高科数学专题复习课件：第三章 3_3定积分与微积分基本定理 45页

§3.3 　 定积分与微积分基本定理 基础知识 　 自主学习 课时作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 基础知识　自主学习 在 中， 分别 叫做积分下限与积分上限，区间 [ a ， b ] 叫做积分区间， 函数 叫做 被积函数 ， 叫做 积分变量 ， 叫做 被积式 . 1. 定积分的概念 知识梳理 a ， b f ( x ) x f ( x )d x 2. 定积分的性质 一般地，如果 f ( x ) 是区间 [ a ， b ] 上的连续函数，且 F ′ ( x ) ＝ f ( x ) ， 那么 ＝ ， 这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿 — 莱布尼茨公式 . 为了方便，常把 F ( b ) － F ( a ) 记 作 ， 即 ＝ ＝ F ( b ) － F ( a ). 3. 微积分基本定理 F ( b ) － F ( a ) 1. 定积分应用的常用结论 当曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值为负；当位于 x 轴上方的曲边梯形与位于 x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零 . 2. 函数 f ( x ) 在闭区间 [ － a ， a ] 上连续，则有 知识 拓展 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) 思考辨析 (4) 微积分基本定理中的 F ( x ) 是唯一的 .( 　　 ) √ √ × × × 1.( 2017· 福州 质检 ) 等于 A.1 B.e － 1 C.e D.e ＋ 1 考点自测 答案 解析 2. 直线 y ＝ 4 x 与曲线 y ＝ x 3 在第一象限内围成的封闭图形的面积为 答案 解析 如图， y ＝ 4 x 与 y ＝ x 3 的交点为 A (2,8) ， 图中阴影部分即为所求图形面积 . 3.( 教材改编 ) 汽车 以 v ＝ (3 t ＋ 2)m/s 作变速直线运动时，在第 1 s 至第 2 s 间的 1 s 内经过的位移是 答案 解析 4. 若 ＝ 9 ，则常数 T 的值为 ________. 答案 解析 3 答案 解析 题型分类　深度剖析 题型一　定积分的计算 例 1 　 (1) ( 2016· 九江模拟 ) 若 ( 2 x ＋ λ )d x ＝ 2( λ ∈ R ) ，则 λ 等于 A.0 B.1 C.2 D . － 1 答案 解析 所以 λ ＝ 1. (2) 定积分 － 2 x |d x 等于 A.5 B.6 C.7 D.8 答案 解析 思维 升华 运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点： (1) 对被积函数要先化简，再求积分； (2) 求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分 “ 对区间的可加性 ” ，先分段积分再求和； (3) 对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分 . 跟踪训练 1 　 (1) 若 则 实数 a 的值为 答案 解析 ＝ 0 － a － ( － 1 － 0) ＝ 1 － a ＝ 2 ， ∴ a ＝－ 1. 答案 解析 题型二　定积分的几何意义 命题点 1 　利用定积分的几何意义计算定积分 答案 解析 π 由定积分的几何意义知， 答案 解析 － 1 结合图形知 m ＝－ 1. 命题点 2 　求平面图形的面积 例 3 　 ( 2017· 青岛 月考 ) 由曲线 xy ＝ 1 ，直线 y ＝ x ， y ＝ 3 所围成的封闭平面图形的面积为 ________. 答案 解析 4 － ln 3 由 xy ＝ 1 ， y ＝ 3 可得交点坐标为 ( ， 3). 由 xy ＝ 1 ， y ＝ x 可得交点坐标为 (1,1) ， 由 y ＝ x ， y ＝ 3 得交点坐标为 (3,3) ， 由曲线 xy ＝ 1 ，直线 y ＝ x ， y ＝ 3 所围成图形的面积为 思维 升华 (1) 根据定积分的几何意义可计算定积分； (2) 利用定积分求平面图形面积的四个步骤 ① 画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象； ② 借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； ③ 把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； ④ 计算定积分，写出答案 . 直线 x ＝ 0 ， x ＝ 3 ， y ＝ 0 围成的封闭图形的面积， 答案 解析 (2) 由曲线 y ＝ 2 x 2 ，直线 y ＝－ 4 x － 2 ，直线 x ＝ 1 围成的封闭图形的 面积 为 _____. 