湖南省长沙市第一中学2019届高三下学期高考模拟卷（一）理科数学（扫描版） 11页

书书书 数学!理科"参考答案!一中版"!"!!!! 数学!理科"参考答案 一#选择题 题 号 " # & ' ( ) * + % "$ "" "# 答 案 , - , , . . , , . - , . "!,!$解析%由已知得"/ # #! "0" #! "!# " &' $ / # !""#" &' # (所以"#$/ !"($("(' &# (故选,1 #!-!$解析%由题意得(%/!"02"!#!2" "0#2 / !&02"!"!#2" !"0#2"!"!#2"/"!2($%$ 槡/ #! 另解)由题意得(%/!"02"!#!2" "0#2 ($%$/ !"02"!#!2" "0#2 / !"02"!#!2" 2!#!2" /$"!2$ 槡/ #(故选-1 &!,!$解析%因为345# !0!! "' / "0345#!0!! "# # /"!526#! # /" )(所以526#!/# &(故选,1 '!,!$解析%正方体的面对角线长为 槡# #(又水的体积是正方体体积的一半(所以容器里水面的最大高度为面 对角线长的一半(即最大水面高度为槡#(故选,1 (!.!$解析%由 !!#! "" !!/!#!#!!"/$得!!"/!# #/ ! # # /+(从而!在"方向上的投影为!!" " /+ #/ '(故选 .1 )!.!$解析%一局游戏后(这#个盘中的小球停在阴影部分分别记为事件""("#(由题意知(""("# 相互独立( 且&!"""/& ")(&!"#"/" &(所以*一局游戏后(这#个盘中的小球都停在阴影部分+的概率为&!"""#"/& !"""&!"#"/& ")7" &/" ")! *!,!$解析%'!#"/#526 "#0!! ") (因为'!!"/#('!#"/$($!!#$的最小值是! #(所以周期为#!("/"('!#" 的单调增区间为#(!!! #"#0! )"#(!0! #((%!(即#(!!#! &"#"#(!0! &((%!(故选,1 +!,!$解析%设这十二个节气日影长依次成等差数列 )' &* (+* 是其前* 项和(则+%/%!)"0)%" # /%)(/+(8(( 所以)(/%8((由题知)"0)'0)*/&)'/&"8((所以)'/"$8((所以公差,/)(!)'/!"(所以)"#/)(0*, /#8((故选,1 %!.!$解析%设圆心为-(动点&到直线#/!"的距离为,(根据题意得)$&-$!"/,(可得$&-$/,0"(即)动点& 到圆!#!#"#0.#/"的圆心-的距离与其到直线#/!#的距离相等(根据抛物线的定义(动点& 的轨迹是以 !#($"为焦点(以#/!#为准线的抛物线(设方程为.#/#/#(则/ #/#(//'(所以抛物线方程为).#/+#(选.1 "$!-!$解析%不等式组表示的平面区域是如图所示阴影部分( 数学!理科"参考答案!一中版"!#!!!! 直线#!.0#/$与直线&#!.!)/$的交点为"!'()"(直线#!.0#/$与.轴的交点为$!$(#"而($& /%!# "!$/*(("& /%!) "!'/!"(所以(&*或("!"(故选-1 ""!,!$解析%如图所示(9:'&"-(9:'&"$ 为等腰直角三角形(且"&/"$/"- 槡/ &!以顶点& 为球心(以 #为半径作一个球与 9:'&"- 的&-("- 分别交于 0(1(得 "1/"(("&1/ ! )(所以(1&0/ ! "#( 所以,01/! "#7#/! )(同理,23/! )(,31/ ! # 7"/ ! #(,20是以顶点& 为圆心(以#为半径的圆周长的 " )(所以,20/#!7# ) /#! &(球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于 ! )0 ! )0 ! #0#! &/%! )/ &! #!故选,1 "#!.!$解析%根据题意(若函数'!#"/!#&0"0) " ;"#";(;! "是自然对数的底数 与4!#"/&<6#的图象 上存在关于# 轴对称的点(则方程!#&0"0)/!&<6#在区间 " ;(- .; 上有解(!#&0"0)/!&<6#即) 0"/#&!&<6#(即方程)0"/#&!&<6#在区间 " ;(- .; 上有解(设函数5!#"/#&!&<6#(其导数56!#"/ &##!& #/&!#&!"" # (又#% " ;(- .; (56!#"/$在#/"有唯一的极值点( 分析可得)当" ;"#""时(56!#""$(5!#"为减函数(当""#";时(56!#"&$(5!#"为增函数( 故函数5!#"/#&!&<6#有最小值5!""/"(又由5 "! "; /" ;& 0&(5!;"/;&!&(比较得5 "! "; )5!;"( 故函数5!#"/#&!&<6#有最大值5!;"/;&!&(故函数5!#"/#&!&<6#在区间 " ;(- .; 上的值域为-"(;& !&./若方程)0"/#&!&<6#在区间 " ;(- .; 上有解(必有"")0"";&!&(则有$")";&!'(即)的取值 范围是-$(;&!'.!故选 .1 二#填空题 "&!#!$解析%由已知渐近线的斜率(/7 ) 槡/ &(即离心率8/9 ) 槡/ "0&/#! "'!"!$解析%由已知()"0)#0)&/)#0')"(则)&/&)"(所以:#/&! 又;(/)")#)&)')(/)( &/#'&(所以)&/)":#/&()"/"! "(!&#!$解析%!#0)#"!"0#"( 的展开式中## 的系数为"((即#-# (0)-" (/"(()/!"( 设!#!