高科数学专题复习课件：8_2　空间几何体的表面积与体积 60页

§8.2 　空间几何体的表面积与体积 基础知识 　 自主学习 课时作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 基础知识　自主学习 因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积 就是 ，表面积是侧面积与底面面积之和 . 1. 多面体的表面积、侧面积 知识梳理 所有侧面的面积之和 2. 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式   圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S 圆柱侧 ＝ S 圆锥侧 ＝ S 圆台侧 ＝ 2π rl π rl π( r 1 ＋ r 2 ) l 3. 柱、锥、台和球的表面积和体积 　名称 几何体　　 表面积 体积 柱体 ( 棱柱和圆柱 ) S 表面积 ＝ S 侧 ＋ 2 S 底 V ＝ ____ 锥体 ( 棱锥和圆锥 ) S 表面积 ＝ S 侧 ＋ S 底 V ＝ ____ Sh 台体 ( 棱台和圆台 ) S 表面积 ＝ S 侧 ＋ S 上 ＋ S 下 V ＝ 球 S ＝ V ＝ ______ 4π R 2 1. 与体积有关的几个 结论 (1) 一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差 . (2) 底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等 . 2. 几个与球有关的切、接常用结论 (1) 正方体的棱长为 a ，球的半径为 R ， ① 若球为正方体的外接球，则 2 R ＝ a ； ② 若球为正方体的内切球，则 2 R ＝ a ； ③ 若球与正方体的各棱相切，则 2 R ＝ a . 知识 拓展 (2) 若长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a ， b ， c ，外接球的半径为 R ，则 2 R ＝ . (3) 正 四面体的 外接球与内切球的半径之比为 3 ∶ 1. 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1) 多面体的表面积等于各个面的面积之和 .( 　　 ) (2) 锥体的体积等于底面积与高之积 .( 　　 ) (3) 球的体积之比等于半径比的平方 .( 　　 ) (4) 简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差 .( 　　 ) (5) 长方体既有外接球又有内切球 .( 　　 ) (6) 圆柱的一个底面积为 S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是 2π S .( 　　 ) 思考辨析 √ × × √ × × 1.( 教材改编 ) 已知圆锥的表面积等于 12π cm 2 ，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为 考点自测 答案 解析 S 表 ＝ π r 2 ＋ π rl ＝ π r 2 ＋ π r ·2 r ＝ 3π r 2 ＝ 12π ， ∴ r 2 ＝ 4 ， ∴ r ＝ 2 cm. 2. 某几何体的三视图 ( 单位： cm) 如图所示，则此几何体的表面积是 答案 解析 A.90 cm 2 B.129 cm 2 C.132 cm 2 D.138 cm 2 该几何体如图所示，长方体的长，宽，高分别为 6 cm , 4 cm ， 3 cm ，直三棱柱的底面是直角三角形，边长 分 别 为 3 cm,4 cm ， 5 cm ，所以表面积 S ＝ [2 × (4 × 6 ＋ 4 × 3) ＋ 3 × 6 ＋ 3 × 3] ＋ (5 × 3 ＋ 4 × 3 ＋ 2 × × 4 × 3) ＝ 99 ＋ 39 ＝ 138(cm 2 ). 3.(2016· 全国甲卷 ) 体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为 答案 解析 4. 《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高 1 丈 3 尺 3 寸 ，容纳 米 2 000 斛 (1 丈＝ 10 尺， 1 尺＝ 10 寸，斛为容积单位， 1 斛 ≈ 1.62 立方尺， π ≈ 3) ，则圆柱底面圆周长约为 答案 解析 A.1 丈 3 尺 B.5 丈 4 尺 C.9 丈 2 尺 D.48 丈 6 尺 设圆柱底面半径为 r 尺，高为 h 尺 ， 依 题意，圆柱体积为 V ＝ π r 2 h ＝ 2 000 × 1.62 ≈ 3 × r 2 × 13.33 ， 所以 r 2 ≈ 81 ，即 r ≈ 9 ， 所以 圆柱底面圆周长为 2π r ≈ 54,54 尺＝ 5 丈 4 尺，即圆柱底面圆周长约为 5 丈 4 尺，故选 B. 5.(2016· 成都一诊 ) 如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则剩余部分与挖去部分的体积之比为 ________. 