2019年高考数学练习题汇总小题提速练（八） 7页

小题提速练(八) 一、选择题(本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．) 1．已知复数 z＝1－bi i (b∈R)的实部和虚部相等，则 b＝( ) A．－1 B．1 C．2 D．－2 解析：选 B.复数 z＝1－bi i ＝i＋b －1 ＝－b－i，因为复数 z 的实部和虚部相等，所以 b＝1. 2．已知集合 A＝{x|x2＞1}，B＝{x|(x2－1)(x2－4)＝0}，则集合 A∩B 中的元素个数为( ) A．2 B．1 C．3 D．4 解析：选 A.A＝{x|x＜－1 或 x＞1}，B＝{－2，－1，1，2}，A∩B＝{－2，2}，A∩B 中 有 2 个元素，故选 A. 3．已知角α，β满足 tan αtan β＝1 3 ，若 cos(α－β)＝4 5 ，则 cos(α＋β)的值为( ) A.1 5 B．2 3 C.2 5 D．3 5 解析：选 C.解法一：由 tan αtan β＝1 3 ，cos(α－β)＝4 5 得， sin αsin β cos αcos β ＝1 3 ， cos αcos β＋sin αsin β＝4 5 ， 解得 sin αsin β＝1 5 ， cos αcos β＝3 5 ， 故 cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝2 5. 解法二：设 cos(α＋β)＝x，即 cos αcos β－sin αsin β＝x ①，由 cos(α－β)＝4 5 得，cos αcos β＋sin αsin β＝4 5 ②，由①②得 cos αcos β＝2 5 ＋x 2 ，sin αsin β＝2 5 －x 2 ，两式相除得 tan αtan β ＝ 2 5 －x 2 2 5 ＋x 2 ＝1 3 ，解得 x＝2 5 ，故 cos(α＋β)＝2 5. 4．已知函数 f(x)＝ x2＋2，x＞0， 2cos x，x≤0， 则下列结论正确的是( ) A．f(x)是偶函数 B．f(x)是增函数 C．f(x)是周期函数 D．f(x)的值域为 1 2 ，＋∞ 解析：选 D.由函数 f(x)＝ x2＋2，x＞0， 2cos x，x≤0， 可知当 x＞0 时，f(x)＞2，当 x≤0 时，f(x)∈ 1 2 ，2 ， 故 f(x)的值域为 1 2 ，＋∞ ，排除选项 A、B、C，故选 D. 5．已知直线 m，平面α，β，p：“直线 m 与平面α，β所成的角相同”，q：“α∥β”，则 p 是 q 的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选 B.充分性：若“直线 m 与平面α，β所成的角相同”，以正方体 ABCDA1B1C1D1 为例，面对角线 A1D 与底面 ABCD 及侧面 ABB1A1 所成的角均为 45°，但底面 ABCD⊥侧面 ABB1A1，所以充分性不成立； 必要性：若“α∥β”，由线面角的定义及三角形的相似可知“直线 m 与平面α，β所成的角 相同”，所以必要性成立．故 p 是 q 的必要不充分条件，故选 B. 6．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为( ) A．9，2 B．10，2 C．9，1 2 D．9，－1 解析：选 D.当 n＝1 时，a＝1－1 a ＝1－1 2 ＝1 2 ；当 n＝2 时，a＝1－1 a ＝1－1 1 2 ＝－1；当 n ＝3 时，a＝1－1 a ＝1－ 1 －1 ＝2；当 n＝4 时，a＝1－1 a ＝1－1 2 ＝1 2 ；….则 a 的取值是周期为 3 的一组数，则由循环语句，当 n＝8 时，a＝－1，则 n＝9，跳出循环，执行输出，故选 D. 7．圆 C1：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0 和圆 C2：x2＋y2＋4 3y＝－3 的位置关系是( ) A．相离 B．外切 C．内切 D．相交 解析：选 D.圆 C1：(x－2)2＋(y＋1)2＝4，圆 C2：x2＋(y＋2 3)2＝9，则 C1(2，－1)，圆 C1 的半径 r1 为 2；C2(0，－2 3)，圆 C2 的半径 r2 为 3.两圆的圆心距 d＝ 22＋（2 3－1）2＝ 17－4 3∈(r2－r1，r2＋r1)，所以两圆的位置关系是相交．故选 D. 8．