高考文科数学复习备课课件：第二节　平面向量基本定理及坐标表示 23页

文数 课标版 第二节　平面向量基本定理及坐标表示 1.平面向量的基本定理 如果 e 1 、 e 2 是同一平面内的两个① 　不共线     向量,那么对于这一平面 内的任一向量 a ,② 　有且只有     一对实数 λ 1 、 λ 2 ,使 a =③      λ 1 e 1 + λ 2 e 2      . 其中,不共线的向量 e 1 、 e 2 叫做表示这一平面内所有向量的一组 ④ 　基底     . 教材研读 2.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设 a =( x 1 , y 1 ), b =( x 2 , y 2 ),则 a + b =⑤ 　( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 )     , a - b =⑥ 　( x 1 - x 2 , y 1 - y 2 )     , λ a =⑦ 　( λx 1 , λy 1 )     ,| a |=⑧             . (2)向量坐标的求法 (i)若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标. (ii)设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ),则   =⑨ 　( x 2 - x 1 , y 2 - y 1 )     ,|   |=⑩             . 3.平面向量共线的坐标表示 设 a =( x 1 , y 1 ), b =( x 2 , y 2 ),其中 b ≠ 0 ,则 a ∥ b ⇔        x 1 y 2 - x 2 y 1 =0     . 判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“ × ”) (1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底.   ( × ) (2)同一向量在不同基底下的表示是相同的.   ( × ) (3)在△ ABC 中,向量   ,   的夹角为∠ ABC .   ( × ) (4)设 a , b 是平面内的一组基底,若实数 λ 1 , μ 1 , λ 2 , μ 2 满足 λ 1 a + μ 1 b = λ 2 a + μ 2 b ,则 λ 1 = λ 2 , μ 1 = μ 2 .   (√) (5)若两个向量的终点不同,则这两个向量的坐标一定不同.( × ) (6)当向量的始点在坐标原点时,向量终点的坐标就是向量的坐标.   (√) (7)若 a =( x 1 , y 1 ), b =( x 2 , y 2 ),则 a ∥ b 的充要条件可表示成   =   .   ( × ) 1.如果 e 1 , e 2 是平面 α 内一组不共线的向量,那么下列四组向量中,不能作 为平面内所有向量的一组基底的是   (　　) A. e 1 与 e 1 + e 2 　　 B. e 1 -2 e 2 与 e 1 +2 e 2 C. e 1 + e 2 与 e 1 - e 2 　　D. e 1 +3 e 2 与6 e 2 +2 e 1 答案     D　选项A中,设 e 1 + e 2 = λ e 1 ,则   无解; 选项B中,设 e 1 -2 e 2 = λ ( e 1 +2 e 2 ),则   无解; 选项C中,设 e 1 + e 2 = λ ( e 1 - e 2 ),则   无解; 选项D中, e 1 +3 e 2 =   (6 e 2 +2 e 1 ),所以两向量是共线向量. 2.若向量 a =(2,1), b =(-1,2), c =   ,则 c 可用向量 a , b 表示为   (　　) A.   a + b 　　B.-   a - b C.   a +   b 　　D.   a -   b 答案     A　设 c = x a + y b ,则   =(2 x - y , x +2 y ), 所以   解得   则 c =   a + b . 3.已知点 M (5,-6)和向量 a =(1,-2),若   =-3 a ,则点 N 的坐标为   (　　) A.(2,0)　    B.(-3,6) C.(6,2)　    D.(-2,0) 答案     A       =-3 a =-3(1,-2)=(-3,6), 设 N ( x , y ),则   =( x -5, y +6)=(-3,6), 所以   即   故点 N 的坐标为(2,0). 4.已知 a =(4,5), b =(8, y ),且 a ∥ b ,则 y 等于   (　　) A.5　    B.10　    C.   　    D.15 答案     B　∵ a ∥ b ,∴4 y =5 × 8,即 y =10. 5.在平面直角坐标系中,已知   =(-1,3),   =(2,-1),则|   |= 　　　     . 答案 　5 解析        =   -   =(2,-1)-(-1,3)=(3,-4),∴|   |=5. 6.已知向量   =( k ,12),   =(4,5),   =(- k ,10),且 A 、 B 、 C 三点共线,则 k = 　　　     . 答案 　-   解析        =   -   =(4- k ,-7),   =   -   =(-2 k ,-2),因为 A 、 B 、 C 三点共 线,即   与   共线,所以   =   ( k ≠ 0),解得 k =-   . 考点一　平面向量基本定理及其应用 典例1 　(1)△ ABC 中,点 D 在边 AB 上, CD 平分∠ ACB .若   = a ,   = b ,| a |=1, | b |=2,则   =   (　　) A.   a +   b 　　B.   a +   b 　　C.   a +   b 　　D.   a +   b (2)在平行四边形 ABCD 中, E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点,有   = λ   + μ   ,其中 λ , μ ∈R,则 λ + μ = 　　　     . 答案　 (1)B　(2)   解析　 (1)由题意得|   |=2|   |,即有   =     =   (   -   )=   ( a - b ).