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- 2021-06-24 发布
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高三同步测试
数学试卷(解析几何综合卷)
时间:90 分钟,满分:120 分
一、选择题(共 60 分,每小题 5 分,说明:选做题 3 选 2)
1. 从集合{1,2,3…,11}中任选两个元素作为椭圆方程
22
221xy
mn中的 m 和 n,则能组成落在
矩形区域 {( , ) || | 11, | | 9}B x y x y 且 内的椭圆个数为
A.43 B. 72 C. 86 D. 90
2. 若抛物线 pxy 22 的焦点与椭圆 126
22
yx 的右焦点重合,则 p 的值为
A. 2 B. 2 C. 4 D. 4
3. 短轴长为 5 ,离心率
3
2e 的椭圆两焦点为 F1,F2,过 F1 作直线交椭圆于 A、B 两点,则
△ABF2 的周长为)
A.3 B.6 C.12 D.24
4. 以双曲线 13
2
2 xy 的一个焦点为圆心,离心率为半径的圆的方程是
A. 4)2( 22 yx B. 2)2( 22 yx
C. 2)2( 22 yx D. 4)2( 22 yx
5. 抛物线 2
4
1 xy 的焦点坐标是
A.(
16
1 ,0) B.( 0, ) C.( 0,1) D.( 1,0)
6. 已知双曲线的中心在原点,焦点在 x 轴上,它的一条渐近线与 x 轴的夹角为 ,且
34
,则双曲线的离心率的取值范围是
A. )2,1( B. )2,2( C.( 1,2) D. )2,1(
7.(选作) 设 21,FF 分别是双曲线 19
2
2 yx 的左右焦点.若点 P 在双曲线上,且
021 PFPF 则 21 PFPF
A. 10 B. 102 C. 5 D. 52
8. 已知直线 422 yxayx 与圆 交于 A、B 两点,O 是坐标原点,向量OA、OB 满
足 |||| OBOAOBOA ,则实数 a 的值是
A.2 B.-2 C. 6 或- D.2 或-2
9. 直角坐标平面内,过点 P(2,1)且与圆 224xy相切的直线
A.有两条 B.有且仅有一条 C.不存在 D.不能确定
10. 双曲线
2
4
x -
2
12
y =1 的焦点到渐近线的距离为
A. 23 B.2 C. 3 D.1
11. (选作)点 P 在直线 :1l y x上,若存在过 P 的直线交抛物线 2yx 于 ,AB两点,
且
| | |PA AB ,则称点 P 为“ 点”,那么下列结论中正确的是
A.直线l 上的所有点都是“ 点”
B.直线l 上仅有有限个点是“ 点”
C.直线l 上的所有点都不是“ 点”
D.直线l 上有无穷多个点(点不是所有的点)是“ 点”
12. 下列曲线中离心率为 6
2
的是
A.
22
124
xy B.
22
142
xy C.
22
146
xy D.
22
14 10
xy
13. 经过圆 :C 22( 1) ( 2) 4xy 的圆心且斜率为 1 的直线方程为
A. 30xy B. 30xy
C. 10xy D. 30xy
二、填空题(共 30 分,每小题 5 分,说明:选作题 4 选 2,注明所选题号。)
14. 若双曲线的渐近线方程为 xy 3 ,它的一个焦点是 0,10 ,则双曲线的方程是
__________.
15. (选作)在平面直角坐标系 xOy 中,已知△ ABC 顶点 )0,2()0,2( CB 和 ,顶点 A 在椭圆
11216
22
yx 上,则
A
CB
sin
sinsin = 。
16. (选作)已知 F(C,0)是椭圆
22
221( 0)xy abab 的右焦点,以坐标原点 O 为圆心,
A 为半径作圆 P,过 F 垂直于 x 轴的直线与圆 P 交于 A,B 两点,过点 A 作圆 P 的切线交 x 轴
于点 M。若直线 l 过点 M 且垂直于 x 轴,则直线 l 的方程为 ;若|OA|=|AM|,则椭
圆的离心率等于 。
17. 过抛物线 2 2 ( 0)y px p的焦点 F 作直线l ,交抛物线于 ,AB两点,交其准线于C 点.