已知各项均为正的等比数列{an}，公比为 q，前 n 项和为 Sn，则“q＞1”是“S2＋2S6＞ 3S4”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 通解：选 A.因为等比数列{an}的各项均为正，所以 a1＞0.若 q＞1，则 S2＋2S6－3S4＝ a1（1－q2） 1－q ＋2a1（1－q6） 1－q －3a1（1－q4） 1－q ＝a1q2（1＋2q4－3q2） q－1 ＝a1q2（2q2－1）（q2－1） q－1 ＞0，所以 S2＋2S6＞3S4.而当 q＝1 时，S2＋2S6＞3S4 也成立．所以“q＞1”是“S2＋2S6＞3S4” 的充分不必要条件，故选 A. 优解：因为等比数列{an}的各项均为正，所以 q＞0，S2＞0.令 S2＋2S6－3S4＝q2S2(2q2－ 1)＞0，所以 q＞ 2 2 .所以“q＞1”是“S2＋2S6＞3S4”的充分不必要条件，故选 A. 9．已知函数 f(x)＝ax3＋ax2＋x＋b(a，b∈R)，则下列图象一定不能表示 f(x)的图象的是 ( ) 解析：选 D.结合选项，令 b＝0，f(x)＝ax3＋ax2＋x，则 f′(x)＝3ax2＋2ax＋1，分三种情 况讨论：当 a＝0 时，f′(x)＝1，f(x)单调递增；当 a＜0 时，方程 3ax2＋2ax＋1＝0 的判别式Δ ＝(2a)2－4×3a＞0，此时 f(x)不可能单调递减；当 a＞0 时，函数 f′(x)＝3ax2＋2ax＋1 不可能 恒小于 0，即函数 f(x)不可能在 R 上单调递减，结合各选项，知 f(x)的图象不可能为 D 中图 象，故选 D. 10．网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画的是某组合体的三视图，则该组合体的体 积是( ) A.2 3 3 ＋2 3π B．2 3 3 ＋16 3 π C．4＋16 3 π D．4 3 ＋2 3π 解析：选 D.观察题中三视图可知组合体的上部分是三棱锥，下部分是半径为 1 的半球， 其直观图如图 1 所示． 图 1 在棱长为 2 的正方体中画出符合三视图的三棱锥 ABEF，顶点 A，B，E，F 分别是正方 体棱的中点． 解法一：如图 2，取 EF 的中点 C，连接 AC，BC，则 EF⊥AC，EF⊥BC，所以 EF⊥平 面 ABC，AC＝BC＝ 5，AB＝2，所以 S△ABC＝1 2×2×2＝2，三棱锥 ABEF 的体积 V1＝1 3×S△ABC×EF ＝4 3.半球体积 V2＝1 2×4 3π×13＝2 3π.所以该组合体的体积 V＝V1＋V2＝4 3 ＋2 3π.故选 D. 图 2 解法二：如图 3，C，D 分别为正方体两棱的中点，连接 CD，G 为 CD 的中点，连接 EG，FG，过 CD，EF 作截面 EFDC，则正方体和三棱锥 ABEF 都被一分为二，因为 S△EFG ＝1 2×2×2＝2，所以三棱锥 ABEF 的体积 V1＝2×1 3×S△EFG×AG＝4 3 ，半球体积 V2＝1 2×4 3π×13＝2 3π. 所以该组合体的体积 V＝V1＋V2＝4 3 ＋2 3π.故选 D. 图 3 11．已知双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1 且垂直于 x 轴的直线与该双曲线的左支交于 A，B 两点，AF2，BF2 分别交 y 轴于 P，Q 两点，若△PQF2 的周长为 16，则 b a＋1 的最大值为( ) A.4 3 B．3 4 C.5 3 D．4 5 解析：选 A.如图 1，由已知条件得，△ABF2 的周长为 32，因为|AF2|＝2a＋|AF1|，|BF2| ＝2a＋|BF1|，|AF1|＝|BF1|＝b2 a ，所以 4a＋4b2 a ＝32，b2 a ＋a＝8，b2＋a2－8a＝0， 得 (a － 4)2＋b2＝16.设 k＝ b a＋1 ，则 k 表示点(a，b)与点(－1，0)连线的斜率，作出图形，如图 2，易 知 kmax＝4 3.故选 A. 12．已知函数 f(x)的定义域是 R，且满足 f(x)－f(－x)＝0，f(x＋2)－f(－x)＝0，当 x∈[ 0， 1]时，f(x)＝x 1 2·g(x)＝4x－2x－2 是定义域为 R 的函数． 给出以下四个命题： ①存在实数 a，使得关于 x 的方程|g(x)|＝a 有两个不相等的实根； ②存在 x0∈[0，1]，使得 g(－x0)＝－g(x0)； ③当 x∈(－∞，2]时，关于 x 的方程 f[g(x)]＝0 有 7 个实根； ④关于 x 的方程 g[f(x)]＝0 有 1 个实根． 