高科数学专题复习课件：5_4 平面向量的综合应用 65页

§5.4 　平面 向量 的综合 应用 基础知识 　 自主学习 课时作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 基础知识　自主学习 问题类型 所用知识 公式表示 线平行、点共线等问题 共线向量定理 a ∥ b ⇔ ⇔ ， 其中 a ＝ ( x 1 ， y 1 ) ， b ＝ ( x 2 ， y 2 ) ， b ≠ 0 垂直问题 数量积的 运算性质 a ⊥ b ⇔ ⇔ ， 其中 a ＝ ( x 1 ， y 1 ) ， b ＝ ( x 2 ， y 2 ) ，且 a ， b 为非零向量 1. 向量在平面几何中的应用 (1) 用向量解决常见平面几何问题的技巧： 知识梳理 a ＝ λ b x 1 y 2 － x 2 y 1 ＝ 0 x 1 x 2 ＋ y 1 y 2 ＝ 0 a·b ＝ 0 夹角问题 数量积的定义 cos θ ＝ ( θ 为向量 a ， b 的夹角 ) ，其中 a ， b 为非零向量 长度问题 数量积的定义 | a | ＝ ＝ ，其中 a ＝ ( x ， y ) ， a 为非零向量 (2) 用向量方法解决平面几何问题的步骤： 平面几何 问题 向量问题 解决 向量 问题 解决 几何问题 . 2. 平面向量在物理中的应用 (1) 由于物理学中的力、速度、位移 都是 ， 它们的分解与合成与向量 的 相似 ，可以用向量的知识来解决 . (2) 物理学中的功是一个标量，是力 F 与位移 s 的数量积，即 W ＝ F·s ＝ | F||s |cos θ ( θ 为 F 与 s 的夹角 ). 矢量 加法和减法 3. 向量与相关知识的交汇 平面向量作为一种工具，常与函数 ( 三角函数 ) ，解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题 . 知识 拓展 2. 若直线 l 的方程为： Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 ，则向量 ( A ， B ) 与直线 l 垂直，向量 ( － B ， A ) 与直线 l 平行 . 几何画板展示 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1) 若 ∥ ， 则 A ， B ， C 三点共线 . ( 　　 ) (2) 向量 b 在向量 a 方向上的投影是向量 . ( 　　 ) (3) 若 a · b ＞ 0 ，则 a 和 b 的夹角为锐角；若 a · b ＜ 0 ，则 a 和 b 的夹角为钝角 . ( 　　 ) (4 ) 在 △ ABC 中， 若 · < 0 ，则 △ ABC 为钝角三角形 . ( 　　 ) (5) 已知平面直角坐标系内有三个定点 A ( － 2 ，－ 1) ， B (0 ， 10) ， C (8,0) ，若动点 P 满足： ， t ∈ R ，则点 P 的轨迹方程是 x － y ＋ 1 ＝ 0. ( 　　 ) √ × × × √ 思考辨析 考点自测 1.( 教材改编 ) 已知 △ ABC 的三个顶点的坐标分别为 A (3,4) ， B (5,2) ， C ( － 1 ，－ 4) ，则该三角形 为 A . 锐角三角形 B . 直角三角形 C. 钝角三角形 D . 等腰直角三角形 答案 解析 ∴△ ABC 为直角三角形 . A.6 B.5 C.4 D.3 在 △ ABC 中，由余弦定理可得， AB 2 ＋ AC 2 － 2 AB · AC ·cos A ＝ BC 2 ， 所以 AB 2 ＋ AC 2 ＋ 32 ＝ 100 ， AB 2 ＋ AC 2 ＝ 68 . 又 D 为边 BC 的中点， 所以 ， 两边平方得 4 | | 2 ＝ 68 － 32 ＝ 36 ，解得 | | ＝ 3 ，故选 D . 答案 解析 答案 解析 x ＋ 2 y － 4 ＝ 0 由 ＝ 4 ，得 ( x ， y )·(1,2) ＝ 4 ， 即 x ＋ 2 y ＝ 4. 4.(2016· 银川模拟 ) 已知向量 a ＝ (cos θ ， sin θ ) ， b ＝ ( ，－ 1) ，则 |2 a － b | 的最大值为 _____. 设 a 与 b 夹角为 α ， ∵ |2 a － b | 2 ＝ 4 a 2 － 4 a·b ＋ b 2 ＝ 8 － 4| a||b |cos α ＝ 8 － 8cos α ， ∵ α ∈ [ 0 ， π ] ， ∴ cos α ∈ [ － 1,1] ， ∴ 8 － 8cos α ∈ [ 0,16 ] ，即 |2 a － b | 2 ∈ [0,16] ， ∴ |2 a － b | ∈ [0,4]. ∴ |2 a － b | 的最大值为 4. 4 答案 解析 几何画板展示 5. 已知一个物体在大小为 6 N 的力 F 的作用下产生的位移 s 的大小为 100 m ，且 F 与 s 的夹角为 60° ，则力 F 所做的功 W ＝ ______ J. W ＝ F · s ＝ | F || s |cos 〈 F ， s 〉 ＝ 6 × 100 × cos 60° ＝ 300(J). 300 答案 解析 题型分类　深度剖析 题型一　向量在平面几何中的应用 例 1 　 (1) 在平行四边形 ABCD 中， AD ＝ 1 ， ∠ BAD ＝ 60° ， E 为 CD 的中点 . 若 ＝ 1 ，则 AB ＝ _____. 答案 解析 在平行四边形 ABCD 中，取 AB 的中点 F ， (2) 已知 O 是平面上的一定点， A ， B ， C 是平面上不共线的三个动点，若动点 P 满足 ， λ ∈ (0 ，＋ ∞ ) ，则点 P 的轨迹一定通过 △ ABC 的 A . 内心 B . 外心 C . 重心 D . 垂心 答案 解析 引申探究 本 例 (2) 中，若动点 P 满足 ， λ ∈ (0 ，＋ ∞ ) ，则 点 P 的轨迹一定通过 △ ABC 的 ______. 内心 答案 解析 向量与平面几何综合问题的解法 (1) 坐标法 把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决 . (2) 基向量法 适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解 . 