若 3CB BF ,则直线 的斜率为_________.
18. 已知动直线l 平分圆 22:( 2) ( 1) 1C x y ,则直线 与圆 3cos ,:(3sin
xO y
为参数)
的位置关系是_________.
19. (选作)若经过点 P(-1,0)的直线与圆 224 2 3 0x y x y 相切,则此直线在 y
轴上的截距是 ___ __.
20. 已知过点 ( 2,0)P 的双曲线C 与椭圆
22
125 9
xy有相同的焦点,则双曲线C 的渐近线
方程是
21. (选做)以知 F 是双曲线
22
14 12
xy的左焦点, (1,4),AP是双曲线右支上的动点
PF PA 的最小值为 。
三、解答题(共 30 分,每小题 15 分,说明解答题 6 选 2)
22. 已知 ABC 的三边长| |,| |,| |CB AB CA成 等 差 数 列 , 若 点 ,AB的坐标分别为
( 1,0),(1,0) .
(Ⅰ)求顶点C 的轨迹W 的方程;
(Ⅱ)若线段CA 的延长线交轨迹 于点 D ,当 52 | | 2CB ≤ 时,求线段 CD 的垂直平
分线l 与 x 轴交点的横坐标的取值范围.
23. 已知点(x, y) 在曲线 C 上,将此点的纵坐标变为原来的 2 倍,对应的横坐标不变,得到的点
满足方程 228xy;定点 M(2,1),平行于 OM 的直线l 在 y 轴上的截距为 m(m≠0),直线 与
曲线 C 交于 A、B 两个不同点.
(1)求曲线C 的方程;
(2)求 m 的取值范围.
24. 已知两点 M(2,0)、 N(-2,0),平面上动点 P 满足 0 NPMNMPMN
(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程。
(2)如果直线 )(04 Rmmyx 与曲线 C 交于 A、B 两点,那么在曲线 C 上是否存
在点 D,使得 ABC 是以 AB 为斜边的直角三角形?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,
请说明理由
25. 如图,过椭圆
22
221( 0)xy abab 的左焦点 1F 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P,点 A 和点
B 分别为椭圆的右顶点和上顶点,OP∥AB.
(1)求椭圆的离心率 e;
(2)过右焦点 2F 作一条弦 QR,使 QR⊥AB.若△ 1FQR 的面积为20 3 ,求椭圆的方程.
26. 以知椭圆
22
221( 0)xy abab 的两个焦点分别为 12( ,0) ( ,0)( 0)F c F c c和 ,过点
2
( ,0)aE c
的直线与椭圆相交与 ,AB两点,且 1 2 1 2/ / , 2F A F B F A F B 。
(1)求椭圆的离心率;
(2)求直线 AB 的斜率;
(3)设点 C 与点 A 关于坐标原点对称,直线 2FB上有一点 ( , )( 0)H m n m 在 1AFC 的外
接圆上,求 n
m
的值。
27. 已知,椭圆 C 以过点 A(1,
2
3 ),两个焦点为(—1,0)( 1,0)。
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;
(Ⅱ)E,F 是椭圆 C 上的两个动点,如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数,证明直线 EF
的斜率为定值,并求出这个定值。
一、选择题
1. B
2. D
3. B
4. D
5. C
6. B
7. B
8. D
9.A
10. A
11 A
12. B
13. A
二、填空题
14. 19
2
2 yx
15. 2
16. 2
2,
2
c
ax
17. 22k
18. 相交
19. 1
20. 30xy
21. 9
三、解答题
22. 解:(Ⅰ)因为| |,| |,| |CB AB CA 成等差数列,点 ,AB的坐标分别为( 1,0),(1,0)
所以| | | | 2| | 4CB CA AB 且 4 | |AB
由椭圆的定义可知点C 的轨迹是以 为焦点长轴为 4 的椭圆(去掉长轴的端点),
所以 2, 1, 3a c b .