答案 解析 1 ∶ 1 题型分类　深度剖析 题型一　求空间几何体的表面积 例 1 　 (1)( 2017· 淮北 月考 ) 一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为 答案 解析 由几何体的三视图可知，该几何体的直观图如图所示，因此该几何体的表面积为 (2) 一个六棱锥的体积为 2 ， 其底面是边长为 2 的 正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为 ________. 答案 解析 12 ∴ h ＝ 1 ， 设正六棱锥的高为 h ，侧面的斜高为 h ′ . 思维 升华 空间几何体表面积的求法 (1) 以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量 . (2) 多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理 . (3) 旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用 . 跟踪训练 1 (2016· 大连模拟 ) 如图所示的是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为 _____. 　 答案 解析 26 该几何体为一个长方体从正上方挖去一个半圆柱剩下的部分，长方体的长，宽，高分别为 4,1,2 ，挖去半圆柱的底面半径为 1 ，高为 1 ， 所以 表面积为 S ＝ S 长方体表 － 2 S 半圆柱底 － S 圆柱轴截面 ＋ S 半圆柱侧 ＝ 2 × 4 × 1 ＋ 2 × 1 × 2 ＋ 2 × 4 × 2 － π × 1 2 － 2 × 1 ＋ × 2π × 1 ＝ 26. 例 2 　 (2016· 山东 ) 一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为 题型二　求空间几何体的体积 命题点 1 　求以三视图为背景的几何体的体积 答案 解析 命题点 2 　求简单几何体的体积 答案 解析 例 3 　 (2015· 江苏 ) 现有橡皮泥制作的底面半径为 5 ，高为 4 的圆锥和底面半径为 2 ，高为 8 的圆柱各一个 . 若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为 ________. 思维 升华 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 (1) 若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解 . (2) 若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解 . (3) 若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解 . 跟踪训练 2 (1)(2016· 四川 ) 已知三棱锥的四个面都是腰长为 2 的等腰 三 角 形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ________. 答案 解析 由题意可知，因为三棱锥每个面都是腰为 2 的等腰三角形，由正视图可得俯视图 ( 如图 ) ， (2) 如图，在多面体 ABCDEF 中 ，已知 ABCD 是边长为 1 的正方形，且 △ ADE ， △ BCF 均为正三角形， EF ∥ AB ， EF ＝ 2 ，则该多面体的体积为 答案 解析 如图，分别过点 A ， B 作 EF 的垂线，垂足分别为 G ， H ，连接 DG ， CH ， 题型三　与球有关的切、接问题 例 4 　已知直三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若 AB ＝ 3 ， AC ＝ 4 ， AB ⊥ AC ， AA 1 ＝ 12 ，则球 O 的半径为 答案 解析 如图所示，由球心作平面 ABC 的垂线， 则垂足为 BC 的中点 M . 引申 探究 1. 已知棱长为 4 的正方体，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？ 解答 由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径 . 设 该正方体外接球的半径为 R ，内切球的半径为 r . 2. 已知棱长为 a 的正四面体，则此正四面体的表面积 S 1 与其内切球的表面积 S 2 的比值为多少？ 解答 3. 已知侧棱和底面边长都是 3 的 正四棱锥，则其外接球的半径是多少？ 解答 因此底面中心到各顶点的距离均等于 3 ，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为 3. 思维 升华 空间几何体与球接、切问题的求解方法 (1) 求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解 . (2) 若球面上四点 P ， A ， B ， C 构成的三条线段 PA ， PB ， PC 两两互相垂直，且 PA ＝ a ， PB ＝ b ， PC ＝ c ，一般把有关元素 “ 补形 ” 成为一个球内接长方体，利用 4 R 2 ＝ a 2 ＋ b 2 ＋ c 2 求解 . 跟踪训练 3 (2016· 全国丙卷 ) 在封闭的直三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 内有一个体积为 V 的球 . 