高考数学专题复习教案： 等比数列及其前n项和 3页

等比数列及其前n项和 主标题：等比数列及其前n项和 副标题：为学生详细的分析等比数列及其前n项和的高考考点、命题方向以及规律总结。‎ 关键词：等比数列，等比数列前n项和，等比数列的判断 难度：3‎ 重要程度：5‎ 考点剖析：‎ ‎1．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式及前n项和公式．‎ ‎2．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．‎ ‎3．了解等比数列与指数函数的关系.‎ 命题方向：本部分在高考中常以选择题和填空题的形式出现，考查这两种数列的概念、基本性质、简单运算、通项公式、求和公式等，属于中档题；以解答题出现时，各省市的要求不太一样，有的考查等差、等比数列的通项公式与求和等知识，属于中档题；有的与函数、不等式、解析几何等知识结合考查，难度较大．‎ 规律总结：‎ ‎1．一个区别　等差数列的首项和公差可以为零，且等差中项唯一；而等比数列首项和公比均不为零，等比中项可以有两个值．如(1)中的“常数”，应为“同一非零常数”；(2)中，若b2＝ac，则不能推出a，b，c成等比数列，因为a，b，c为0时，不成立．‎ ‎2．两个防范　一是在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1或q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误，如(4)．‎ 二是运用等比数列的性质时，注意条件的限制，如(6)中当＝q＜0时，ln an＋1－ln an＝ln q无意义.‎ ‎1．等比数列的三种判定方法 ‎(1)定义：＝q(q是不为零的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列．‎ ‎(2)通项公式：an＝cqn－1(c、q均是不为零的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列．‎ ‎(3)等比中项法：a＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N*)⇔{an}是等比数列．‎ ‎2．等比数列的常见性质 ‎(1)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a；‎ ‎(2)若数列{an}、{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}、、{a}、{an·bn}、(λ≠0)仍然是等比数列；‎ ‎(3)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk；‎ ‎(4)公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn，当公比为－1时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不一定构成等比数列．‎ ‎3．求解等比数列的基本量常用的思想方法 ‎(1)方程的思想：等比数列的通项公式、前n项和的公式中联系着五个量：a1，q，n，an，Sn，已知其中三个量，可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是a1与q，在解题中根据已知条件建立关于a1与q的方程或者方程组，是解题的关键．‎ ‎(2)分类讨论思想：在应用等比数列前n项和公式时，必须分类求和，当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝；在判断等比数列单调性时，也必须对a1与q分类讨论．‎ ‎【知识梳理】‎ ‎1．等比数列的有关概念 ‎(1)等比数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示．‎ 数学语言表达式：＝q(n≥2)，q为常数．‎ ‎(2)等比中项 如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.‎ ‎2．等比数列的通项公式及前n项和公式 ‎(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；‎ 若等比数列{an}的第m项为am，公比是q，则其第n项an可以表示为an＝amqn－‎ m.‎ ‎(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.‎ ‎3．等比数列及前n项和的性质 ‎(1)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an.‎ ‎(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.‎ ‎(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.‎ ‎(4)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．‎