高考数学专题复习教案： 定积分与微积分基本定理备考策略 3页

定积分与微积分基本定理备考策略 主标题：定积分与微积分基本定理备考策略 副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。‎ 关键词：定积分，应用，备考策略 难度：4‎ 重要程度：5‎ 内容考点一　定积分的计算 例1.(1)dx ‎ ‎　A. －1　　　 B. 1－　　 C. 1　 　　D. e－1‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用微积分定理，dx =，选C;‎ ‎(2).= .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用微积分定理得：=‎ ‎【备考策略】(1)用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数．此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加．‎ 考点二　利用定积分求平面图形的面积 ‎【例2】 (1)已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为(　　)．‎ A. B. ‎ C. D. ‎(2)曲线y＝x2与直线y＝kx(k>0)所围成的曲边图形的面积为，则k＝________.‎ 审题路线　(1)先求二次函数f(x)的解析式，再利用定积分的几何意义求面积．(2)先求交点坐标，确定积分区间，再利用定积分的几何意义求面积．‎ 解析　(1)设f(x)＝a(x＋1)(x－1)(a<0)．‎ 因为f(x)的图象过(0,1)点，所以－a＝1，即a＝－1.‎ 所以f(x)＝－(x＋1)(x－1)＝1－x2.‎ 所以S＝＝21－x2)dx ‎＝2＝2＝.‎ ‎(2)由得或 则曲线y＝x2与直线y＝kx(k>0)所围成的曲边梯形的面积为(kx－x2)dx＝＝－k3＝，即k3＝8，∴k＝2.‎ 答案　(1)B　(2)2‎ ‎【备考策略】 利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：(1)画出图形；(2)确定被积函数；(3)确定积分的上、下限，并求出交点坐标；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．‎ 求解时，注意要把定积分与利用定积分计算的曲线围成图形的面积区别开：定积分是一个数值(极限值)，可为正，可为负，也可为零，而平面图形的面积在一般意义上总为正．‎ 考点三　定积分在物理中的应用 ‎【例3】一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是(　　)．‎ A．1＋25ln 5 B．8＋25ln C．4＋25ln 5 D．4＋50ln 2‎ 解析　令v(t)＝0，得t＝4或t＝－(舍去)，‎ ‎∴汽车行驶距离s＝dt ‎＝[7t－t2＋25ln(1＋t)] ‎＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5.‎ 答案　C ‎【备考策略】 (1)利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式．‎ ‎(2)定积分在物理方面的应用中要注意各种具体问题中含有的物理意义．防止实际问题的物理意义不明确，导致把物理问题转化为定积分时出现错误．‎