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‎2013年全国高校自主招生数学模拟试卷五 一．选择题(本题满分36分，每小题6分)‎ ‎1．设锐角q使关于x的方程x2+4xcosq+cosq=0有重根，则q的弧度数为 ( )‎ ‎ A． B．或 C．或 D． ‎2．已知M={(x，y)|x2+2y2=3}，N={(x，y)|y=mx+b}．若对于所有的m∈R，均有M∩N¹Æ，则b的取值范围是 ( )‎ ‎ A．[－，] B．(－，) C．(－，] D．[－，] 3．不等式+logx3+2>0的解集为 ‎ A．[2，3) B．(2，3] C．[2，4) D．(2，4] ‎ ‎4．设点O在DABC的内部，且有+2+3=，则DABC的面积与DAOC的面积的比为( )‎ ‎ A．2 B． C．3 D． ‎ ‎5．设三位数n=，若以a，b，c为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n有( )‎ ‎ A．45个 B．81个 C．165个 D．216个 ‎6．顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，O为底面圆圆心，AB⊥OB，垂足为B，OH⊥PB，垂足为H，且PA=4，C为PA的中点，则当三棱锥O－HPC的体积最大时，OB的长为 ( )‎ ‎ A． B． C． D． ‎ 二．填空题(本题满分54分，每小题9分)‎ ‎7．在平面直角坐标系xOy中，函数f(x)=asinax+cosax(a>0)在一个最小正周期长的区间上的图像与函数g(x)= 的图像所围成的封闭图形的面积是 ；‎ ‎8．设函数f：R→R，满足f(0)=1，且对任意x，y∈R，都有f(xy+1)=f(x)f(y)－f(y)－x+2，则f(x)= ；‎ ‎9．如图，正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，二面角A－BD1—A1的度数是 ；‎ ‎10．设p是给定的奇质数，正整数k使得也是一个正整数，则k= ；‎ ‎11．已知数列a0，a1，a2，…，an，…满足关系式(3－an+1)(6+an)=18，且 a0=3，则的值是 ；‎ ‎12．在平面直角坐标系xOy中，给定两点M(－1，2)和N(1，4)，点P在x轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标为 ；‎ 三．解答题(本题满分60分，每小题20分)‎ ‎13．一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数的和大于2n，则算过关．问：‎ ‎⑴ 某人在这项游戏中最多能过几关？‎ ‎⑵ 他连过前三关的概率是多少？‎ ‎14．在平面直角坐标系xOy中，给定三点A(0，)，B(－1，0)，C(1，0)，点P到直线BC的距离是该点到直线AB、AC距离的等比中项．‎ ‎ ⑴ 求点P的轨迹方程；‎ ‎ ⑵ 若直线L经过DABC的内心(设为D)，且与P点轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率k的取值范围．‎ ‎15．已知a，b是方程4x2－4tx－1=0(t∈R)的两个不等实根，函数f(x)=的定义域为[a，b]．‎ ‎ ⑴ 求g(t)=maxf(x)－minf(x)；‎ ‎ ⑵ 证明：对于ui∈(0，)(i=1，2，3)，若sinu1+sinu2+sinu3=1，则++<．‎ ‎2013年全国高校自主招生数学模拟试卷四 参考答案 一．选择题(本题满分36分，每小题6分)‎ ‎1．设锐角q使关于x的方程x2+4xcosq+cotq=0有重根，则q的弧度数为 ( )‎ ‎ A． B．或 C．或 D． 解：由方程有重根，故D=4cos2q－cotq=0，‎ ‎∵ 00的解集为 ‎ A．[2，3) B．(2，3] C．[2，4) D．(2，4] ‎ 解：令log2x=t≥1时，>t－2．t∈[1，2)，Þx∈[2，4)，选C．‎ ‎4．设点O在DABC的内部，且有+2+3=，则DABC的面积与DAOC的面积的比为( )‎ ‎ A．2 B． C．3 D． ‎ 解：如图，设DAOC=S，则DOC1D=3S，DOB1D=DOB‎1C1=3S，DAOB=DOBD=1.5S．DOBC=0.5S，ÞDABC=3S．选C．‎ ‎5．设三位数n=，若以a，b，c为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n有( )‎ ‎ A．45个 B．81个 C．165个 D．216个 解：⑴等边三角形共9个；‎ ‎⑵ 等腰但不等边三角形：取两个不同数码(设为a，b)，有36种取法，以小数为底时总能构成等腰三角形，而以大数为底时，b0)在一个最小正周期长的区间上的图像与函数g(x)= 的图像所围成的封闭图形的面积是 ；‎ 解：f(x)= sin(ax+j)，周期=，取长为，宽为2的矩形，由对称性知，面积之半即为所求．故填．‎ 又解：∫[1－sin(ax+j)]dx=∫(1－sint)dt=．‎ ‎8．设函数f：R→R，满足f(0)=1，且对任意x，y∈R，都有f(xy+1)=f(x)f(y)－f(y)－x+2，则f(x)= ；‎ 解：令x=y=0，得，f(1)=1－1－0+2，Þf(1)=2．‎ 令y=1，得f(x+1)=‎2f(x)－2－x+2，即f(x+1)=‎2f(x)－x．