高科数学专题复习课件：第五章 5_3平面向量的数量积 57页

§5.3 　 平面向量的数量积 基础知识 　 自主学习 课时作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 基础知识　自主学习 1. 向量的夹角 已知两个非零向量 a 和 b ，作 ＝ a ， ＝ b ，则 就是向量 a 与 b 的夹角，向量夹角的范围是： . 知识梳理 ∠ AOB [0 ， π] 定义 设两个非零向量 a ， b 的夹角为 θ ，则数量 叫做 a 与 b 的数量积，记作 a · b 投影 叫做向量 a 在 b 方向上的投影， 叫做向量 b 在 a 方向上的投影 几何意义 数量积 a · b 等于 a 的长度 | a | 与 b 在 a 的方向上的投影 的乘积 2. 平面向量的数量积 | a || b |·cos θ | a |cos θ | b |cos θ | b |cos θ 3. 平面向量数量积的性质 设 a ， b 都是非零向量， e 是单位向量， θ 为 a 与 b ( 或 e ) 的夹角 . 则 (1) e · a ＝ a · e ＝ | a |cos θ . (2) a ⊥ b ⇔ . (3) 当 a 与 b 同向时， a · b ＝ | a || b | ； 当 a 与 b 反向时， a · b ＝－ | a || b |. 特别地， a · a ＝ 或 | a | ＝ . (4)cos θ ＝ . (5)| a · b | ≤ . a · b ＝ 0 | a || b | | a | 2 4. 平面向量数量积满足的运算律 (1) a·b ＝ ； (2)( λ a )· b ＝ ＝ ( λ 为实数 ) ； (3)( a ＋ b )· c ＝ . 5. 平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量 a ＝ ( x 1 ， y 1 ) ， b ＝ ( x 2 ， y 2 ) ，则 a·b ＝ ， 由此得到 (1) 若 a ＝ ( x ， y ) ，则 | a | 2 ＝ 或 | a | ＝ . (2) 设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ，则 A ， B 两点间的距离 AB ＝ | | ＝ . b·a λ(a·b) a·(λb) a·c ＋ b·c x 1 x 2 ＋ y 1 y 2 x 2 ＋ y 2 (3) 设两个非零向量 a ， b ， a ＝ ( x 1 ， y 1 ) ， b ＝ ( x 2 ， y 2 ) ， 则 a ⊥ b ⇔ 　　　　　　　 . (4) 若 a ， b 都是非零向量， θ 是 a 与 b 的夹角 ， 则 cos θ ＝ 　　 ＝ 　　　　　　　　 . x 1 x 2 ＋ y 1 y 2 ＝ 0 1. 两个向量 a ， b 的夹角为锐角 ⇔ a·b >0 且 a ， b 不共线； 两个向量 a ， b 的夹角为钝角 ⇔ a·b <0 且 a ， b 不共线 . 2. 平面向量数量积运算的常用公式 (1)( a ＋ b )·( a － b ) ＝ a 2 － b 2 . (2)( a ＋ b ) 2 ＝ a 2 ＋ 2 a·b ＋ b 2 . (3)( a － b ) 2 ＝ a 2 － 2 a·b ＋ b 2 . 知识 拓展 × × × √ √ 思考辨析 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1) 向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量 .( 　 　 ) (2) 两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量 .( 　 　 ) (3) 由 a · b ＝ 0 可得 a ＝ 0 或 b ＝ 0 .( 　 　 ) (4)( a · b ) c ＝ a ( b · c ).( 　 　 ) (5) 两个向量的夹角的范围是 [0 ， ].( 　 　 ) 1.( 教材改编 ) 已知向量 a ＝ (2,1) ， b ＝ ( － 1 ， k ) ， a· ( 2a － b ) ＝ 0 ，则 k 等于 A . － 12 B.6 C. － 6 D.12 考点自测 ∵ 2 a － b ＝ (4,2) － ( － 1 ， k ) ＝ (5,2 － k ) ， 由 a ·(2 a － b ) ＝ 0 ，得 (2,1)·(5,2 － k ) ＝ 0 ， ∴ 10 ＋ 2 － k ＝ 0 ，解 得 k ＝ 12 . 