思维升华 跟踪训练 1 　 A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰非等边三角形 D. 三边均不相等的三角形 答案 解析 5 答案 解析 以 D 为原点，分别以 DA ， DC 所在直线为 x 轴、 y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设 DC ＝ a ， DP ＝ y . 则 D (0,0) ， A (2,0) ， C (0 ， a ) ， B (1 ， a ) ， P (0 ， y ) ， 由点 P 是腰 DC 上的动点，知 0 ≤ y ≤ a . 题型二　向量在解析几何中的应用 例 2 　 (1) 已知 向量 ＝ ( k, 12) ， ＝ (4,5) ， ＝ (10 ， k ) ，且 A 、 B 、 C 三点共线，当 k <0 时，若 k 为直线的斜率，则过点 (2 ，－ 1) 的直线方程为 ______ _ ____. 2 x ＋ y － 3 ＝ 0 ∴ (4 － k )( k － 5) ＋ 6 × 7 ＝ 0 ， 解得 k ＝－ 2 或 k ＝ 11. 由 k <0 可知 k ＝－ 2 ，则过点 (2 ，－ 1) 且斜率为－ 2 的直线方程为 y ＋ 1 ＝ － 2( x － 2) ，即 2 x ＋ y － 3 ＝ 0. 答案 解析 答案 解析 向量在解析几何中的 “ 两个 ” 作用 (1) 载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于 “ 包装 ” ，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去 “ 向量外衣 ” ，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题 . (2) 工具作用：利用 a ⊥ b ⇔ a·b ＝ 0( a ， b 为非零向量 ) ， a ∥ b ⇔ a ＝ λ b ( b ≠ 0 ) ，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法 . 思维 升华 跟踪训练 2 　 ( 2016· 合肥模拟 ) 如图所示，半圆的直径 AB ＝ 6 ， O 为圆心， C 为半圆上不同于 A 、 B 的任意一点，若 P 为半径 OC 上的动点， 则 的 最小值为 ________. ∵ 圆心 O 是直径 AB 的中点， 答案 解析 题型三　向量的其他应用 命题点 1 　向量在不等式中的 应用 答案 解析 因为 ＝ ( x, 1) ， ＝ (2 ， y ) ， 所以 ＝ 2 x ＋ y ，令 z ＝ 2 x ＋ y ，依题意，不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示 ( 含边界 ) ，观察图象可知，当目标函数 z ＝ 2 x ＋ y 过点 C (1,1) 时， z max ＝ 2 × 1 ＋ 1 ＝ 3 ，目标函数 z ＝ 2 x ＋ y 过点 F ( a ， a ) 时， z min ＝ 2 a ＋ a ＝ 3 a ，所以 3 ＝ 8 × 3 a ，解得 a ＝ . 命题点 2 　向量在解三角形中的应用 例 4 　 ( 2016· 合肥模拟 ) 在 △ ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别是 a ， b ， c ，若 20 a ＋ 15 b ＋ 12 c ＝ 0 ，则 △ ABC 最小角的正弦值 等于 答案 解析 ∴△ ABC 最小角为角 A ， 命题点 3 　向量在物理中的应用 例 5 　 如图，一质点受到平面上的三个力 F 1 ， F 2 ， F 3 ( 单位：牛顿 ) 的作用而处于平衡状态 . 已知 F 1 ， F 2 成 60 ° 角，且 F 1 ， F 2 的大小分别为 2 和 4 ，则 F 3 的大小 为 答案 解析 利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化 . 思维 升华 跟踪训练 3 　 (1) 函数 y ＝ sin( ωx ＋ φ ) 在一个周期内的图象如图所 示， M 、 N 分别是最高点、最低点， O 为坐标原点， 且 ＝ 0 ，则函数 f ( x ) 的最小正周期是 ____. 答案 解析 3 解得 x N ＝ 2 ， 答案 解析 3 三 审图形抓特点 审题路线图系列 审题路线图 答案 解析 返回 由 E 为该函数图象的一个对称中心，作点 C 的对称点 M ，作 MF ⊥ x 轴，垂足为 F ，如图 . 返回 课时作业 A. 等边三角形 B . 等腰三角形 C. 直角三角形 D . 等腰直角三角形 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 故 △ ABC 一定是直角三角形 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.( 2016· 山东 ) 已知非零向量 m ， n 满足 4| m | ＝ 3| n | ， cos 〈 m ， n 〉 ＝ . 若 n ⊥ ( t m ＋ n ) ，则实数 t 的值为 √ ∵ n ⊥ ( t m ＋ n ) ， ∴ n ·( t m ＋ n ) ＝ 0 ， 即 t m · n ＋ n 2 ＝ 0 ， ∴ t | m || n |cos 〈 m ， n 〉＋ | n | 2 ＝ 0 ， 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.( 2016· 南宁模拟 ) 已知向量 a ＝ (cos α ，－ 2) ， b ＝ (sin α ， 1) 且 a ∥ b ，则 sin 2 α 等于 √ 由 a ∥ b 得 cos α ＋ 2sin α ＝ 0 ， ∴ cos α ＝－ 2sin α ，又 sin 2 α ＋ cos 2 α ＝ 1 ， 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.