答案 解析 依题意可得 ，所 求的封闭图形的面积为 题型三　定积分在物理中的应用 例 4 　 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以 速度 v ( t ) ＝ 7 － 3 t ＋ ( t 的单位： s ， v 的单位： m/s) 行驶至停止 . 在此期间 汽车 继续 行驶的距离 ( 单位： m) 是 A.1 ＋ 25ln 5 B.8 ＋ 25ln C.4 ＋ 25ln 5 D.4 ＋ 50ln 2 答案 解析 思维 升华 定积分在物理中的两个应用 (1) 变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为 v ＝ v ( t ) ，那么从时刻 t ＝ a 到 t ＝ b 所经过的路程 s ＝ (2) 变力做功：一物体在变力 F ( x ) 的作用下，沿着与 F ( x ) 相同方向从 x ＝ a 移动到 x ＝ b 时，力 F ( x ) 所做的功是 W ＝ 跟踪训练 3 　一物体在变力 F ( x ) ＝ 5 － x 2 ( 力单位： N ，位移单位： m) 作用下，沿与 F ( x ) 成 30° 方向作直线运动，则由 x ＝ 1 运动到 x ＝ 2 时， F ( x ) 做的功为 答案 解析 典例 　由抛物线 y ＝ x 2 － 1 ，直线 x ＝ 0 ， x ＝ 2 及 x 轴围成的图形面积为 ________. 利用 定积分求面积 现场纠错系列 4 错 解展示 现场纠错 纠错心得 利用定积分求面积时要搞清楚定积分和面积的关系；定积分可正可负，而面积总为正 . 解析 　如图所示，由 y ＝ x 2 － 1 ＝ 0 ， 得抛物线与 x 轴的交点分别为 ( － 1 ， 0) 和 (1,0 ). 答案 　 2 课时作业 1. 等于 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 √ 答案 解析 的几何意义为以 (0,0) 为圆心， 以 1 为半径的圆位于第一象限的部分，圆的面积为 π ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.(2016· 南昌模拟 ) 若 ( 2 x ＋ ) d x ＝ 3 ＋ ln 2( a >1) ，则 a 的值是 A.2 B.3 C.4 D.6 答案 解析 √ 解得 a ＝ 2. 4. 定积分 等于 A.1 B . － 1 C.0 D.2 答案 解析 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5. 由曲线 f ( x ) ＝ 与 y 轴及直线 y ＝ m ( m >0) 围成的图形的面积 为 ， 则 m 的值为 A.2 B.3 C.1 D.8 √ 答案 解析 解得 m ＝ 2. 答案 解析 A. S 1 < S 2 < S 3 B. S 2 < S 1 < S 3 C. S 2 < S 3 < S 1 D. S 3 < S 2 < S 1 √ 所以 S 2 < S 1 < S 3 . 方法二 　 S 1 ， S 2 ， S 3 分别表示曲线 y ＝ x 2 ， y ＝ ， y ＝ e x 与直线 x ＝ 1 ， x ＝ 2 及 x 轴围成的图形的面积，通过作图易知 S 2 < S 1 < S 3 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7. _____. 答案 解析 2 依题意得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 所求面积 *9.(2016· 湖北省重点中学高三阶段性统一考试 ) 若函数 f ( x ) 在 R 上可导， f ( x ) ＝ x 3 ＋ x 2 f ′ (1) ， 则 ＝ ________. 答案 解析 － 4 因为 f ( x ) ＝ x 3 ＋ x 2 f ′ (1) ， 所以 f ′ ( x ) ＝ 3 x 2 ＋ 2 xf ′ (1). 所以 f ′ (1) ＝ 3 ＋ 2 f ′ (1) ，解得 f ′ (1) ＝－ 3. 所以 f ( x ) ＝ x 3 － 3 x 2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10. 已知 f ( a ) ＝ ， 则函数 f ( a ) 的最大值为 ____. 答案 解析 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 阴影部分的面积为 *13. 已知函数 y ＝ F ( x ) 的图象是折线段 ABC ，其中 A (0,0) ， B ( ， 5) ， C (1,0) ，求函数 y ＝ xF ( x )(0 ≤ x ≤ 1) 的图象与 x 轴围成的图形的面积 . 解 答 所以函数 y ＝ xF ( x )(0 ≤ x ≤ 1) 的图象与 x 轴围成的图形的面积为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13