其中正确命题的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选 B.因为 f(x)＝f(－x)，f(x＋2)＝f(－x)＝f(x)，所以 f(x)是偶函数，也是周期函数， 其最小正周期 T＝2.结合已知条件画出函数 f(x)的图象，如图所示． 图 1 命题①是真命题．当 a＝1 时，4x－2x－2＝±1，所以 4x－2x－3＝0 或 4x－2x－1＝0，解 得 2x＝1± 13 2 或 2x＝1± 5 2 ，又 2x＞0，所以 x＝log2 1＋ 13 2 或 x＝log2 1＋ 5 2 ，符合题意，所以 命题①是真命题．命题②是假命题．解方程 4－x－2－x－2＝－(4x－2x－2)，整理得(2x＋2－x)2 －(2x＋2－x)－6＝0，所以(2x＋2－x－3)(2x＋2－x＋2)＝0，因为 2x＋2－x＞0，所以 2x＋2－x－3＝0， 所以(2x)2－3×2x＋1＝0，解得 2x＝3± 5 2 .由 x0∈[0，1]，得 2x0∈[1，2]，而3± 5 2 ∉ [1，2]，所 以原方程在[0，1]上无解．所以在[0，1]上不存在 x0，使得 g(－x0)＝－g(x0)，命题②是假命 题． 命题③是真命题．设 t＝2x，由 x∈(－∞，2]，得 t∈(0，4]．构造函数φ(t)＝t2－t－2(4≥t ＞0)，则 g(x)＝φ(t)，函数φ(t)的图象如图 2 所示． 图 2 易得φ(t)∈ －9 4 ，10 ，结合函数 f(x)的图象可知，函数 f(x)在 －9 4 ，10 上有零点－2，0， 2，4，6，8，10， 当 g(x)分别等于－2，0，2，4，6，8，10 时，都只有一个实根．所以方程 f[g(x)]＝0 在 (－∞，2]上有 7 个实根，命题③是真命题． 命题④是假命题．函数 g(x)只有唯一零点 x＝1，所以 f(x)＝1，结合 f(x)的图象可知，当 f(x)＝1 时，x＝2k＋1，k∈Z，所以方程 g[f(x)]＝0 有无数个实根，且 x＝2k＋1，k∈Z，命题 ④是假命题．所以只有命题①③是真命题，故选 B. 二、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．) 13．某校共有学生 2 400 人，高一学生有 800 人，现对学生活动情况进行抽样调查，用 分层抽样的方法从所有学生中抽取 120 人，则从高一年级学生中应抽取________人． 解析：由题意得，抽取的比例为 1 20 ，因为从所有学生中抽取 120 人， 所以从高一年级学生中应抽取的人数为 800× 1 20 ＝40. 答案：40 14．已知向量 a＝(1，m)，|b|＝1，|a＋b|＝ 7，且向量 a，b 的夹角是 60°，则 m＝________． 解析：由|a＋b|＝ 7，得|a|2＋2a·b＋|b|2＝|a|2＋|a|＋1＝7，解得|a|＝2，所以 m2＋1＝2， 故 m＝± 3. 答案：± 3 15．已知在等差数列{an}中，{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝1，S13＝91，若Sk ak ＝6，则正整 数 k＝________． 解析：解法一：设等差数列{an}的公差为 d，则由 S13＝91，得 13a1＋13×（13－1） 2 d＝ 91，根据 a1＝1，得 d＝1，所以 an＝n，所以 Sk＝k（k＋1） 2 ，所以Sk ak ＝k＋1 2 ＝6，所以 k＝11. 解法二：在等差数列{an}中，S13＝91，根据等差数列的性质，可得 13a7＝91，即 a7＝7， 又 a1＝1，所以可得公差 d＝1，即 an＝n，所以 Sk＝k（k＋1） 2 ，所以Sk ak ＝k＋1 2 ＝6，所以 k＝ 11. 答案：11 16．如图，AB 是立于山顶上的电视塔，现借助升降机 CD 测量塔高，当在升降机底部 C 时，测得点 A 的仰角为 45°、点 B 的仰角为 60°；当升降机上升 10 米至 D 时，测得点 A 的仰角为 30°，则塔高 AB 为________米． 解析：在△ACD 中，∠ACD＝45°，∠ADC＝120°，得∠DAC＝15°，又 CD＝10，由正 弦定理 CD sin 15° ＝ AC sin 120° ，得 AC＝ 5 3 sin 15°.又在△ACB 中，∠ACB＝60°－45°＝15°，∠ABC＝ 30°，由正弦定理 AC sin 30° ＝ AB sin 15° ，得 AB＝ACsin 15° sin 30° ＝2× 5 3 sin 15°·sin 15°＝10 3. 答案：10 3