焦点(3,0)到直线y＝±x的距离为＝.‎ 答案 ‎8．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1的离心率为，则m的值为________．‎ 解析　由题意得m＞0，∴a＝，b＝.‎ ‎∴c＝，由e＝＝，得＝5，‎ 解得m＝2.‎ 答案　2‎ ‎9．如图，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A、B为左、右焦点，且双曲线过C、D两顶点．若AB＝4，BC＝3，则此双曲线的标准方程为________．‎ 解析　设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．由题意得B(2,0)，C(2,3)，‎ ‎∴解得 ‎∴双曲线的标准方程为x2－＝1.‎ 答案　x2－＝1‎ ‎10．如图，双曲线－＝1(a，b＞0)的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2.若以A‎1A2为直径的圆内切于菱形F1B‎1F2B2，切点分别为A，B，C，D.则 ‎(1)双曲线的离心率e＝________；‎ ‎(2)菱形F1B‎1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值＝________.‎ 解析　(1)由题意可得a ＝bc，∴a4－‎3a‎2c2＋c4＝0，∴e4－3e2＋1＝0，∴e2＝，∴e＝.‎ ‎(2)设sin θ＝，cos θ＝，＝＝＝＝e2－＝.‎ 答案　(1)　(2) 三、解答题 ‎11．中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F‎1F2|＝2，椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4，离心率之比为3∶7.‎ ‎(1)求这两曲线方程；‎ ‎(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．‎ 解　(1)由已知：c＝，设椭圆长、短半轴长分别为a，b，双曲线半实、虚轴长分别为m，n，‎ 则 解得a＝7，m＝3.∴b＝6，n＝2.‎ ‎∴椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1.‎ ‎(2)不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－|PF2|＝6，‎ 所以|PF1|＝10，|PF2|＝4.又|F‎1F2|＝2，‎ ‎∴cos∠F1PF2＝ ‎＝＝.‎ ‎12．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．‎ ‎(1)求双曲线方程；‎ ‎(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0；‎ ‎(3)求△F1MF2的面积．‎ ‎(1)解　∵e＝，∴设双曲线方程为x2－y2＝λ.‎ 又∵双曲线过(4，－)点，∴λ＝16－10＝6，‎ ‎∴双曲线方程为x2－y2＝6.‎ ‎(2)证明　法一　由(1)知a＝b＝，c＝2，‎ ‎∴F1(－2，0)，F2(2，0)，‎ ‎∴kMF1＝，kMF2＝，‎ ‎∴kMF1·kMF2＝＝，‎ 又点(3，m)在双曲线上，∴m2＝3，‎ ‎∴kMF1·kMF2＝－1，MF1⊥MF2，·＝0.‎ 法二　∵＝(－3－2，－m)，＝(2－3，－m)，‎ ‎∴·＝(3＋2)(3－2)＋m2＝－3＋m2.‎ ‎∵M在双曲线上，∴9－m2＝6，‎ ‎∴m2＝3，∴·＝0.‎ ‎(3)解　∵在△F1MF2中，|F‎1F2|＝4，且|m|＝，‎ ‎∴S△F1MF2＝·|F‎1F2|·|m|＝×4×＝6.‎ ‎13．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，|PF1|＝8，|PF2|＝6.‎ ‎(1)求双曲线的方程；‎ ‎(2)设过双曲线左焦点F1的直线与双曲线的两渐近线交于A，B两点，且＝2，求此直线方程．‎ 解　(1)由题意知，在Rt△PF‎1F2中，‎ ‎|F‎1F2|＝，‎ 即‎2c＝＝10，所以c＝5.‎ 由椭圆的定义，知‎2a＝|PF1|－|PF2|＝8－6＝2，即a＝1.‎ 所以b2＝c2－a2＝24，故双曲线的方程为x2－＝1.‎ ‎(2)左焦点为F1(－5,0)，两渐近线方程为y＝±2x.‎ 由题意得过左焦点的该直线的斜率存在．‎ 设过左焦点的直线方程为y＝k(x＋5)，则与两渐近线的交点为和.‎ 由＝2，得 ＝2或者 ＝2，‎ 解得k＝±.‎ 故直线方程为y＝±(x＋5)．‎ ‎14． P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：－＝1(a>0，b>0)上一点，M，N分别是双曲线E的左，右顶点，直线PM，PN的斜率之积为.‎ ‎(1)求双曲线的离心率；‎ ‎(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足＝λ＋，求λ的值．‎ 解　(1)由点P(x0，y0)(x0≠±a)在双曲线－＝1上，有－＝1.‎ 由题意有·＝，‎ 可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，e＝＝.‎ ‎(2)联立得4x2－10cx＋35b2＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则 ①‎ 设＝(x3，y3)，＝λ＋，即 又C为双曲线上一点，即x－5y＝5b2，有 ‎(λx1＋x2)2－5(λy1＋y2)2＝5b2.‎ 化简得λ2(x－5y)＋(x－5y)＋2λ(x1x2－5y1y2)＝5b2. ②‎ 又A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，‎ 所以x－5y＝5b2，x－5y＝5b2.‎ 由①式又有x1x2－5y1y2＝x1x2－5(x1－c)(x2－c)＝－4x1x2＋‎5c(x1＋x2)－‎5c2＝10b2，‎ ‎②式可化为λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4.‎