故顶点 的轨迹W 方程为
22
1( 0)43
xy y
(Ⅱ)由题意可知直线 AC 的斜率存在,设直线 方程为 ( 1)y k x.
由 22
( 1),
1,43
y k x
xy
得
2 2 2 2(3 4 ) 8 4 12 0k x k x k ,
设 ,CD两点坐标分别为 1 1 2 2( , ),( , )x y x y ,
则
2
12 2
8
34
kxx k
, 1 2 1 2 2
6( 2) 34
ky y k x x k
,
所以线段CD 中点 E 的坐标为
2
22
43( , )3 4 3 4
kk
kk
,
故CD 垂直平分线l 的方程为
2
22
3 1 4()3 4 3 4
kkyxk k k
,
令 0y ,得 与 x 轴交点的横坐标为
2
2
2
1
334 4
kx k
k
,
由 52 | | 2CB得 1
152 (4 )22x ,解得 110x ,
又因为
22
2 11
22
11
12 3
( 1) 4( 1)
yxk xx
,所以 2 1
3
1
3 12() 2( 1)
xk x
.
当 时,有 2 1
3
1
3 12( ) 02( 1)
xk x
,此时函数
2
2 1
2
1
12 3
4( 1)
xk x
递减,
所以 2 3k .所以,
2
1 1 1
3454k
.
故直线 与 轴交点的横坐标的范围是 11( , ]45.
23. 解:(1)在曲线C 上任取一个动点 P(x, y),
则点(x,2y)在圆 228xy上.
所以有 22(2 ) 8xy. 整理得曲线 C 的方程为 128
22
yx .
(2)∵直线l 平行于 OM,且在 y 轴上的截距为 m,又
2
1OMK ,
∴直线 的方程为 mxy 2
1 .
由 22
1 ,2
1.82
y x m
xy
, 得 222 2 4 0x mx m
∵直线l 与椭圆交于 A、B 两个不同点,
∴ 22(2 ) 4(2 4) 0,mm
解得 2 2 0mm 且 .
∴m 的取值范围是 2 0 0 2mm 或 .
24. 解:(1)
xyCPxy
xyx
MPMNMPMNyxP
8,8
0)84(24
0,,
22
22
的方程为的轨迹点化简得
)(得
由)(设
(2)
1 1 2 2
2
2
22
12
22
12
1 2 1 2 1 2
2
2
1
4 0 , ,
40 8 32 0
8
64 4 32 0, 2
. , 8 , 3288
,8
0
8
x my C A x y B x y
x my y my
yx
y y m m
yyx x y y m y y
tD D t
ABD AB DA DB
tx
设直线 与曲线 交于点 、
由 得
次方程有两个不等实根: 、 , 即
若存在点 满足条件,可设
是以 为斜边的直角三角形,
即
222 2 2
12
2 1 2 1 2
2
1 2 1 2
22
08 8 8 8 8
, , 64 0, 8 96 0
64 4 96 0, 6
66
2, 6 2 2 6
yyt t tx y t y t y t y t
y t y t y t y t t mt
mm
mm
m m D
2
次方程有实根,
当 或 时,存在点D使得 ABD是以AB为斜边的直角三角形
又m 当 ,或 时,满足条件的点 不存在
25. 解:(1)∵ 1( ,0)Fc ,∴
2
( , )bPca .∵OP∥AB,∴ OP ABkk ,∴
2b
ba
ca ,
解得:b=c.∴ 2ac ,故 2
2e .
(2)由(1)知椭圆方程可化简为 2 2 222xyb.①
易求直线 QR 的斜率为 2 ,故可设直线 QR 的方程为: 2( )y x b.②
由①②消去 y 得: 225 8 2 0x bx b .∴ 12
8
5
bxx ,
2
12
2
5
bxx .