#"!"0#"(/)$0)"#0)###0)&#&0)'#'0)(#(0))#) 令#/"得#(/)$0)"0)#0)&0)'0)(0))/&#! ")!##%#!$解析%由题意可知(当#/(*&$时();!(*&$(/" #)(解得(/<6# (*&$! 现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时"'-的残余量约占原始量的*)8*=! 所以*)8*=/;!<6# (*&$#(得<6$8*)*/!<6# (*&$#( 数学!理科"参考答案!一中版"!&!!!! #/!(*&$7<6$!*)* <6# /!(*&$7<4>#$8*)**##%#年! 三#解答题 "*!$解析%!""?在 9:'"<-中("-/#(("-+"$ 于>(连结&>(则&>+"$(故(&>3 为二面角&!"$!-的平面角! 由已知("-&/("$-/)$@((-"&/(-"$/&$@( 在 9:'"&-中(&3/"&!526&$@/"-!345&$@! 槡526&$@/& &7槡& #7" #/% '( 由"&#/"3!"-得"3/"&# "- / 槡% & ' (在 9:'">3 中(>3/"3526&$@/ 槡% & + ( 故:B6(&>3/&3 3>/ % ' 槡% & + / 槡# & & (故345(&>3/ 槡#" * ( 即二面角&!"$!-的余弦值为 槡#" * ! !"#分"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 另解)过& 作&3+"-于3(则&3+平面-=(过 3 作3>.-$ 交"$ 于>( 以 3 为原点(3"#3>#3& 分别为# 轴#.轴#%轴建立空间直角坐标系! 则 3 !$($($"(" 槡% & ' ($(! "$ ($ ! 槡& & ' (&(! "$ (& $($(! "% ' ( !+分"!!!!!!!!!!!!!!!! 数学!理科"参考答案!一中版"!'!!!! 从而 /00"&/ ! 槡% & ' ($(! "% ' (/00"$/ 槡!& &(&(! "$ ( 设平面&"$ 的法向量#/ #(.(! "% ( 则 /00"&!#/! 槡% & ' #0% '%/$( /00"$!# 槡/!& �&. 1 2 3 /$ 得 % 槡/ &#( . 槡/ &# 12 3 ( 令#/"(从而#/ "(槡&(槡! "& ( 而平面"$-的法向量为$/ $($(! "" ( 故3450#($1/ #!$ # $ /槡 槡 & * / 槡#" * ( 即二面角&!"$!-的余弦值为 槡#" * ! !"#分"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! "%!$解析%!""设椭圆的半焦距为9(则9#/)#!7#(且8/9 ) /" #! 由 #/9( ## )# 0.# 7# /"1 2 3 (解得./C7# ) ! 依题意(#7# ) /&(求得9/"()/#(7 槡/ &(于是椭圆的方程为## '0.# &/"! !(分"!!!!!!!!!!!! !#"设" #"(" ##"0! "? ($!##(" ###0?"(&!@(*"(将A)./" ##0?代入椭圆方程得##0?#0?#!&/$! %/?#!'!?#!&"4$(?#)'( 则有#"0##/!?(#"##/?#!&! 直线&"(&$ 的斜率之和(&" 0(&$ / *!" ##"!? @!#" 0 *!" ###!? @!## / *!" ##"!! "? !@!##"0 *!" ###!! "? !@!#"" !@!#""!@!##" / *!& #! "@ ?0#@*!& ?#0@?0@#!& ( 当*/& #@(#@*/&时斜率的和恒为$( 解得 @/"( */& # 1 2 3 (或 @/!"( */!& # 1 2 3 ! !""分"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 综上所述(所有满足条件的定点& 的坐标为 "(! "& # 或 !"(!! "& # ! !"#分"!!!!!!!!!!!! #$!$解析%!"""乙种棉花的纤维平均长度大于甲种棉花的纤维平均长度!!或)乙种棉花的纤维长度普遍大于 甲种棉花的纤维长度!" #甲种棉花的纤维长度较乙种棉花的纤维长度更分散!!或)乙种棉花的纤维长度较甲种棉花的纤维长度更 集中!稳定"(甲种棉花的纤维长度的分散程度比乙种棉花的纤维长度的分散程度更大!" $甲种棉花的纤维长度的中位数为&$*DD/乙种棉花的纤维长度的中位数为&"+DD! %乙种棉花的纤维长度基本上是对称的(而且大多集中在中间!均值附近"/甲种棉花的纤维长度除一个特 殊值!&(#"外(也大致对称(其分布较均匀!!"#$%中答对两个给'分" !'分"!!!!!!!!!!! !#"记事件" 为*从样本中随机抽取甲#乙两种棉花各#根(其中恰有&根一级棉花+! 则&!""/-" "$-" "(-# "(0-# "$-" "$-" "( -# #(-# #( /" '! !*分"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !&"由题意知(B 的可能取值是$("(#(其相应的概率为 数学!理科"参考答案!一中版"!(!!!! &!B/$"/& (7# (/) #((&!B/""/# (7# (0& (7& (/"& #((&!B/#"/# (7& (/) #(( 所以B 的分布列为 B $ " # & ) #( "& #( ) #( C!B"/$7) #(0"7"& #(0#7) #(/"! !"