高考数学专题复习教案： 数列的概念与简单表示法备考策略 3页

数列的概念与简单表示法备考策略 主标题：数列的概念与简单表示法备考策略 副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。‎ 关键词：数列的通项公式，数列的递推公式，an与Sn，备考策略 难度：3‎ 重要程度：5‎ 内容 考点一　由数列的前几项求数列的通项 ‎【例1】根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式：‎ ‎(1)4,6,8,10，…；‎ ‎(2)－，，－，，…；‎ ‎(3)a，b，a，b，a，b，…(其中a，b为实数)；‎ ‎(4)9,99,999,9 999，….‎ 解：(1)各数都是偶数，且最小为4，所以通项公式an＝2(n＋1)(n∈N*)．‎ ‎(2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式an＝(－1)n×.‎ ‎(3)这是一个摆动数列，奇数项是a，偶数项是b，所以此数列的一个通项公式an＝ ‎(4)这个数列的前4项可以写成10－1,100－1,1 000－1，10 000－1，所以它的一个通项公式an＝10n－1.‎ ‎【备考策略】‎ ‎(1)根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．‎ ‎(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．‎ 考点二　由an与Sn的关系求通项an ‎【例1】设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝1，＝an＋1－n2－n－，n∈N*.‎ ‎(1)求a2的值；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式．‎ 解　(1)依题意，2S1＝a2－－1－，‎ 又S1＝a1＝1，所以a2＝4；‎ ‎(2)由题意2Sn＝nan＋1－n3－n2－n，‎ 所以当n≥2时，‎ ‎2Sn－1＝(n－1)an－(n－1)3－(n－1)2－(n－1)‎ 两式相减得2an＝nan＋1－(n－1)an－(3n2－3n＋1)－(2n－1)－，‎ 整理得(n＋1)an－nan＋1＝－n(n＋1)，‎ 即－＝1，又－＝1，‎ 故数列是首项为＝1，公差为1的等差数列，‎ 所以＝1＋(n－1)×1＝n，所以an＝n2.‎ ‎【备考策略】‎ 已知数列{an}的前n项和Sn，求数列的通项公式，其求解过程分为三步：‎ ‎(1)先利用a1＝S1求出a1；‎ ‎(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式；‎ ‎(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．‎ 考点三　由递推公式求数列的通项公式 递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接.归纳起来常见的命题角度有：‎ (1)形如an＋1＝anf(n)，求an；‎ (2)形如an＋1＝an＋f(n)，求an；‎ (3)形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，求an.‎ 一、　形如an＋1＝anf(n)，求an ‎1．已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an.‎ ‎(1)求a2，a3；‎ ‎(2)求{an}的通项公式．‎ 解：(1)由S2＝a2得3(a1＋a2)＝4a2，‎ 解得a2＝3a1＝3.‎ 由S3＝a3得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，‎ 解得a3＝(a1＋a2)＝6.‎ ‎(2)由题设知a1＝1.‎ 当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，‎ 整理得an＝an－1.‎ 即＝.‎ ‎∴an＝a1·····…··· ‎＝1·····…··· ‎＝(n≥2)‎ 当n＝1时，a1＝1.‎ 综上可知，{an}的通项公式an＝.‎ 二、形如an＋1＝an＋f(n)，求an ‎2．已知a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2，求an.‎ 解：∵an＋1－an＝3n＋2，‎ ‎∴an－an－1＝3n－1(n≥2)，‎ ‎∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(n≥2)．‎ 当n＝1时，a1＝×(3×1＋1)＝2符合公式，‎ ‎∴an＝n2＋.‎ 三、形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，求an ‎3．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，求an.‎ 解：∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，‎ ‎∴＝3，∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，‎ 又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，‎ ‎∴an＝2·3n－1－1.‎ ‎【备考策略】由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为an＋1＝an＋f(n)或an＋1＝f(n)·an，则可以分别通过累加、累乘法求得通项公式，另外，通过迭代法也可以求得上面两类数列的通项公式，(如二)，注意：有的问题也可利用构造法，即通过对递推式的等价变形，(如三)转化为特殊数列求通项．‎