于是△ 1FQR 的面积 S= 2
1 2 1 2 1 2 1 22 2 ( ) 4c y y c x x b x x x x
=
2
228 2 4 32 ( ) 4 20 35 5 5
bbbb ,∴ 5b .
因此椭圆的方程为 222 50xy,即
22
150 25
xy.
26. 解:(1)由 1FA// 2FB且 12FA 2 F B ,得 22
11
EF F B 1
EF FA 2,从而
2
2
a
1
a 2
cc
cc
整理,得 223ac ,故离心率 3
3
ce a
(2)解:由(1)得 2 2 2 22b a c c ,所以椭圆的方程可写为 2 2 22 3 6x y c
设直线 AB 的方程为
2ay k x c
,即 ( 3 )y k x c.
由已知设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ,则它们的坐标满足方程组 2 2 2
( 3 )
2 3 6
y k x c
x y c
消去 y 整理,得 2 2 2 2 2 2(2 3 ) 18 27 6 0k x k cx k c c
依题意, 22 3348 (1 3 ) 0 33c k k ,得
而
2
12 2
18
23
kcxx k ①
2
222
21 32
627
k
cckxx
②
由题设知,点 B 为线段 AE 的中点,所以
1232x c x ③
联立①③解得
2
1 2
92
23
k c cx k
,
2
2 2
92
23
k c cx k
将 12,xx代入②中,解得 2
3k .
(3)解法一:由(II)可知 12
30, 2
cxx
当 2
3k 时,得 (0, 2 )Ac,由已知得 (0, 2 )Cc .
线段 1AF 的垂直平分线l 的方程为 22
2 2 2
cy c x
直线l 与 x 轴的交点
,02
c
是 1AFC 外接圆的圆心,因此外接圆的方程为
22
2x 22
ccyc
.
直线 2FB的方程为 2( )y x c,于是点 H(m,n)的坐标满足方程组
2 2
2 9
24
2( )
ccmn
n m c
, 由 0,m 解得
5
3
22
3
mc
nc
故 22
5
n
m
当 2
3k 时,同理可得 22
5
n
m .
解法二:由(II)可知 12
30, 2
cxx
当 2
3k 时,得 (0, 2 )Ac,由已知得 (0, 2 )Cc
由椭圆的对称性可知 B, 2F ,C 三点共线,因为点 H(m,n)在 1AFC 的外接圆上,
且 12//F A F B ,所以四边形 1AFCH 为等腰梯形.
由直线 2FB的方程为 2( )y x c,知点 H 的坐标为( , 2 2 )m m c .
因为 1AH CF ,所以 2 2 2( 2 2 2 )m m c c a ,解得 m=c(舍),或 5
3mc .
则 22
3nc ,所以 22
5
n
m .
当 2
3k 时,同理可得 n 2 2
5m
27. 解:(Ⅰ)由题意,c=1,可设椭圆方程为 11 2
2
2
2
b
y
b
x
因为 A 在椭圆上,所以 22
19114bb
,解得 2 3b , 2 3
4b (舍去)
所以椭圆方程为
22
143
xy。
(Ⅱ)设直线 AE 方程为: 3( 1) 2y k x ,代入 得
2 2 23(3 4 ) 4 (3 2 ) 4( ) 12 02k x k k x k
设 (x , y )EEE , (x , y )FFF ,因为点 3(1, )2A 在椭圆上,所以
2
2
43
12)2
3(4
k
k
xE
3
2EEy kx k
又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数,在上式中以—K 代 K,可得
2
2
34( ) 122x 34F
k
k
kkxy FF 2
3
所以直线 EF 的斜率 ( ) 2 1
2
F E F E
EF
F E F E
y y k x x kK x x x x
即直线 EF 的斜率为定值,其值为 1
2
。
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