若 AB ⊥ BC ， AB ＝ 6 ， BC ＝ 8 ， AA 1 ＝ 3 ，则 V 的最大值是 答案 解析 由题意知，底面三角形的内切圆直径为 4. 三棱柱的高为 3 ， 所以 球的最大直径为 3 ， V 的最大值 为 . 典例　 (2016· 青岛模拟 ) 如图，在 △ ABC 中， AB ＝ 8 ， BC ＝ 10 ， AC ＝ 6 ， DB ⊥ 平面 ABC ，且 AE ∥ FC ∥ BD ， BD ＝ 3 ， FC ＝ 4 ， AE ＝ 5 ，则此几何体的体积为 ______. 巧 用补形法解决立体几何问题 思想与方法系列 15 解答本题时可用 “ 补形法 ” 完成 . “ 补形法 ” 是立体几何中一种常见的重要方法，在解题时，把几何体通过 “ 补形 ” 补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积等问题，常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形，对于还原补形，主要涉及台体中 “ 还台为锥 ” ，将不规则的几何体补成规则的几何体等 . 96 答案 解析 思想方法指 导 几何画板展示 用 “ 补形法 ” 把原几何体补成一个直三棱柱，使 AA ′ ＝ BB ′ ＝ CC ′ ＝ 8 ， 课时作业 1. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2.(2016· 大同模拟 ) 一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积 为 √ 答案 解析 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3.(2015· 山东 ) 在梯形 ABCD 中， ∠ ABC ＝ ， AD ∥ BC ， BC ＝ 2 AD ＝ 2 AB ＝ 2. 将梯形 ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 √ 答案 解析 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 过点 C 作 CE 垂直 AD 所在直线于点 E ，梯形 ABCD 绕 AD 所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段 AB 的长为底面圆半径，线段 BC 为母线的圆柱挖去以线段 CE 的长为底面圆半径， ED 为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为 V ＝ V 圆柱 － V 圆锥 ＝ π· AB 2 · BC － · π· CE 2 · DE ＝ π × 1 2 × 2 － π × 1 2 × 1 ＝ ， 故选 C. 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4.(2015· 安微 ) 一个四面体的三视图如图所示，则该 四面体的 表面积是 √ 答案 解析 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5.(2016· 广东东莞一中、松山湖学校联考 ) 某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是 √ 答案 解析 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6.(2016· 福建三明一中第二次月考 ) 如图，直三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 的六个顶点都在半径为 1 的半球面上， AB ＝ AC ，侧面 BCC 1 B 1 是半球底面圆的内接正方形，则侧面 ABB 1 A 1 的面积为 √ 答案 解析 12 由题意知，球心在正方形的中心上，球的半径为 1 ，则正方形的边长 为 . ∵ ABC — A 1 B 1 C 1 为直三棱柱， ∴ 平面 ABC ⊥ 平面 BCC 1 B 1 ， ∴ BC 为截面圆的直径， ∴∠ BAC ＝ 90°. ∵ AB ＝ AC ， ∴ AB ＝ 1. ∴ 侧面 ABB 1 A 1 的面积 为 × 1 ＝ . 故选 A . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7. 如图，正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 的棱长 为 ， 以顶点 A 为球心， 2 为半径作一个球，则图中球面与正方体的 表面 相交 所得到的两段弧长之和为 ________. 答案 解析 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 由题意，图中 弧 为 过球心的平面与球面相交所得大圆的一段弧， 因为 ∠ A 1 AE ＝ ∠ BAF ＝ ， 所以 ∠ EAF ＝ ， 由弧长公式知 弧 的 长为 2 × ＝ . 弧 为 不过球心的平面与球面相交所得小圆的一段弧，其圆心为 B ， 因为球心到平面 BCC 1 B 1 的距离 d ＝ ， 球的半径 R ＝ 2 ， 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8.