#分"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! #"!$解析%!""由已知'6!#"/###!+#0) # #4! "$ ('6!"" /$得)/)( !#分"!!!!!!!!!!!!! 当)/)时('6!#"/# #! "!" #! "!& # #4! "$ ( 可知当#% $(! "" 时('6!#"4$('!#"单调递增(当#% "(! "& 时('6!#")$('!#"单调递减( 当#% &(0E! "时('6!#"4$('!#"单调递增( 所以#/"是函数'!#"的极大值点! 故实数)的值为)! !'分"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !#"'!#"的定义域为 $(0E! "(有两个极值点#"(##!#")##"(则?!#"/###!+#0)/$在 $(0E! "上有 两个不等正根(所以 %/)'!+)4$( ?!"$ /)4$( #/#4$ 1 2 3 ( 所以$)))+( 则 #"0##/'( #"##/) #( $)#")## 1 2 3 ! 所以 ##/'!#"( )/##"##/##" '!#! "" $)#")## 1 2 3 ( (所以$)#")#! !)分"!!!!!!!!!!!!!!! 这样原问题即$)#")#且#"5"时()<6#" "!#" 4 @! "!# '0&#"!#! "# " 恒成立( 即##" '!#! "" <6#" "!#" 4 @! "!# '!#! "" #"! "0" (即##"<6#" "!#" 4 @! "!# #"! "0" ( 即##"<6#" "!#" ! @! "!# #"! "0" 4$(即 #" "!#" #<6#"0 @! "!# ## "! "!" #- ." 4$恒成立( 且当$)#")"时(#" "!#" 4$(当")#")#时(#" "!#" )$( 设5!#"/#<6#0 @! "!# ##! "!" # !$)#)#"( 56!#"/ @! "!# ##0##0 @! "!# ## !$)#)#"! !*分"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! "当@/#时(56!#"/# #4$(所以5!#"在 $(! "# 上为增函数且5!"" /$( 所以(#% "(! "# 时(5!#"4$(不合题意(舍去! #当@4#时(56!#"4$(同"(舍去! $当@)#时(!&"%"$(即@""时可知56!#""$(在 $(! "# 上5!#"为减函数且5!"" /$( 当$)#)"时(5!#"4$(")#)#时(5!#")$( 得 # "!# #<6#0 @! "!# ##! "!"- .# 4$恒成立! !"$分"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !'"%4$(即")@)#时(56!#"分子中的一元二次函数的对称轴#/ " #!@4"(开口向下(且56!""/ # @! "!" 4$(令)/D26 " #!@(' &# ( 数学!理科"参考答案!一中版"!)!!!! 则#% "(! ") 时(56!#"4$(5!#"为增函数(5!""/$(所以5!#"4$(不合题意! 综上可知)@""! !"#分"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ##!$解析%!""由曲线-" 的参数方程为 #/#345&( ./526' & !& 为参数"(消去参数&得## '0.#/"( 又 #/'345$( ./'526$' (代入## '0.#/"得-" 的极坐标方程为'#/ ' 345#$0'526#$ / ' "0&526#$ ( 由曲线-# 是圆心的极坐标为 槡*(!! "# 且经过极点的圆!可得其极坐标方程为' 槡/# *526$( 从而得-# 的普通方程为##0.# 槡!# *./$! !(分"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !#"将$/! )!'&$"代入' 槡/# *526$得'$ 槡/# *526! ) 槡/ *( 又将$/! )!'&$"代入'#/ ' 345#$0'526#$ 得'"/ ' 345# ! )0'526# !槡 ) / 槡' * * 故 "$ /'$!'" 槡/ *! 槡' * * / 槡& * * ! !"$分"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! #&!$解析%!""因为'!#"/(! #!& ( 所以' #! "0& &$等价于$#$"(! 由 # "(有解(得(&$(且其解集为 # !("#"' &( ( 又' #! "0& &$的解集为 !"(- ." (故(/"! !(分"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !#"由!""知" ) 0" #70" &9/"(又)(7(9是正实数(由均值不等式得 )0#70&9/ )0#70&! "9 " ) 0" #70" &! "9 /&0) #70) &90#7 ) 0#7 &90&9 ) 0&9 #7/ &0 ) #70#7! ") 0 ) &90&9! ") 0 #7 &90&9 #! "7 &&0#0#0#/%( 当且仅当)/#7/&9时取等号(也即" %)0# %70& %9&"! !"$分"!!!!!!!!!!!!!!!!!