①‎ 又，f(yx+1)=f(y)f(x)－f(x)－y+2，令y=1代入，得f(x+1)=‎2f(x)－f(x)－1+2，即f(x+1)=f(x)+1．②‎ 比较①、②得，f(x)=x+1．‎ ‎9．如图，正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，二面角A－BD1—A1的度数是 ；‎ 解：设AB=1，作A‎1M⊥BD1，AN⊥BD1，则BN·BD1=AB2，ÞBN=D‎1M=NM=．‎ ÞA‎1M=AN=．‎ ‎∴ AA12=A‎1M2‎+MN2+NA2－‎2A1M·NAcosq，Þ12=++－2´cosq，Þcosq=．‎ Þq=60°．‎ ‎10．设p是给定的奇质数，正整数k使得也是一个正整数，则k= ；‎ 解：设=n，则(k－)2－n2=，Þ(2k－p+2n)(2k－p－2n)=p2，Þk=(p+1)2．‎ ‎11．已知数列a0，a1，a2，…，an，…满足关系式(3－an+1)(6+an)=18，且a0=3，则的值是 ；‎ 解：=+，Þ令bn=+，得b0=，bn=2bn－1，Þbn=´2n．即=，Þ=(2n+2－n－3)．‎ ‎12．在平面直角坐标系xOy中，给定两点M(－1，2)和N(1，4)，点P在x轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标为 ；‎ 解：当∠MPN最大时，⊙MNP与x轴相切于点P(否则⊙MNP与x轴交于PQ，则线段PQ上的点P¢使∠MP¢N更大)．于是，延长NM交x轴于K(－3，0)，有KM·KN=KP2，ÞKP=4．P(1，0)，(－7，0)，但(1，0)处⊙MNP的半径小，从而点P的横坐标=1．‎ 三．解答题(本题满分60分，每小题20分)‎ ‎13．一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数的和大于2n，则算过关．问：‎ ‎⑴ 某人在这项游戏中最多能过几关？‎ ‎⑵ 他连过前三关的概率是多少？‎ 解：⑴ 设他能过n关，则第n关掷n次，至多得6n点，‎ 由6n>2n，知，n≤4．即最多能过4关．‎ ‎⑵ 要求他第一关时掷1次的点数>2，第二关时掷2次的点数和>4，第三关时掷3次的点数和>8．‎ 第一关过关的概率==；‎ 第二关过关的基本事件有62种，不能过关的基本事件有为不等式x+y≤4的正整数解的个数，有C个 (亦可枚举计数：1+1，1+2，1+3，2+1，2+2，3+1)计6种，过关的概率=1－=；‎ 第三关的基本事件有63种，不能过关的基本事件为方程x+y+z≤8的正整数解的总数，可连写8个1，从8个空档中选3个空档的方法为C==56种，不能过关的概率==，能过关的概率=；‎ ‎∴连过三关的概率=´´=．‎ ‎14．在平面直角坐标系xOy中，给定三点A(0，)，B(－1，0)，C(1，0)，点P到直线BC的距离是该点到直线AB、AC距离的等比中项．‎ ‎ ⑴ 求点P的轨迹方程；‎ ‎ ⑵ 若直线L经过DABC的内心(设为D)，且与P点轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率k的取值范围．‎ 解：⑴ 设点P的坐标为(x，y)，‎ AB方程：+=1，Þ4x－3y+4=0， ①‎ BC方程：y=0， ②‎ AC方程：4x+3y－4=0， ③‎ ‎∴ 25|y|2=|(4x－3y+4)(4x+3y－4)|，‎ Þ25y2+16x2－(3y－4)2=0，Þ16x2+16y2+24y－16=0，‎ Þ2x2+2y2+3y－2=0．‎ 或25y2－16x2+(3y－4)2=0，Þ16x2－34y2+24y－16=0，‎ Þ8x2－17y2+12y－8=0．‎ ‎∴ 所求轨迹为圆：2x2+2y2+3y－2=0， ④‎ 或双曲线：8x2－17y2+12y－8=0． ⑤‎ 但应去掉点(－1，0)与(1，0)．‎ ‎⑵ DABC的内心D(0，)：经过D的直线为x=0或y=kx+． ⑥‎ ‎(a) 直线x=0与圆④有两个交点，与双曲线⑤没有交点；‎ ‎(b) k=0时，直线y=与圆④切于点(0，)，与双曲线⑤交于(±，)，即k=0满足要求．‎ ‎(c) k=±时，直线⑥与圆只有1个公共点，与双曲线⑤也至多有1个公共点，故舍去．‎ ‎(c) k¹0时，k¹时，直线⑥与圆有2个公共点，以⑥代入⑤得：(8－17k2)x2－5kx－=0．‎ 当8－17k2=0或(5k)2－25(8－17k2)=0，即得k=±与k=±．‎ ‎∴ 所求k值的取值范围为{0，±，±}．‎ ‎15．已知a，b是方程4x2－4tx－1=0(t∈R)的两个不等实根，函数f(x)= 的定义域为[a，b]．‎ ‎ ⑴ 求g(t)=maxf(x)－minf(x)；‎ ‎ ⑵ 证明：对于ui∈(0，)(i=1，2，3)，若sinu1+sinu2+sinu3=1，则++<．‎ 解：⑴ a+b=t，ab=－．故a<0，b>0．当x1，x2∈[a，b]时，‎ ‎∴ f ¢(x)= =．而当x∈[a，b]时，x2－xt<0，于是f ¢(x)>0，即f(x)在[a，b]上单调增．‎ ‎∴ g(t)= －== ‎ == ‎⑵ g(tanu)= =≥，‎ ‎∴ ++≤[16´3+9(cos2u1+cos2u2+cos2u3)]= [75－9(sin2u1+sin2u2+sin2u3)]‎ 而(sin2u1+sin2u2+sin2u3)≥()2，即9(sin2u1+sin2u2+sin2u3)≥3．‎ ‎∴++≤(75－3)= ．由于等号不能同时成立，故得证．‎ ‎ ‎