答案 解析 2.( 2017· 南宁质检 ) 已知向量 a 与 b 的夹角为 30° ，且 | a | ＝ 1 ， |2 a － b | ＝ 1 ，则 | b | 等于 答案 解析 4 a 2 － 4 a·b ＋ b 2 ＝ 1 ， 3.(2015· 广东 ) 在平面直角坐标系 xOy 中，已知四边形 ABCD 是平行四边形， 答案 解析 A.5 B.4 C.3 D.2 ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形， 答案 解析 设 a 与 b 的夹角为 θ ， 5.(2016· 厦门模拟 ) 设 x ∈ R ，向量 a ＝ ( x, 1) ， b ＝ (1 ，－ 2) ，且 a ⊥ b ，则 | a ＋ b | ＝ ____. 答案 解析 ∵ a ⊥ b ， ∴ a·b ＝ 0 ，即 x － 2 ＝ 0 ， ∴ x ＝ 2 ， ∴ a ＝ (2,1) ， ∴ a 2 ＝ 5 ， b 2 ＝ 5 ， 题型分类　深度剖析 例 1 　 (1)(2016· 天津 ) 已知 △ ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D ， E 分别是边 AB ， BC 的中点，连接 DE 并延长到点 F ，使得 DE ＝ 2 EF ，则 的 值为 题型一　平面向量数量积的运算 答案 解析 如图，由条件可知 因为 △ ABC 是边长为 1 的等边三角形， (2) 已知正方形 ABCD 的边长为 1 ，点 E 是 AB 边上的动点， 则 的 值 为 __ ； 的 最大值 为 __. 答案 解析 1 1 几何画板展示 方法一 　以射线 AB ， AD 为 x 轴 ， y 轴的正方向建立平面直角坐标系 ， 则 A (0 ， 0) ， B (1,0) ， C (1,1) ， D (0,1) ， 设 E ( t, 0) ， t ∈ [0,1] ， 方法二 　由图知 ，无论 E 点在哪个位置， 平面向量数量积的三种运算方法 (1) 当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解 ，即 a·b ＝ | a || b | cos 〈 a ， b 〉 . (2) 当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若 a ＝ ( x 1 ， y 1 ) ， b ＝ ( x 2 ， y 2 ) ，则 a·b ＝ x 1 x 2 ＋ y 1 y 2 . (3) 利用数量积的几何意义求解 . 思维 升华 跟踪训练 1 　 则 ∠ ABC 等于 答案 解析 A.30° B.45° C.60 ° D.120 ° 又 ∵ 0° ≤∠ ABC ≤ 180° ， ∴∠ ABC ＝ 30°. (2)(2015· 天津 ) 在等腰梯形 ABCD 中，已知 AB ∥ DC ， AB ＝ 2 ， BC ＝ 1 ， ∠ ABC ＝ 60°. 点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上， 答案 解析 在等腰梯形 ABCD 中， AB ∥ DC ， AB ＝ 2 ， BC ＝ 1 ， ∠ ABC ＝ 60° ∴ CD ＝ 1 ， 例 2 　 题型二　平面向量数量积的应用 答案 解析 命题点 1 　求向量的模 2 (2) 在平面直角坐标系中， O 为原点 ， 答案 解析 动点 即动点 D 的轨迹为以点 C 为圆心的单位圆 . 例 3 向量 a ＝ 3 e 1 － 2 e 2 与 b ＝ 3 e 1 － e 2 的夹角为 β ，则 cos β ＝ ____. 答案 解析 命题 点 2 　求向量的夹角 因为 b 2 ＝ (3 e 1 － e 2 ) 2 ＝ 9 － 2 × 3 × 1 × 1 2 × cos α ＋ 1 ＝ 8 ， 所以 | b | ＝ 2 ， 因为 a 2 ＝ (3 e 1 － 2 e 2 ) 2 ＝ 9 － 2 × 3 × 2 × 1 2 × cos α ＋ 4 ＝ 9 ， 所以 | a | ＝ 3 ， ∵ 2 a － 3 b 与 c 的夹角为钝角 ， ∴ (2 a － 3 b )· c ＜ 0 ， 即 (2 k － 3 ，－ 6)·(2,1) ＜ 0 ， ∴ 4 k － 6 － 6 ＜ 0 ， ∴ k ＜ 3. 又若 (2 a － 3 b ) ∥ c ，则 2 k － 3 ＝－ 12 ，即 k ＝－ . 