高考数学复习练习第1部分 专题五 第一讲 预测演练提能 5页

一、选择题 1．已知点 P(3,2)与点 Q(1,4)关于直线 l 对称，则直线 l 的方程为( ) A．x－y＋1＝0 B．x－y＝0 C．x＋y＋1＝0 D．x＋y＝0 解析：选 A 由题意知直线 l 与直线 PQ 垂直，所以 kl＝－ 1 kPQ ＝－ 1 4－2 1－3 ＝1. 又因为直线 l 经过 PQ 的中点(2,3)， 所以直线 l 的方程为 y－3＝x－2，即 x－y＋1＝0. 2．(2013·长春模拟)已知直线 3x＋4y－3＝0 与直线 6x＋my＋14＝0 平行，则它们之间的 距离是( ) A.17 10 B.17 5 C．8 D．2 解析：选 D ∵直线 3x＋4y－3＝0 与直线 6x＋my＋14＝0 平行，∴6 3 ＝m 4 ≠－14 3 ，∴m ＝8，即直线 6x＋my＋14＝0 为 3x＋4y＋7＝0，∴两平行直线间的距离为 |7＋3| 32＋42 ＝2. 3．过点 P(0,1)与圆 x2＋y2－2x－3＝0 相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线 方程是( ) A．x＝0 B．y＝1 C．x＋y－1＝0 D．x－y＋1＝0 解析：选 C 圆 x2＋y2－2x－3＝0 的圆心为(1,0)，被圆截得的弦最长的直线过(1,0)点， 又直线过点 P(0,1)，所以直线方程为 x＋y－1＝0. 4．(2013·广东高考)直线 l 垂直于直线 y＝x＋1 且与圆 x2＋y2＝1 相切于第一象限的直线 方程是( ) A．x＋y－ 2＝0 B．x＋y＋1＝0 C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋ 2＝0 解析：选 A 因为所求直线 l(设斜率为 k)垂直于直线 y＝x＋1，所以 k·1＝－1，所以 k ＝－1.设直线 l 的方程为 y＝－x＋b(b＞0)，即 x＋y－b＝0，所以圆心到直线的距离为|－b| 2 ＝ 1，所以 b＝ 2.故 l 的方程为 x＋y－ 2＝0. 5．(2013·天津高考)已知过点 P(2,2) 的直线与圆(x－1)2＋y2＝5 相切， 且与直线 ax－y ＋1＝0 垂直， 则 a＝( ) A．－1 2 B．1 C．2 D.1 2 解析：选 C 由切线与直线 ax－y＋1＝0 垂直，得过点 P(2，2)与圆心(1,0)的直线与直 线 ax－y＋1＝0 平行，所以2－0 2－1 ＝a，解得 a＝2. 6．过坐标原点且与圆 x2－4x＋y2＋2＝0 相切的直线方程为( ) A．x＋y＝0 B．x＋y＝0 或 x－y＝0 C．x－y＝0 D．x＋ 3y＝0 或 x－ 3y＝0 解析：选 B 当直线的斜率 k 不存在时，过原点的直线方程为 x＝0，因为圆心(2,0)到此 直线的距离 2> 2(圆的半径)，此时不合题意；当斜率 k 存在时，设过原点的直线方程为 kx －y＝0，要使该直线与圆相切，则有 |2k| k2＋1 ＝ 2，解得 k＝±1.所以，切线方程为 x＋y＝0 或 x－y＝0. 7．已知圆 C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆 C2 与圆 C1 关于直线 x－y－1＝0 对称，则圆 C2 的方程为( ) A．(x＋2)2＋(y－2)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1 C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1 D．(x－2)2＋(y－2)2＝1 解析：选 B 圆 C2 的圆心与圆 C1 的圆心关于直线 x－y－1＝0 对称，设圆 C2 的圆心为(a， b)，则b－1 a＋1 ＝－1⇒a＋b＝0，且 a－1 2 ，b＋1 2 在直线 x－y－1＝0 上，解得 a＝2，b＝－2.所 以圆 C2 的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1. 8．由直线 y＝x＋2 上的点 P 向圆 C：(x－4)2＋(y＋2)2＝1 引切线 PT(T 为切点)，当|PT| 最小时，点 P 的坐标是( ) A．(－1,1) B．(0,2) C．(－2,0) D．(1,3) 解析：选 B 根据切线长、圆的半径和圆心到点 P 的距离的关系，可知|PT|＝ |PC|2－1， 故|PT|最小时，即|PC|最小，此时 PC 垂直于直线 y＝x＋2，则直线 PC 的方程为 y＋2＝－(x －4)，即 y＝－x＋2.联立方程 y＝x＋2， y＝－x＋2， 解得点 P 的坐标为(0,2)． 9．(2013·湖南高考)在等腰直角三角形 ABC 中，AB＝AC＝4，点 P 是边 AB 上异于 A， B 的一点，光线从点 P 出发，经 BC，CA 反射后又回到点 P(如图)．若光线 QR 经过△ABC 的重心，则 AP 等于( ) A．2 B．