高考数学专题复习教案： 解三角形应用举例备考策略 4页

解三角形应用举例备考策略 主标题：解三角形应用举例备考策略 副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。‎ 关键词：距离测量，高度测量，仰角，俯角，方位角，方向角，备考策略 难度：3‎ 重要程度：5‎ 考点一　测量距离问题 ‎【例1】 要测量对岸A，B两点之间的距离，选取相距 km的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A，B之间的距离．‎ 解　如图所示，在△ACD中，‎ ‎∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，‎ ‎∴AC＝CD＝ km.‎ 在△BCD中，∠BCD＝45°，‎ ‎∠BDC＝75°，∠CBD＝60°.‎ ‎∴BC＝＝.‎ 在△ABC中，由余弦定理，得 AB2＝()2＋2－2×××cos 75°‎ ‎＝3＋2＋－＝5，‎ ‎∴AB＝(km)，∴A，B之间的距离为 km.‎ ‎【备考策略】 (1)测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题．然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题，然后运用正弦定理解决．‎ ‎(2)测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知两个角和一条边解三角形的问题，从而运用正弦定理解决．‎ 考点二　测量高度问题 ‎【例2】 如图，某人在塔的正东方向上的C处在与塔垂直的水平面内沿南偏西60°的方向以每小时6千米的速度步行了1分钟以后，在点D处望见塔的底端B在东北方向上，已知沿途塔的仰角∠AEB＝α，α的最大值为60°.‎ ‎(1)求该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了几分钟；‎ ‎(2)求塔的高AB.‎ 解　(1)依题意知，在△DBC中，∠BCD＝30°，∠DBC＝180°－∠DBF＝180°－45°＝135°，‎ CD＝6 000×＝100(米)，‎ ‎∠D＝180°－135°－30°＝15°，‎ 由正弦定理得＝，‎ ‎∴BC＝＝ ‎＝＝＝50(－1)(米)．‎ 在Rt△ABE中，tan α＝.‎ ‎∵AB为定长，‎ ‎∴当BE的长最小时，α取最大值60°，这时BE⊥CD.‎ 当BE⊥CD时，在Rt△BEC中，‎ EC＝BC·cos∠BCE＝50(－1)× ‎＝25(3－)(米)．‎ 设该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了t分钟，‎ 则t＝×60＝×60＝(分钟)．‎ ‎(2)由(1)知当α取得最大值60°时，BE⊥CD，‎ 在Rt△BEC中，BE＝BC·sin∠BCD，‎ ‎∴AB＝BE·tan 60°＝BC·sin∠BCD·tan 60°‎ ‎＝50(－1)××＝25(3－)(米)．‎ 即所求塔高AB为25(3－) 米．‎ ‎【备考策略】 (1)测量高度时，要准确理解仰、俯角的概念．‎ ‎(2)分清已知和待求，分析(画出)示意图，明确在哪个三角形内应用正、余弦定理．‎ ‎(3)注意竖直线垂直于地面构成直角三角形．‎ 考点三　测量角度问题 ‎【例3】 如图，在海岸A处，发现北偏东45°方向距A为(－1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A为2海里的C处的缉私船奉命以10海里/时的速度追截走私船．此时走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(注：≈2.449)．‎ 审题路线　分清已知条件和未知条件⇒设行驶t小时，则CD，BD可求⇒在△ABC中，用余弦定理求BC，用正弦定理求sin∠ABC⇒在△BCD中，用正弦定理求∠BCD⇒可推出BD＝BC⇒再求t⇒回到实际问题中去．‎ 解　设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则有CD＝10t(海里)，BD＝10t(海里)．‎ 在△ABC中，∵AB＝(－1)海里，AC＝2海里，∠BAC＝45°＋75°＝120°，根据余弦定理，可得 BC＝＝(海里)．‎ 根据正弦定理，可得 sin∠ABC＝＝＝.‎ ‎∴∠ABC＝45°，易知CB方向与正北方向垂直，‎ 从而∠CBD＝90°＋30°＝120°.‎ 在△BCD中，根据正弦定理，可得 sin∠BCD＝＝＝，‎ ‎∴∠BCD＝30°，∠BDC＝30°，‎ ‎∴BD＝BC＝海里，‎ 则有10t＝，t＝≈0.245小时＝14.7分钟．故缉私船沿北偏东60°方向，需14.7分钟才能追上走私船．‎ ‎【备考策略】(1)对于和航行有关的问题，要抓住时间和路程两个关键量，解三角形时将各种关系集中在一个三角形中利用条件求解．‎ ‎(2)根据示意图，把所求量放在有关三角形中，有时直接解此三角形解不出来，需要先在其他三角形中求解相关量．‎