( 2016· 武汉模拟 ) 设 △ ABC 的三个内角为 A ， B ， C ，向量 m ＝ ( sin A ， sin B ) ， n ＝ (cos B ， cos A ) ，若 m·n ＝ 1 ＋ cos( A ＋ B ) ，则 C 等于 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5. 已知点 A ( － 2,0) ， B (3,0) ，动点 P ( x ， y ) 满足 ＝ x 2 ，则点 P 的轨迹 是 A. 圆 B. 椭圆 C . 双曲线 D . 抛物线 √ ∵ ＝ ( － 2 － x ，－ y ) ， ＝ (3 － x ，－ y ) ， ∴ ＝ ( － 2 － x )(3 － x ) ＋ y 2 ＝ x 2 ， ∴ y 2 ＝ x ＋ 6 ， 即点 P 的轨迹是抛物线 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 *6. 若平面向量 α ， β 满足 | α | ＝ 1 ， | β | ≤ 1 ，且以向量 α ， β 为邻边的 平行四 边形 的面积 为 ， 则 α 与 β 的夹角 θ 的取值范围是 ________. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 如图，向量 α 与 β 在单位圆 O 内，由于 | α | ＝ 1 ， | β | ≤ 1 ，且以向量 α ， β 为邻边的平行四边形的面积 为 ， 故以向量 α ， β 为 两边 的 三角形的面积 为 ， 故 β 的终点在如图所示的 线 段 AB 上 ( α ∥ ， 且圆心 O 到 AB 的距离为 ) ，因此 夹 角 θ 的取值范围 为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7. 在菱形 ABCD 中，若 AC ＝ 4 ， 则 ＝ ________. － 8 设 ∠ CAB ＝ θ ， AB ＝ BC ＝ a ， 由余弦定理得： a 2 ＝ 16 ＋ a 2 － 8 a cos θ ， ∴ a cos θ ＝ 2 ， ∴ ＝ 4 × a × cos(π － θ ) ＝－ 4 a cos θ ＝－ 8. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8. 已知平面向量 a ， b 满足 | a | ＝ 1 ， | b | ＝ 2 ， a 与 b 的夹角 为 . 以 a ， b 为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为 ______. 答案 解析 ∵ | a ＋ b | 2 － | a － b | 2 ＝ 4 a·b ＝ 4| a || b |cos ＝ 4>0 ， ∴ | a ＋ b |>| a － b | ，又 | a － b | 2 ＝ a 2 ＋ b 2 － 2a·b ＝ 3 ， ∴ | a － b | ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9. 已知 | a | ＝ 2| b | ≠ 0 ，且关于 x 的函数 f ( x ) ＝ x 3 ＋ | a | x 2 ＋ a · b x 在 R 上有极值 ， 则 向量 a 与 b 的夹角的范围是 __________. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设 a 与 b 的夹角为 θ . ∴ f ′ ( x ) ＝ x 2 ＋ | a | x ＋ a · b . ∵ 函数 f ( x ) 在 R 上有极值， ∴ 方程 x 2 ＋ | a | x ＋ a · b ＝ 0 有两个不同的实数根 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 圆 ( x － 2) 2 ＋ y 2 ＝ 4 的圆心 C (2,0) ，半径为 2 ， 圆 M ( x － 2 － 5cos θ ) 2 ＋ ( y － 5sin θ ) 2 ＝ 1 ，圆心 M (2 ＋ 5cos θ ， 5sin θ ) ，半径为 1 ， ∵ CM ＝ 5 ＞ 2 ＋ 1 ，故两圆相离 . 如图所示，设直线 CM 和圆 M 交于 H ， G 两点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解 答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设 M ( x ， y ) 为所求轨迹上任一点， 设 A ( a, 0) ， Q (0 ， b )( b ＞ 0) ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ∴ b ＞ 0 ， y ＞ 0 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解 答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 已知 m ⊥ n ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解 答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解 答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设 P ( x ， y ) ，则 Q (8 ， y ). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解 答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13