1 C.8 3 D.4 3 解析：选 D 以 AB，AC 所在直线分别为 x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则 A(0,0)， B(4,0)，C(0,4)，得△ABC 的重心 D 4 3 ，4 3 ，设 AP＝x，从而 P(x,0)，x∈(0,4)，由光的几何性 质可知点 P 关于直线 BC、AC 的对称点 P1(4，4－x)、P2(－x,0)与△ABC 的重心 D 4 3 ，4 3 共 线，所以 4 3 4 3 ＋x ＝ 4 3 －4－x 4 3 －4 ，求得 x＝4 3 ，即 AP＝4 3. 10．两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点， 则称两条平行线和圆“相交”；若两平行直线和圆没有公共点，则称两条平行线和圆“相 离”；若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相 切”．已知直线 l1：2x－y＋a＝0，l2：2x－y＋a2＋1＝0 和圆 x2＋y2＋2x－4＝0“相切”，则 a 应满足( ) A．a＞7 或 a＜－3 B．a＞ 6或 a＜－ 6 C．－3≤a≤－ 6或 6≤a≤7 D．a≥7 或 a≤－3 解析：选 C 依题意知：当两平行线与圆都相交时， 由 |2×－1＋a| 5 ＜ 5， |2×－1＋a2＋1| 5 ＜ 5， 得－ 6＜a＜ 6； 两条直线都和圆相离时， 由 |2×－1＋a| 5 ＞ 5， |2×－1＋a2＋1| 5 ＞ 5， 得 a＜－3 或 a＞7，所以两条直线和圆“相切”时 a 应满足－3≤a≤－ 6或 6≤a≤7. 二、填空题 11．(2013·山东高考)过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4 的弦，其中最短弦的长为 ________． 解析：最短弦为过点(3,1)，且垂直于点(3,1)与圆心的连线的弦，易知弦心矩 d＝ 3－22＋1－22＝ 2，所以最短弦长为 2 r2－d2＝2 22－ 22＝2 2. 答案：2 2 12．(2013·湖北高考)已知圆 O：x2＋y2＝5，直线 l：xcos θ＋ysin θ＝1 0<θ<π 2 .设圆 O 上 到直线 l 的距离等于 1 的点的个数为 k，则 k＝________. 解析：直线 l：xcos θ＋ysin θ＝1 0<θ<π 2 是单位圆 x2＋y2＝1 在第一象限部分的切线．圆 O：x2＋y2＝5 的圆心到直线 l 的距离为 1，故过原点 O 与 l 平行的直线 l1 与圆 O 的 2 个交点 到直线 l 的距离为 1，l1 关于 l 对称的直线 l2 与圆 O 也有 2 个交点，共 4 个． 答案：4 13．已知直线 l1：ax－y＋2a＋1＝0 和 l2：2x－(a－1)y＋2＝0(a∈R)，则 l1⊥l2 的充要条 件是 a＝________. 解析：l1⊥l2 的充要条件是 2a＋(a－1)＝0，解得 a＝1 3. 答案：1 3 14．当直线 l：y＝k(x－1)＋2 被圆 C：(x－2)2＋(y－1)2＝5 截得的弦最短时，k 的值为 ________． 解析：由题易知直线 l 过定点 P(1,2)，圆心 C(2,1)，由圆的几何性质可知，当圆心 C 与 点 P 的连线与直线 l 垂直时，直线 l 被圆 C 截得的弦最短，则 k×2－1 1－2 ＝－1，得 k＝1. 答案：1 15．已知圆 C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0 与圆 C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0， 若圆 C1 与圆 C2 相外切，则实数 m＝________. 解析：对于圆 C1 与圆 C2 的方程，配方得圆 C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9，圆 C2：(x＋1)2 ＋(y－m)2＝4，则 C1(m，－2)，r1＝3，C2(－1，m)，r2＝2. 如果圆 C1 与圆 C2 相外切，那么有|C1C2|＝r1＋r2，即 m＋12＋m＋22＝5， 则 m2＋3m－10＝0，解得 m＝－5 或 m＝2. 所以当 m＝－5 或 m＝2 时，圆 C1 与圆 C2 相外切． 答案：－5 或 2 16．已知圆 C1 的方程为(x＋3)2＋(y－1)2＝4，若直线 l 过点 A(4,0)，且被圆 C1 截得的弦 长为 2 3，则直线 l 的方程为______________． 解析：圆 C1 的圆心 C1(－3,1)，半径 r＝2.由题知 l 的斜率存在，可设直线 l 的方程为 y ＝k(x－4)，即 kx－y－4k＝0.C1(－3,1)到直线 l 的距离 d＝|－3k－1－4k| k2＋1 ＝|7k＋1| k2＋1 ，∴ 2 3 2 2 ＋ |7k＋1| k2＋1 2＝4，解得 k＝0 或 k＝－ 7 24. ∴直线 l 的方程为 y＝0 或 y＝－ 7 24(x－4)． 答案：y＝0 或 y＝－ 7 24(x－4)