2015年数学理高考课件4-2 平面向量基本定理及坐标表示 36页

[ 最新考纲展示 ] 　 1 ． 了解平面向量基本定理及其意义．　 2. 掌握平面向量的正交分解及坐标表示．　 3. 会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．　 4. 理解用坐标表示的平面向量共线的条件 . 第二节　平面向量基本定理及坐标表示 平面向量基本定理 如果 e 1 ， e 2 是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任意向量 a ，有且只有一对实数 λ 1 ， λ 2 ，使 a ＝ λ 1 e 1 ＋ λ 2 e 2 ，其中不共线的向量 e 1 ， e 2 叫表示这一平面内所有向量的一组基底． 不共线 ____________________[ 通关方略 ]____________________ 1 ．平面内任意两个不共线的向量都可以作为这个平面的基底．单位正交基底是进行向量运算最简单的一组基底； 2 ．平面内任一向量都可以表示为给定基底的线性组合，并且表示方法是唯一的．但不同的基底表示形式是不同的． 3 ．用基底表示向量的实质是向量的线性运算． 答案： B 平面向量的坐标运算 1 ．向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设 a ＝ ( x 1 ， y 1 ) ， b ＝ ( x 2 ， y 2 ) ，则 a ＋ b ＝ ， a － b ＝ ， λ a ＝ ， | a | ＝ . 2 ．向量坐标的求法 (1) 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标； ( x 1 ＋ x 2 ， y 1 ＋ y 2 ) ( x 1 － x 2 ， y 1 － y 2 ) ( λx 1 ， λy 1 ) ( x 2 － x 1 ， y 2 － y 1 ) ____________________[ 通关方略 ]____________________ 1 ．相等的向量坐标相同． 2 ．向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关． 2 ．若向量 a ＝ (1,1) ， b ＝ ( － 1,1) ， c ＝ (4,2) ，则 c ＝ ( 　　 ) A ． 3 a ＋ b 　　　　 B ． 3 a － b C ．－ a ＋ 3 b D ． a ＋ 3 b 答案： B 3 ．若平面向量 a ， b 满足 | a ＋ b | ＝ 1 ， a ＋ b 平行于 y 轴， a ＝ (2 ，－ 1) ，则 b ＝ ________. 解析： 设 b ＝ ( x ， y ) ，则 a ＋ b ＝ ( x ＋ 2 ， y － 1) ． ∵ | a ＋ b | ＝ 1 ， ∴ ( x ＋ 2) 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 1. 又 ∵ a ＋ b 平行于 y 轴， ∴ x ＝－ 2 ，代入上式，得 y ＝ 0 或 2. ∴ b ＝ ( － 2,0) 或 b ＝ ( － 2,2) ． 答案： ( － 2,0) 或 ( － 2,2) 平面向量共线的坐标表示 设 a ＝ ( x 1 ， y 1 ) ， b ＝ ( x 2 ， y 2 ) ，其中 b ≠ 0 ，当且仅当 时，向量 a ， b 共线． x 1 y 2 － x 2 y 1 ＝ 0 4 ． (2014 年广州模拟 ) 已知向量 a ＝ (2,1) ， b ＝ ( x ，－ 2) ，若 a ∥ b ，则 a ＋ b 等于 ( 　　 ) A ． ( － 2 ，－ 1) B ． (2,1) C ． (3 ，－ 1) D ． ( － 3,1) 解析： 由 a ∥ b 可得 2 × ( － 2) － 1 × x ＝ 0 ，故 x ＝－ 4 ，所以 a ＋ b ＝ ( － 2 ，－ 1) ，故选 A. 答案： A 5 ．已知向量 a ＝ (1,2) ， b ＝ ( x, 1) ， u ＝ a ＋ 2 b ， v ＝ 2 a － b ，且 u ∥ v ，则实数 x 的值为 ________ ． 平面向量基本定理 反思总结 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算，基本方法有两种： (1) 运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止； (2) 将待求向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解． 答案： B 平面向量的坐标运算 [ 答案 ] 　 A 反思总结 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行的．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及运算法则的正确使用． 答案： D 向量共线的坐标表示 [ 答案 ] 　 (1)B 　 (2)A 反思总结 利用两向量共线解题的技巧 (1) 一般地，在求与一个已知向量 a 共线的向量时，可设所求向量为 λ a ( λ ∈ R ) ，然后结合其他条件列出关于 λ 的方程，求出 λ 的值后代入 λ a 即可得到所求的向量． (2) 如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用 “ 若 a ＝ ( x 1 ， y 1 ) ， b ＝ ( x 2 ， y 2 ) ，则 a ∥ b 的充要条件是 x 1 y 2 ＝ x 2 y 1 ” 解题比较方便． 答案： D —— 向量问题坐标化 向量具有代数和几何的双重特征，比如向量运算的平行四边形法则、三角形法则、平面向量基本定理等都可以认为是从几何的角度来研究向量的特征；而引入坐标后，就可以通过代数运算来研究向量，凸显出了向量的代数特征，为用代数的方法研究向量问题奠定了基础．在处理很多与向量有关的问题时，坐标化是一种常见的思路，利用坐标可以使许多问题变得更加简捷． [ 答案 ] 　 2 由题悟道 本题的关键是抓住结果为定值，巧妙地将三角形特殊化后建系，易求比值．体现了坐标运算的简便性． 由题悟道 本题首先通过建立平面直角坐标系，引入向量的坐标运算，然后用三角函数的知识求出 x ＋ y 的最大值．引入向量的坐标运算使得本题比较容易解决，体现了坐标法解决问题的优势． 本小节结束 请按 ESC 键返回