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- 2021-06-24 发布
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解答题滚动练2(A)
1.(2018·宁夏银川一中模拟)已知△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,sin A=(1-cos A).
(1)求A;
(2)若a=7,sin B+sin C=,求△ABC的面积.
解 (1)由于sin A=(1-cos A),
所以2sin cos =2sin2,tan =.
因为00时,g(x)在(-∞,ln a)上单调递减,
在(ln a,+∞)上单调递增.
(2)当x>0时,x2-x≤ex-ax-1,
即a≤-x-+1.
令h(x)=-x-+1(x>0),
则h′(x)=(x>0).
令F(x)=ex(x-1)-x2+1(x>0),
则F′(x)=x(ex-2)(x>0).
当x∈(0,ln 2)时,F′(x)<0,F(x)单调递减;
当x∈(ln 2,+∞)时,F′(x)>0,F(x)单调递增.
又F(0)=0,F(1)=0,所以当x∈(0,1)时,F(x)<0,
即h′(x)<0,h(x)单调递减;
当x∈(1,+∞)时,F(x)>0,
即h′(x)>0,h(x)单调递增.
所以h(x)min=h(1)=e-1,所以a∈(-∞,e-1].
5.在平面直角坐标系xOy中,已知动点M到定点F(1,0)的距离与到定直线x=3的距离之比为.
(1)求动点M的轨迹C的方程;
(2)已知P为定直线x=3上一点.
①过点F作FP的垂线交轨迹C于点G(G不在y轴上),求证:直线PG与OG的斜率之积是定值;
②若点P的坐标为(3,3),过点P作动直线l交轨迹C于不同的两点R,T,线段RT上的点H
满足=,求证:点H恒在一条定直线上.
(1)解 设M(x,y),则|MF|=,
点M到直线x=3的距离d=|x-3|,
由=,得=,
化简得+=1,
即动点M的轨迹C的方程为+=1.
(2)证明 因为P为直线x=3上的一点,
所以令P的坐标为(3,t).
①令G(x0,y0),由FG⊥FP,
得·=0,
即(x0-1,y0)·(2,t)=0,即ty0=2-2x0,
又因为点G(x0,y0)在椭圆+=1上,
所以y=2-,
而PG,OG的斜率分别为kPG=,kOG=,
于是kPG·kOG=====-,
即直线PG与OG的斜率之积为定值-.
②令==λ(λ>0),
则=λ,=λ,
令点H(x,y),R(x1,y1),T(x2,y2),
则
即即
由①×③,②×④,得
因为R(x1,y1),T(x2,y2)在椭圆+=1上,
所以
⑤×2+⑥×3,得
6x+9y=====6,
即2x+3y-2=0,
所以点H在定直线2x+3y-2=0上.
6.(2018·贵州省铜仁一中期末)已知在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(θ为参数).
(1)以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆C的极坐标方程;
(2)已知A(-2,0),B(0,2),圆C上任意一点M(x,y),求△ABM面积的最大值.
解 (1)圆C的参数方程为(θ为参数),
所以普通方程为(x-3)2+(y+4)2=4.
所以圆C的极坐标方程为ρ2-6ρcos θ+8ρsin θ+21=0.
(2)点M(x,y)到直线AB:x-y+2=0的距离为d=,
又|AB|==2,
∴△ABM的面积S=×|AB|×d=|2cos θ-2sin θ+9|=,
∵-1≤sin≤1,
∴S≤9+2.
所以△ABM面积的最大值为9+2.
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