从而   =   +   = b +   ( a - b )=   a +   b .故选B. (2)如图. 考点突破   ∵四边形 ABCD 为平行四边形,且 E 、 F 分别为 CD 、 BC 的中点, ∴   =   +   =(   -   )+(   -   ) =(   +   )-   (   +   )=(   +   )-     , ∴   =   (   +   ),∴ λ = μ =   ,∴ λ + μ =   . 方法指导 用平面向量基本定理解决问题的一般思路 (1)先选择一组基底,并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该 组基底的线性组合,再进行向量的运算. (2)在基底未给出的情况下,合理地选取基底会给解题带来方便,另外,要 熟练运用线段中点的向量表达式. 注意:零向量和共线向量不能作基底. 1-1 　如图,在△ OAB 中, P 为线段 AB 上的一点,   = x   + y   ,且   =2   , 则   (　　)   A. x =   , y =   　    B. x =   , y =   C. x =   , y =   　    D. x =   , y =   答案     A　由题意知   =   +   ,又   =2   ,所以   =   +     =   +   (   -   )=     +     ,所以 x =   , y =   . 1-2     (2017山东临沂期中)在△ ABC 中,若点 E 满足   =3   ,   = λ 1   + λ 2   ,则 λ 1 + λ 2 = 　　　     . 答案　 1 解析　∵   =3   ,∴   =     =   (   -   ), ∴   =   +   =   -   (   -   ) =     +     , 故 λ 1 + λ 2 =1. 考点二　平面向量的坐标运算 典例2 　已知 A (-2,4), B (3,-1), C (-3,-4),设   = a ,   = b ,   = c ,且   =3 c ,   =-2 b .求: (1)3 a + b -3 c ; (2)满足 a = m b + n c 的实数 m , n ; (3) M , N 的坐标及向量   的坐标. 解析　 由已知得 a =(5,-5), b =(-6,-3), c =(1,8). (1)3 a + b -3 c =3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42). (2)∵ m b + n c =(-6 m + n ,-3 m +8 n )=(5,-5), ∴   解得   (3)设 O 为坐标原点, ∵   =   -   =3 c , ∴   =3 c +   =(3,24)+(-3,-4)=(0,20), ∴ M (0,20). 又∵   =   -   =-2 b , ∴   =-2 b +   =(12,6)+(-3,-4)=(9,2), ∴ N (9,2),∴   =(9,-18). 方法指导 平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求 解的,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求向量的坐标. (2)解题过程中,常利用向量相等则其坐标相同这一原则,通过列方程 (组)进行求解. 2-1 　已知点 A (-1,5)和向量 a =(2,3),若   =3 a ,则点 B 的坐标为   (　　) A.(7,4)　    B.(7,14)　    C.(5,4)　    D.(5,14) 答案     D　设点 B 的坐标为( x , y ), 则   =( x +1, y -5). 由   =3 a ,得   解得   故点 B 的坐标为(5,14). 2-2　 在△ ABC 中,点 P 在 BC 上,且   =2   ,点 Q 是 AC 的中点,若   =(4,3),   =(1,5),则   =   (　　) A.(-2,7)　    B.(-6,21)　    C.(2,-7)　    D.(6,-21) 答案     B　∵   =2   , ∴   =3   =3(   +   ). ∵ Q 是 AC 的中点,∴   =2   , 又   =   +   , ∴   =3[   +2(   +   )]=(-6,21). 考点三　平面向量共线的坐标表示 典例3 　平面内给定三个向量 a =(3,2), b =(-1,2), c =(4,1). (1)求满足 a = m b + n c 的实数 m , n ; (2)若( a + k c )∥(2 b - a ),求实数 k . 解析　 (1)由题意得(3,2)= m (-1,2)+ n (4,1), ∴   解得   (2) a + k c =(3+4 k ,2+ k ),2 b - a =(-5,2), 由题意得2 × (3+4 k )-(-5) × (2+ k )=0. ∴ k =-   . 1.向量共线的两种表示形式 若 a ∥ b ( b ≠ 0 ),则① a = λ b ;② x 1 y 2 - x 2 y 1 =0( a =( x 1 , y 1 ), b =( x 2 , y 2 )).至于使用哪种形 式,应视题目的具体条件而定,一般涉及坐标时应用②. 规律总结 2.与向量共线有关的题型有:(1)证三点共线;(2)已知两向量共线,求相关 参数. 解决第(1)种问题时,可先证明相关两向量共线,再说明两向量有公共点; 解决第(2)种问题时,可先利用向量共线的充要条件列方程(组),再求解. 变式3-1 　在本例条件下,若 d 满足( d - c )∥( a + b ),且| d - c |=   ,求 d . 解析 　设 d =( x , y ),因为 a =(3,2), b =(-1,2), c =(4,1),所以 d - c =( x -4, y -1), a + b =(2, 4), 由题意得   解得   或   ∴ d =(3,-1)或 d =(5,3). 变式3-2 　在本例条件下,若 m a + n b 与 a -2 b 共线,求   的值. 解析 　易得 m a + n b =(3 m - n ,2 m +2 n ), a -2 b =(5,-2). 由题意得-2(3 m - n )-5(2 m +2 n )=0. ∴   =-   .