(2016· 新疆乌鲁木齐地区二诊 ) 已知四面体 ABCD 满足 AB ＝ CD ＝ ， AC ＝ AD ＝ BC ＝ BD ＝ 2 ，则四面体 ABCD 的外接球的表面积是 ________. 答案 解析 7π 12 ( 图略 ) 在四面体 ABCD 中，取线段 CD 的中点为 E ，连接 AE ， BE . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ∵ AC ＝ AD ＝ BC ＝ BD ＝ 2 ， ∴ AE ⊥ CD ， BE ⊥ CD . 取 AB 的中点为 F ，连接 EF . 由 AE ＝ BE ，得 EF ⊥ AB . ∴ EF ＝ 1. 取 EF 的中点为 O ，连接 OA ，则 OF ＝ . 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ∵ OA ＝ OB ＝ OC ＝ OD ， ∴ 外接球的表面积是 7π. 12 9. (2016· 三门峡陕州中学对抗赛 ) 如图所示， AB 是圆 O 的直径，点 C 是圆 O 上异于 A ， B 的点， PO 垂直于圆 O 所在的 平面 ，且 PO ＝ OB ＝ 1. 则三棱锥 P － ABC 体积的最大值为 ____. 答案 解析 当 △ ABC 的面积最大时，三棱锥 P － ABC 体积达到最大值 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10.(2016· 浙江 ) 如图，在 △ ABC 中， AB ＝ BC ＝ 2 ， ∠ ABC ＝ 120°. 若平面 ABC 外的点 P 和线段 AC 上的点 D ，满足 PD ＝ DA ， PB ＝ BA ，则四面体 PBCD 的体积的最大值是 ____. 答案 解析 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 设 PD ＝ DA ＝ x ， 在 △ ABC 中， AB ＝ BC ＝ 2 ， ∠ ABC ＝ 120° ， 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 要使四面体体积最大，当且仅当点 P 到平面 BCD 的距离最大，而 P 到平面 BCD 的最大距离为 x . 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11.(2015· 课标全国 Ⅰ ) 如图，四边形 ABCD 为菱形， G 为 AC 与 BD 的交点， BE ⊥ 平面 ABCD . (1) 证明：平面 AEC ⊥ 平面 BED ； 证明 因为四边形 ABCD 为菱形，所以 AC ⊥ BD . 因为 BE ⊥ 平面 ABCD ，所以 AC ⊥ BE . 因为 BE ∩ BD ＝ B ，故 AC ⊥ 平面 BED . 又 AC ⊂ 平面 AEC ，所以平面 AEC ⊥ 平面 BED . 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2) 若 ∠ ABC ＝ 120° ， AE ⊥ EC ，三棱锥 E-ACD 的体积 为 ， 求该三棱锥的侧面积 . 解答 12 设 AB ＝ x ，在菱形 ABCD 中，由 ∠ ABC ＝ 120° ，可得 AG ＝ GC ＝ x ， GB ＝ GD ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 因为 AE ⊥ EC ，所以在 Rt △ AEC 中， 可得 EG ＝ x . 由 BE ⊥ 平面 ABCD ，知 △ EBG 为直角三角形， 可得 BE ＝ x . 12 故 x ＝ 2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 从而可得 AE ＝ EC ＝ ED ＝ . 所以 △ EAC 的面积为 3 ， △ EAD 的面积与 △ ECD 的面积均 为 . 故三棱锥 EACD 的侧面积为 3 ＋ 2 . 12 *12. 如图， △ ABC 内接于圆 O ， AB 是圆 O 的直径，四边形 DCBE 为平行四边形， DC ⊥ 平面 ABC ， AB ＝ 2 ， EB ＝ ( 1) 求证： DE ⊥ 平面 ADC ； 证明 ∵ 四边形 DCBE 为平行四边形， ∴ CD ∥ BE ， BC ∥ DE . ∵ DC ⊥ 平面 ABC ， BC ⊂ 平面 ABC ， ∴ DC ⊥ BC . ∵ AB 是圆 O 的直径， ∴ BC ⊥ AC ，且 DC ∩ AC ＝ C ， ∴ BC ⊥ 平面 ADC . ∵ DE ∥ BC ， ∴ DE ⊥ 平面 ADC . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2) 设 AC ＝ x ， V ( x ) 表示三棱锥 B － ACE 的体积，求函数 V ( x ) 的解析式及最大值 . 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ∵ DC ⊥ 平面 ABC ， ∴ BE ⊥ 平面 ABC . 在 Rt △ ABE 中， AB ＝ 2 ， EB ＝ 在 Rt △ ABC 中， ∵ AC ＝ x ， BC ＝ ( 0< x <2) ， ∴ S △ ABC ＝ AC · BC ＝ x · ， 12