当 k ＝－ 时 ， 2 a － 3 b ＝ ( － 12 ，－ 6) ＝－ 6 c ， 即 2 a － 3 b 与 c 反向 . 综上， k 的取值范围 为 . (2) 若向量 a ＝ ( k, 3) ， b ＝ (1,4) ， c ＝ (2,1) ，已知 2 a － 3 b 与 c 的夹角为钝角 ， 则 k 的取值范围是 _____________________. 答案 解析 思维 升华 平面向量数量积求解问题的策略 (1) 求两向量的夹角： cos θ ＝ ， 要注意 θ ∈ [ 0 ， π ]. (2) 两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是： a ⊥ b ⇔ a·b ＝ 0 ⇔ | a － b | ＝ | a ＋ b |. (3) 求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法 有： 跟踪训练 2 　 9 答案 解析 答案 解析 (1) 若 m ⊥ n ，求 tan x 的值； 例 4 　 (2015· 广东 ) 在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 m ＝ ， n ＝ (sin x ， cos x ) ， x ∈ . 题型三　平面向量与三角函数 解 答 所以 sin x ＝ cos x ，所以 tan x ＝ 1. (2) 若 m 与 n 的夹角 为 ， 求 x 的值 . 解 答 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 (1) 题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解 . (2) 给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等 . 思维 升华 跟踪训练 3 　 由题意知 6sin 2 α ＋ cos α ·(5sin α － 4cos α ) ＝ 0 ， 即 6sin 2 α ＋ 5sin α cos α － 4cos 2 α ＝ 0 ， 上述 等式两边同时除以 cos 2 α ，得 6tan 2 α ＋ 5tan α － 4 ＝ 0 ， 由于 α ∈ ， 则 tan α ＜ 0 ，解得 tan α ＝－ ，故 选 A. 答案 解析 由题意得， | a | ＝ 1 ，又 △ OAB 是以 O 为直角顶点的 等腰直角三角形， 答案 解析 1 所以 | a ＋ b | 2 ＝ | a | 2 ＋ | b | 2 ＝ 2 ， 解析 错 解中， cos θ <0 包含了 θ ＝ π ，即 反向 的情况，此时 a ＝ 1 ，故 夹角为钝角的充要条件是 0< a <2 且 a ≠ 1. 利用 数量积求向量夹角 现场纠错系列 6 错解展示 纠错心得 已知 直线 y ＝ 2 x 上一点 P 的横坐标为 a ，直线外有两个点 A ( － 1,1) ， B (3,3). 求使 向量 与 夹角 为钝角的充要条件 . 典 例 　 现场纠错 利用数量积的符号判断两向量夹角的范围时，不要忽视两向量共线 的 情况 ． 返回 课时作业 A. x ＝－ B. x ＝－ 1 C. x ＝ 5 D. x ＝ 0 1 . ( 2016· 北师大附中模拟 ) 已知向量 a ＝ ( x － 1,2) ， b ＝ (2,1) ，则 a ⊥ b 的充要条件 是 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A.2 B.2 C.4 D.12 2. 若向量 a ， b 满足 | a | ＝ | b | ＝ 2 ， a 与 b 的夹角为 60° ，则 | a ＋ b | 等于 √ 答案 解析 | a ＋ b | 2 ＝ | a | 2 ＋ | b | 2 ＋ 2| a || b |cos 60° ＝ 4 ＋ 4 ＋ 2 × 2 × 2 × ＝ 12 ， | a ＋ b | ＝ 2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.(2016· 山西四校二联 ) 已知平面向量 a ， b 满足 a ·( a ＋ b ) ＝ 3 ，且 | a | ＝ 2 ， | b | ＝ 1 ，则向量 a 与 b 夹角的正弦值为 √ 答案 解析 ∵ a ·( a ＋ b ) ＝ a 2 ＋ a · b ＝ 2 2 ＋ 2 × 1 × cos 〈 a ， b 〉＝ 4 ＋ 2cos 〈 a ， b 〉＝ 3 ， ∴ cos 〈 a ， b 〉＝－ ， 又 〈 a ， b 〉 ∈ [0 ， π] ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 . 如图，在 △ ABC 中 ，若 ， AB ＝ 2 ， AC ＝ 1 ， E ， F 为 BC 边的三等分点， 则 等于 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A. 正三角形 B . 直角三角形 C. 等腰三角形 D . 等腰直角三角形 √ 答案 解析 所以 △ ABC 是等腰三角形，故选 C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 √ 答案 解析 如图所示，取 BC 的中点 D ，连接 AD ， OD ，则由平面向量的加法的几何意义得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7. 在 △ ABC 中， M 是 BC 的中点， AM ＝ 3 ，点 P 在 AM 上，且 满足 ，则 的 值为 ___. － 4 答案 解析 由题意得， AP ＝ 2 ， PM ＝ 1 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 由三角形面积公式及已知条件知 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9.(2016· 江西白鹭洲中学调研 ) 已知在直角三角形 ABC 中， ∠ ACB ＝ 90° ， AC ＝ BC ＝ 2 ，点 P 是斜边 AB 上的中点， 则 ＝ __. 4 由题意可建立如图所示的坐标系， 可得 A (2,0) ， B (0,2) ， P (1,1) ， C (0 ， 0) ， 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13 建立如图所示坐标系， 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11. 已知 | a | ＝ 4 ， | b | ＝ 3 ， (2 a － 3 b )·(2 a ＋ b ) ＝ 61. (1) 求 a 与 b 的夹角 θ ； 解 答 因为 (2 a － 3 b )·(2 a ＋ b ) ＝ 61 ，所以 4| a | 2 － 4 a·b － 3| b | 2 ＝ 61 . 又 | a | ＝ 4 ， | b | ＝ 3 ，所以 64 － 4 a·b － 27 ＝ 61 ，所以 a·b ＝－ 6 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 | a ＋ b | 2 ＝ ( a ＋ b ) 2 ＝ | a | 2 ＋ 2 a·b ＋ | b | 2 ＝ 4 2 ＋ 2 × ( － 6) ＋ 3 2 ＝ 13 ， 所以 | a ＋ b | ＝ . (2) 求 | a ＋ b | ； 解 答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解 答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (1) 求 sin A 的值； 解 答 12. 在 △ ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，向量 m ＝ (cos( A － B ) ， sin( A － B )) ， n ＝ (cos B ，－ sin B ) ，且 m · n ＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解 答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 * 13 .(2016· 青岛模拟 ) 在平面直角坐标系中， O 为坐标原点，已知向量 a ＝ ( － 1,2) ，又点 A (8,0) ， B ( n ， t ) ， C ( k sin θ ， t )(0 ≤ θ ≤ ). 当 t ＝ 8 时， n ＝ 24 ；当 t ＝－ 8 时， n ＝－ 8 ， 解 答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13